概率论及数理统计exc32stu.doc

概率论与数理统计 exc 32

一、 单项选择题

1．设A与B互为对立事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列各式中错误的是（A）
A． 1 B．P（B|A）=0 √ C．P（AB）=0 √ D．P（A∪B）=1√
2．A

Y
X
1
2
0
1
0.2
a
0.3
b
3.设二维随机变量(X，Y)的分布律为
且X与Y相互独立，则下列结论正确的是（ C ）

4．设随机变量X服从参数为0.5的泊松分布，则E(X)=（ B ）
泊松分布的期望和方差都是λ
5．设(X，Y)为二维随机变量,且DX)>0，D(Y)>0，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6.设A，B为两个随机事件，且P（AB）>0，则P（B|AB）=（　　　）
A．P（A） B．P（AB） C．P（A|B） D．1
7.设离散型随机变量X的分布律为 ，则
（ ）。
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8. 设随机变量X～B（8，），Y～N（2，9），又E（XY）=12，则X与Y的协方差（　　　）
A．4 B．6 C．-4 D． -6

9. 设随机变量X的概率密度为 则常数等于（　　）
A．- B． C．1 D．5
10. 袋中有12球，8个红球，4个白球，从中任抽一球无放回地连抽两次，事件A表示第二次抽出的是红球，则（ ）。
A． B． C． D．
11.已知P(A)=0.75, P(B)=0.25, 则事件A与B的关系是( )
A.互相独立 B.互逆 C.AB D.不能确定
12．

Y
X
1
2 3
0
1
0.1
a
0.2 0.3
b 0.2
13.设二维随机变量(X，Y)的分布律为
且X与Y相互独立，则下列结论正确的是（ ）。

14．已知随机变量服从区间上的均匀分布, 若概率 , 则 等于( )。
A.2 B.3 C.4 D.5
15．对于任意两个随机变量, 若, 则（ ）。
A. B.
C.相互 D. 不独立
16. 对于任意二事件 有 ( )。

17.设每次试验成功率为，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为( )。
.
18. 设随机变量X～B（8，），Y～N（2，9），又E（XY）=12，则X与Y的相关系数（　　　）。
A． B． C． D．
19. 设随机变量X的分布律为 则常数等于（　　 ）。
A． B． C． D．
20. 袋中有9球，6个红球，3个白球，从中任抽一球有放回地连抽两次，事件A表示第二次抽出的是红球，则（ ）。
A． B． C． D．

21．设，为随机事件，则下列各式中正确的是 （ ）.
. .
. .
22．一个袋中有个红球,个黑球,从中任取一个球,则取得黑球的概率是 ( ).
. . . .
23．已知且,则与恰有一个发生的概率为 ( ).
. . . .
24.已知，，，则事件，，全不发生的概率为 ( ).
.0.2 .0.4 .0.3 .0.5
25. 已知相互独立, 则错误的是 ( ).
. .
. .
26. 同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为 ( ).
. . . .
27．设随机变量，且，则的值为( ).
. . . .
28. 设随机变量服从上的均匀分布,则方程有实根的概率是( ).
. . . .
Y X
1
2
3
1
0.1
a
0.1
2
0.2
0.3
b
29. 已知随机变量的联合分布如
右，则,且满足 ( ) .
. . .
.

30.设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f (x)为(　)
A． B．
C． D．
31. 某人独自投篮命中率为，若投篮直到投进为止，则投篮次数为5的概率是( )
A. B. C. D.
32．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(X)=（ ）

33. 已知离散型随机变量～则离散型随机变量的数学期望与方差分别为（ ）
A． B．
C． D．

Y
X
1
2
0
1
0.2
a
0.3
b
34.设二维随机变量(X，Y)的分布律为
且X与Y相互独立，则下列结论正确的是（ ）

35.

