与圆有关的位置关系复习教案教师版.doc

与圆有关的位置关系复习教案
姓名 分数 家长评价

儿子：”爸爸，为什么电视上的日本鬼子那么傻？“
爸爸：”因为他们是日本人啊！“
儿子：”那为什么咱家买那么多日本电器？“
爸爸：”因为傻子都比较实在，质量有保证，不会糊弄咱啊
感悟：
一、选择题
1．（2012•恩施州）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm

考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．分析：首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．解答：解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC= =3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

2．（2012•河南）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，．则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC

考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
∴BA⊥DA，故A正确；
∵，
∴∠EAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，故B正确；
∵∠COE是所对的圆心角，∠CAE是所对的圆周角，
∴∠COE=2∠CAE，故C正确；
只有当时OD⊥AC，故本选项错误．
故选D．

点评：本题考查的是切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．

3．（2012•黄石）如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（　　）
A．15° B．30° C．60° D．90°

考点：切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
分析：连接BD，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
解答：解：连接BD，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，
∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，
则P和D重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBP=，
∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．

4．（2012•乐山）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是（　　）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
考点：圆与圆的位置关系．
分析：由⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，
∴3+2=5，
∵两圆的圆心距为O1O2=5，
∴两圆的位置关系是外切．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

6．（2012•上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
考点：圆与圆的位置关系．
分析：由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，
又∵6-2=4，4＞3，
∴这两个圆的位置关系是内含．
故选：D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

7．（2012•宿迁）若⊙O1，⊙O2的半径分别是r1=2，r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是（　　）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
考点：圆与圆的位置关系．
分析：先求出两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4，圆心距d是5，
则4-2=2，4+2=6，d=5，
∴2＜d＜6，
两圆相交时，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
∴两圆相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．

9．（2012•嘉兴）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（　　）
A．15° B．20° C．30° D．70°

考点：切线的性质．分析：由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．解答：解：∵BC与⊙0相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA=20°．
故选B．
点评：此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
10. （2012•泉州）如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（　　）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF

考点：三角形的内切圆与内心．
专题：探究型．
分析：连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论．
解答：解：连接OA，OB，
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF．
故选C．

点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．

一、选择题：
1、（2010·哈尔滨中考）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,
那么∠AOB等于（ ）

A.60° B.90° C.120° D.150°
答案：选 D
2、（2010·兰州中考）已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
答案：选 B
3、（2010·兰州中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．

答案：选D
4、（2010·无锡中考）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足（ ）
A． B． C． D．
答案：选D
5、（2010·宁波中考）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 （ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
答案：选B
6、（2010·长沙中考）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：选B
7、（2010·成都中考）已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ）
（A）相交 （B）外切 （C）外离 （D）内含
答案：选A
8、（2010·眉山中考）4．⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2=2cm，这两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
答案：选C
9、（2010·宁德中考）．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的
半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是（ ）．

A
B

A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
答案：选D
10、(2009·重庆中考)如图，⊙是的外接圆，是直径，若，则 等于（ ）

A．60º B．50º C．40º D．30º
【解析】选C. =
11、（2009·江西中考）在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，⊙A的半径为2下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，点在⊙A内； B．当时，点在⊙A内
C．当时，点在⊙A外； D．当时，点在⊙A外
答案：A
12、（2009·威海中考）已知⊙是的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙的半径为（ 　）
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
【解析】选C.连接AO并延长交BC于D,连接OB,由垂径定理得AD=4,设的半径为R,则OD=4-R，OB=R, 由勾股定理得解得R=3.125
13、（2009·泸州中考）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距0102=7cm，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【解析】选C. 5-3＜0102＜5+3，所以两圆的位置关系为相交.
14、（2009·临沂中考）已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直径为9cm，⊙O2的直径为4cm，则O1 O2的长是（ ）
A．5cm或13cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．2.5cm 或6.5 cm
【解析】选D.两圆相切时有两种情况：外切和内切。当两圆内切时，O1O2=4.5-2=2.5 cm；当两圆外切时，O1 O2=4.5+2=6.5 cm. 故选D
15、 (2008.郴州中考)⊙O的直径为12cm，圆心O到直线的距离为7cm，则直线与⊙O的位置关系是（　　）
Ａ.相交 Ｂ.相切 Ｃ.相离 Ｄ.不能确定
【解析】选C。因为⊙O的直径为12cm,所以半径为6cm,因为圆心O到直线的距离为7cm,7>6,所以直线与⊙O的位置关系是相离..
16、（2007·宁夏中考）如图，为的切线，为切点，交于点，，则的值为（ ）
A
P
O
B

