圆锥曲线大题综合测试(含详细复习资料).doc

圆锥曲线
1．设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

2 ． 已知椭圆:的一个焦点为,而且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值.
.
x
y

T
G
P
M
O
N

3、已知圆O:交轴于两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连结,过原点O作直线的垂线交直线2于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线与圆O相切；
x
y
O
P
F
Q
A
B
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),
直线与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.

4设上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线的斜率k的值；（3）试问：△的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5 、直线l：y = + 1，双曲线C：3x2 - y2 = 1，问是否存在m的值，使l与C相交于A , B两点，且以为直径的圆过原点

6 已知双曲线C：的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点P在曲线C上。（1）求双曲线C的坐标；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线与双曲线C相交于不同两点E，F，若△的面积为，求直线的方程。

7.已知椭圆经过点，离心率为,过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；
（2）设直线和直线的斜率分别为和，求证:为定值．

8．已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若、为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形的面积的最小值．

9设F是椭圆C：的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段为椭圆的长轴，已知．
(1) 求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠ =∠；
(2) 求三角形面积的最大值．

10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。

11 已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标．

12 如图，设P是圆上的动点，⊥x轴，垂足为D，M为线段上一点，且
，点A、F1的坐标分别为（0，），（－1，0）。
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求1|的最大值，并求此时点M的坐标。

13.如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。
（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；
（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。

圆锥曲线答案
1解：（1）由题设知，，，………………………………1分
由，得，……………3分解得．
所以椭圆的方程为．……………………………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则…6分…7分．……8分
从而求的最大值转化为求的最大值．……………………………………9分
因为是椭圆上的任意一点，设，………………………………………10分
所以，即．………………………………………………11分
因为点，所以．…………………12分
因为，所以当时，取得最大值12．…………………13分
所以的最大值为11．…………………………………………………………14分
2由（Ⅰ）可知,设,
直线:,令,得;
直线:,令,得;
则,
而,即,

取线段的中点Q，连接,

即线段的长为定值2． ……………l4分

3 7.(14分)解:(Ⅰ)因为,所以1,则1,
所以椭圆C的标准方程为 ………5分
(Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线的方程为2x, ∴点Q(-2,4)…7分
∴,又,∴,即⊥,故直线与圆O相切 ……10分
(Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线与圆O保持相切 ………11分
证明:设(),则,所以,,
所以直线的方程为 所以点Q(-2,) ………12分
所以,又 …13分
所以,即⊥,故直线始终与圆O相切. ………14分
4 9解：（1）椭圆的方程为 …….（2分）
（2）设的方程为
由……（4分）
由已知 2 ……………………（7分）
（3）当A为顶点时，B必为顶点△1 ……………………（8分）
当A，B不为顶点时，设的方程为

…（11分）

所以三角形的面积为定值 ………………（12分）
6 ．解：（1）依题意∴，解得：，
所以双曲线方程为………………4分
（2）依题意可知，直线的斜率存在
设直线的方程为2，E（），F（），
由2及得，
∵有两个交点，∴，又△=，∴，
∴，又，
∵………8分
∵O点到直线的距离为，又，
∴，∴ ,
∴直线的方程为或………………12分

7 ．解：（1）由题意得 解得，．
故椭圆的方程为． ……………………………………5分
（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线方程为，
由得. …………………7分
因为直线与椭圆交于不同的两点，，
所以，解得.
设，的坐标分别为，，
则，，，．… 9分
∴ ………………………………………………10分

．
所以为定值．………………………………………………………14分
8 6．解：（Ⅰ）
相切
∴椭圆C1的方程是 …………3分
（Ⅱ）∵2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离， ∴动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为 …………6分
（Ⅲ）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为k，
，则直线的方程为
联立
所以
…．9分
由于直线的斜率为代换上式中的k可得
∵，
∴四边形的面积为……．．12分
由
所以时取等号． …………13分
易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积

9 解：(1) ∵ ∴ a = 4
又∵ | | = 2 | |得

(2) 当的斜率为0时，显然满足题意
当的斜率不为0时，设，方程为
代入椭圆方程整理得 则

综上可知：恒有
(3)

当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号.
∴三角形面积的最大值是3

10【解析】：（1）设椭圆方程为
则解得所以椭圆方程
（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为
又，所以的方程为：由
因为直线与椭圆交于两个不同点，
所以的取值范围是。
（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可
设，则
由可得
而

故直线、与轴始终围成一个等腰三角形。
11 解：（Ⅰ）解：由题设得 ……………… 2分
解得： ，…… 3分
故的方程为. …… 5分 离心率 ………………… 6分
（2） 直线的方程为，…… 7分
设点关于直线对称的点为，则
（联立方程正确，可得分至8分）
所以点的坐标为 ……………………………… 9分
∵，，…… 10分
的最小值为 …………… 11分
直线的方程为 即 …………… 12分
由，所以此时点的坐标为 …………… 14分

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