36.设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率（ ）。
A．单调增大 B．单调减少 C．保持不变 D．增减不定
37设二维随机变量的联合密度函数为，则k=（ ）
A． B．-10 C．12 D．10
38．设A、B为两事件，已知P(B)=，P(A)= ，若事件A，B互不相容，则P()=
( )
A． B． C． D．
39．袋中共有5个球，其中有3个红球，2个白球，现从中任取2个球，其恰为一红一白的概率为（ ）
A． B． C． D．
40.设随机变量X服从(1，6)上的均匀分布，则方程有实根的概率是( ).
A. 0. 5 B. 0. 6 C. 0. 7 D. 0.8
41．设随机变量的分布律为，，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
42．已知离散型随机变量～，则离散型随机变量的数学期望与方差分别为（ ）
A． B．
C． D．
43．设二维随机变量的分布律为

0
1

0
0.1
0.3
0.2

1
0.2
0.1
0.1

则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.7
44．设每次试验成功率为，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为( )。
.
45．设是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。
. B. C. D.
46．设，为任意两个事件且,,则下列选项必然成立的是（ ）。
（A） （B）（C） （D）
47．对于任意两事件，下列说法正确的是（ ）。
（A）若，则一定独立 （B）若，则有可能独立
（C）若，则一定独立 （D）若，则一定不独立
48．设为两随机事件，且,则下列式子正确的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
49．对于任意两事件和，与不等价的是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
50．设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率 ）。
（A）单调增大 （B）单调减少 （C）保持不变 （D）增减不定
51．设随机变量的概率密度函数为，且，是的分布函数，则对任意实数，有（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
52．设分别为随机变量的分布函数。为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。
（A） （B） （C） （D）
53．已知随机变量的密度函数为，则概率
的值（ ）。
（A） 与无关，随的增大而增大 （B）与无关，随的增大而减小
（C）与无关，随的增大而增大 （D）与无关，随的增大而减小
54．设,,是三个事件两两独立，则,,相互独立的充分必要条件是（ ）。
.与 独立 B. 与独立 C.与 独立 D.与 独立
55．设为两事件且,则（ ）。
（A） 与互斥 （B）是不可能事件
（C）未必是不可能事件 （D）或
56．设为两事件，则=( )。
（A） （B）
（C） （D）
57．设当事件同时发生时，事件必发生，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
58．已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数的值为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
59．设两个相互独立的随机变量的方差分别为4和2，则随机变量的方差为（ ）。
(A)8 (B)16 (C) 28 (D)44
60. 设随机变量X～B（8，），Y～N（2，9），又E（XY）=12，则X与Y的协方差（　）。
A． B． C． D．
61. 设随机变量X的概率密度为 则常数等于（　　）。
A． B． C．1 D．2
62. 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f (x，y)= 则P{0
5.设随机变量服从参数为的指数分布，则 ____________。
6. 设随机变量X的概率密度是 则 _______。
7. 设随机变量，则 ______， ______。
（注： ）
8. 在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为__________。
9. 已知，及，则__________。
10．设随机变量X～P（4）， ，则______ ，_________。
11. 一批产品有6个正品和2个次品, 从中任意抽取2个产品, 则至少抽取了一个正品的概率为___________。
12.设随机变量服从参数为的指数分布，则 ____________。
13. 设随机变量，已知, 则=__________。
14.设随机变量的分布律为，其中a,b为常数，且，则_____。
15. 设表示三个随机事件，试表示事件,都不出现 .
16．若,则 .
17．若随机变量的分布列为，则的分布列为 .
18.设二维随机变量的联合密度函数
，则常数＝ , .
19. 某宾馆有4部电梯，它们正在运行的概率为0.5,则恰有2部运行的概率为 .
20.二项分布近似于泊松分布 .
21. 设表示三个随机事件，试表示事件不出现而都出现 .
22．若随机事件有,则 .
23．若随机变量的分布律为，则的分布律为 .
24. 某宾馆有4部电梯，它们正在运行的概率为p,则至少有1部运行的概率为 .
25. 设随机变量，且，则 ，
.
26. 二项分布近似于泊松分布 .
27. 三个人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为，，，则此密码被译出的概率为 .
28. 已知离散型随机变量可取0，1，2，3， 4，对应概率则 ．
29. 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布，其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 ，则( X , Y )的分布密度为 .
30．设随机变量X～N（1，2）， ，则_________.
31. 袋中共有5个球，其中有3个红球，2个白球，现从中任取2个球，其恰为一红一白的概率为___________．
32. 设随机变量X的概率密度是 则 _______.
33. 设随机变量，则 ______.
（注： ）
34. 已知，及，则__________.
35. 某射手射击的命中率为，在4次射击中有且仅有3次命中的概率是___________．.
36．设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为
X
0
1
P
0.5
0.5
令Z=max(X,Y)，则P(Z=1)= ________．
37. 设～,又常数c满足,则 ．
38. 设随机变量X的概率密度为，则常数________．
39.已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布，其中D为x 轴,y 轴及直线y=2x+4的三角形
区域 则( X , Y )的分布密度为 .
40. 设随机变量，则 ______。
（注：（注： ）
41．设二维随机变量的联合分布函数是，则关于的边缘分布函数= ______________。
42．袋中有10球，7个红球，3个白球，从中任抽一球无放回地连抽两次，事件表示第二次抽出的是红球，则__________。
43．设随机变量的分布函数为，则____。
44．已知则 。
（）
45．
。
46． 已 知，
则__________。
47．从一批由5件正品,5件次品组成的产品中任意取出三件产品,则其中恰有一件次品的概率为______________。
48．为样本空间的一个事件组，若两两互斥，且,则对中的任意事件有全概率公式__________。
49．若随机变量的分布列为，则的分布列为 .
50.如果，是标准正态分布的分布函数，那么= 。
51.设是二维连续型随机变量的联合密度函数，则关于与的边缘分布密度函数分别为 ；= ；
52．的充分必要条件是 。
53. 甲、乙两人炮彼此独立地向同一目标各射击一次，甲、乙击中目标的概率分别为0.4，0.5，则目标至少被击中一次的概率为_____。
54. 设事件A与B互不相容，且，则__________。
55. 20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为____________。
56. 设为一个随机变量，为任意的实数，则的分布函数定义为= ；根据分布函数的性质 。
57. 设二维随机变量的概率密度为则当时，关于的边缘概率密度= _______________。