（A） （B） （C） （D）
答案：C.
二、填空题
17、 (2010·潼南中考)如图在矩形ABCD中，AB=6 ，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是______．

答案：相离
18、（2010·金华中考） 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切，那么两圆的圆心距O1O2＝ cm.
答案：1；
19、(2010·台州中考)如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留π) ．
A
B
C
D
O
E

答案：相切，π
20、（2009·泸州中考）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm．

【解析】连接OC、OA，由AB与小圆相切于点C，得∠OCA=90°，
所以AC=BC=所以AB=16cm.

答案：16
21、（2009·南充中考）中，，以点B为圆心、6cm为半径作，则边AC所在的直线与的位置关系是 ．
【解析】因为所以△ABC是直角三角形，以点B为圆心、6cm为半径作，则边AC所在的直线与的位置关系是相切.
答案：相切
22、（2009·宁波中考）如图，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB=4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为 秒.

【解析】当两圆第一次外切时，⊙A运动的时间为；当两圆第二次外切时，⊙A运动的时间为.
答案：或
23、（2008·南充中考）如图，从⊙O外一点引⊙O的两条切线，切点分别是，若，是上的一个动点（点与两点不重合），过点作⊙O的切线，分别交于点，则的周长是 ．

【解析】由切线长定理得PA=PB,DA=DC,EB=EC,∴的周长=PD+DE+PE= PD+DC+CE+PE= PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=2
答案：

【经典导航1】知识提炼：
【基础知识回顾】
一、 点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝>
点P在圆外 <＝>
2、 过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作用，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的
外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等
【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 锐角三角形的外心在三角形 】
一、 直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 直线叫圆的 线，这的直线叫做圆的 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆
2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：
直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r
直线l与Qo相离<＝>d r
3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线式圆的切线
【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】
4、 切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
5、 三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点
内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】
二、 圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝>
两圆相交<＝> 两圆内切<＝>
两圆内含<＝>
【名师提醒：两圆相离无公共点包含 和 两种情况，两圆相切有唯一公共点包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆 此时d= 】
三、 反证法：
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法
【名师提醒：反证法正题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】
二、填空题
11．（2012•吉林） 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为 （写出一个符合条件的度数即可）。

11．45°（答案不唯一）
考点：切线的性质．专题：开放型．
分析：由切线的性质可以证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的两个锐角互余知，∠CAB=50°；因为点P在边BC上，所以∠PAB＜∠CAB．解答：解：∵AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=40°（已知），
∴∠CAB=50°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵点P在边BC上，
∴0＜∠PAB＜∠CAB，
∴∠PAB可以取49°，45°，40…
故答案可以是：45°。
点评：本题考查了切线的性质．此题属于开放型题目，解题时注意答案的不唯一性．

12．（2012•江西）如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C= 度．

12．20
考点：切线的性质；圆周角定理．
分析：首先连接OB，由AB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，即可得OB⊥AB，又由∠A=50°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．
解答：解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
即∠OBA=90°，
∵∠A=50°，
∴∠AOB=90°-∠A=40°，
∴∠C=∠AOB=×40°=20°．
故答案为：20．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．（2012•淮安）如图，⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，则⊙N的半径为 4
cm．