三、计算题
1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。
1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。
3.设随机变量的分布函数为，试求：（1）密度函数；（2）， 。
4.二维随机变量只能取下列数组中的值：，且取这些组值的概率分别为。求这二维随机变量分布律，并写出关于和关于的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？
7.设随机变量的密度函数为，试求：（1）常数；（2） 。
8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为
求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律．
9． 已知，，，求,,。
10．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为2%，3%，5%，求检测的次品，是甲车间生产的概率。
11．确定常数，使得成为某个随机变量的分布律，并求。
12．设，求。
13．设球体的直径服从上的均匀分布,求体积的概率密度。
14．已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:
甲 乙
X Y
1
4
3
5/36
7/36
6
7/36
17/36

X Y
1
4
3
1/12
1/4
6
1/4
5/12

分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。

15. 设随机变量，的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律：

X Y
1
2
3
0
0
0.1
0
1
0.3
0.2
0
2
0.1
0.1
0.2

16. 已知，，，求,，。
17.设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一零件，各个车间的产量分别占总产量的10%，50%，40%，成品中次品的百分比分别为4%，2%，3%，求检测为次品，是丙车间生产的概率。
18.确定常数，使得成为某个随机变量的分布律，并求。
19. 设随机变量，的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律：
Y X
-1
0
4
-2
0.1
0.2
0
1
0.2
0.1
0
2
0.1
0.1
0.2
（1）, （2）.