13．4
考点：圆与圆的位置关系．
分析：根据两圆外切圆心距等于两半径之和求得另一圆的半径即可．
解答：解：∵⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，
∴⊙N的半径=10-6=4cm
故答案为4．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是了解当两圆外切时圆心距等于两半径之和．
14．（2012•六盘水）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 相交
．
考点：圆与圆的位置关系．
分析：由两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，
∴2+3=5，3-2=1，
∵1＜4＜5，
∴这两圆的位置关系是相交．
故答案为：相交．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
15．（2012•铜仁地区）已知圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，则圆O2的半径为 7cm
．
考点：圆与圆的位置关系．
分析：由圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆O2的半径．
解答：解：∵圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，
∴圆O2的半径为：10-3=7（cm）．
故答案为：7cm．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

16．（2012•盐城）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 2或0
．
考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．
①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t2；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0．
∴t为2或0．
故答案为：2或0．
点评：考查解一元二次方程-因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．

17．（2012•荆门）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE= ．

17．
考点：切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．分析：先连接PB、PE，根据⊙P分别与OA、BC相切，得出PB⊥BC，PE⊥OA，再根据A、B点的坐标，得出AE和BE的值，从而求出tan∠ABE，最后根据∠EDF=∠ABE，即可得出答案．
解答：解：连接PB、PE．
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC∥OA，
∴B、P、E在一条直线上，
∵A（2，0），B（1，2），
∴AE=1，BE=2，
∴tan∠ABE=AE BE =，
∵∠EDF=∠ABE，
∴tan∠FDE=．
故答案为：．

点评：此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，解题的关键是做出辅助线，构建直角三角形．

18．（2012•连云港）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC= °．

18．70
考点：切线的性质；圆周角定理．
分析：首先连接OB，OC，由PB，PC是⊙O的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO=∠PCO=90°，又由圆周角定理可得：∠BOC=2∠BAC，继而求得∠BPC的度数．
解答：解：连接OB，OC，
∵PB，PC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∴∠PBO=∠PCO=90°，
∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，
∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO360°-90°-110°-90°=70°．
故答案为：70．

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

19．（2012•武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 ．
19．
考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．
分析：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．解答：解：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，
AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=，
∵∠BOA=∠AC′O=90°，
∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°，
∴∠BOC′=∠OAC′，
tan∠BOC=，
随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
故答案为：．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．

20．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD
的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

20．②③④
考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．
分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为 的中点，得到两条弧相等，再由C为 的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CPPQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．
解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：

∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，选项②正确；
∵直径AB⊥CE，
∴A为的中点，即，
又C为的中点，∴ ，
∴，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：

∵，
∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴AC CQ =CB AC ，即AC2=CQ•CB，
∵，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴，即AC2=AP•AD，
∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，
则正确的选项序号有②③④．
故答案为：②③④。
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
21.（2012•黄石）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t= ．

21.
考点：切线的性质；坐标与图形性质；菱形的性质；解直角三角形．专题：动点型．分析：先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．解答：解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=OC，
∴OE=1+t 2 ，
在Rt△OPE中，
OE=OP•cos30°=，
∴= ，
∴t=，
故答案为：．

点评：本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．
22.（2012•湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ∠ABC=90°
．

22.∠ABC=90°
考点：切线的判定．
专题：开放型．
分析：根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．
解答：解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°．
点评：此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．

〖典型例题1〗 考点一：切线的性质
例1 （2012•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．
求：（1）⊙O的半径；
（2）cos∠BAC的值．

考点：切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析：（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，继而求得⊙O的半径；
（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．
解答：解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴CA⊥PA，
即∠PAC=90°，
∵PC=10，PA=6，
∴AC==8，
∴OA=AC=4，
∴⊙O的半径为4；

（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴∠ABC=∠PAC=90°，
∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，
∴∠BAC=∠P，
在Rt△PAC中，cos∠P=，
∴cos∠BAC=．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

例2 （2012•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
专题：几何综合题．
分析：（1）PO与BC的位置关系是平行；
（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．
解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；

（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=O