20.设，求。
21. 设
22. 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。
23. 某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：
（1）该产品的次品率；
（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品来自甲厂的概率。
24.设连续型随机变量的分布函数为
求：（1）常数A和B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函数
25. 设是两个事件，已知，，，试求及
26. 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，收报台分别以0.9和0.1的概率收到和。
求(1) 收报台收到信号的概率；(2) 当收到时，发出的概率。
27. 已知某商店经销商品的利润率的密度函数为，
求（1）常数； （2）D(X)
28. 设随机变量独立同分布，且，记随机变量，求的分布律

29．袋内放有2个伍分的，3个贰分的和5个壹分的钱币，任取其中5个，求钱额总数超过一角的概率。
30．某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为，两项投资都做的概率为，求：
（1） 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2） 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
31．已知1班有6名男生，4名女生；2班有8名男生，6名女生。求下列事件的概率：
（1）随机抽1个班，再从该班中随机选一学生，该生是男生；
（2）合并两个班，从中随机选一学生，该生是男生。
32．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为。今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
33．一口袋有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字的分布律与分布函数。
34．设随机变量的分布函数为，求：
（1），（2），（3）的密度函数。
35．某人上班所需的时间（单位：min）,已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
36．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：t）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大。

37. 假定某工厂甲，乙，丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的。若各车间的次品率依次为，现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由丙车间生产的概率。
38．甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ, η表示)的分布律如表1,表2所示. 试比较甲乙两射手的技术.

39．两个相互独立的事件与，与都不发生的概率为 ，发生不发生的概率与不发生发生的概率相等，求。
40．设二维随机变量的联合密度函数为
，
求(1)系数；（2）；（3）证明与相互独立。
41．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，且96分以上的考生占考生总数的，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。（）
42．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：t）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大。

43. 设随机变量X的概率密度为
试求：（1）；（2）；（3）。

四、综合题
1.设随机变量独立同分布，且，（1）记随机变量，求的分布律；（2）记随机变量，求的分布律。
2.某商店经销商品的利润率的密度函数为，求，。
3.某人上班路上所需时间（单位：min），已知上班时间是8:30，他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次的概率。
4. 设随机变量的分布函数是

(1) 求随机变量的分布律; (2)若随机变量, 求。
5. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。
6. 设随机变量的联合分布如右表 且相互独立，求的值.
X Y
0
1
2
1
1/6
1/18
1/9
3
1/3
a
b

7. 已知二维随机变量联合分布律为
Y X
1
2
4
-1
1/24
3/24
2/24
0
2/24

4/24
2
2/24
3/24
1/24
（1）求数；
（2）证明：与不相互独立。

8.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现以 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，证明：两两独立，而 不相互独立。
9-.设二维随机变量的概率密度为
求:(1)随机变量X的边缘概率密度; (2)概率P{X+Y≤1}。
10. 司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为λ=的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

五、证明题
1.设为任意随机事件，证明：。
2.某次大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药物。在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而未使用者中也有5人检验结果呈阳性。试证明：如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率超过90%。
3.
4. 设二维随机变量（X，Y）具有密度函数

证明：X与Y是否相互独立。
5．设随机变量，是其分布函数，证明。
6. 设事件发生，则事件一定发生，证明。
7. 若随机变量服从，试证服从。

六、分析题

1. 随机抽样谢村和杨村的半年收入分别如下（万元）：
X
100
0
0
0
0
P
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5

Y
5
10
20
30
35
P
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5

试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

2.（8分）已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:
X Y
2
5
2
1/3
1/6
5
1/6
1/3

X Y
2
5
2
1/4
1/4
5
1/4
1/4

分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。

3. 随机抽样谢村和杨村的月收入分别如下（万元）：

X
50
0
0
0
0
P
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5

Y
2
8
10
12
18
P
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5

试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

七、应用题
1. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中只有一次未等到服务的概率。
2. 某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金，已知该市人员一年内发生生大人身事故的概率为0.005（假设每人发生事故是相互独立的），现有5000人参加此项保险，求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元的概率是多少？

3. 设随机变量服从参数的指数分布，即～，现在对进行3次独立观测，求：（1）的观测值大于1的概率；（2）至少有2次观测值大于1的概率．
4. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.75，0.2。 若学校共有1000名学生， 设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，求有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率.
（注： ）