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2016年全国高考理科数学模拟试题四

一、选择题(每题5分，共60分)
1．全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，则复数对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．以下函数，在区间内存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的导函数的图像是一条如图所示的直线，直线和轴交于点，则和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．“为第一象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知点在抛物线上，点到轴的距离和到焦点的距离之比为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．某同学在借助计算器求方程的近似数（精确度）时，构造函数，得出，且，他用“二分法”又取了个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为．那么他所取的个值中的第二个值为（ ）
A． B． C． D．
8．安排甲、乙、丙在周一至周五这五天值班，每天安排一人，每人至少值班一天，则不同的安排方案有（ ）
A． B． C． D．

9．在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径．如下图所示，中，已知，点在直线上从左到右运动（点不和、重合），对于的每一个位置，记的外接圆面积和的外接圆面积的比值为，那么（ ）
A．先变小再变大 B．先变大再变小
C．是一个定值 D．仅当为线段的中点时，取得最大值

10．如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几体的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知奇函数是上的单调函数，若关于的函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．把函数的图像绕着原点顺时针旋转角度后恰和轴相切，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每题5分，共20分)
13．等差数列中，已知，则该数列前项的和为 ．
14．中，已知，面积，则该三角形最长边的长度为 ．
15．中，，若，则 ．
16．如下图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出关于函数的四个性质，其中说法正确的是 ．
①；
②在上单调递增；
③当时，取得最大值；
④对于任意的，都有．
三、解答题
17．（本小题满分10分）设，函数，
（1）如果在上单调递增，求实数的取值范围；（5分）
（2）当时，求函数在上的极值．（5分）
18．（本小题满分12分）某工厂有甲乙两条流水线生产同一种工艺品，随机在这两条流水线上各抽取件产品并称出它们的重量（单位：克）如下表，假设重量值落在的产品为优质品，否则为非优质品．
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14]
频数
（甲流水线）
15
30
125
198
77
35
20
频数

（乙流水线）
40
70
79
162
59
55
35
（1）由以上统计数据填下面的列联表，并问是否有超过的把握认为“生产的零件是否为优质品和在不同流水线生产有关”？（6分）

甲流水线
乙流水线
合计
优质品

非优质品

合计

（2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从每条流水线已抽取的件产品中各抽取五件产品，然后分别从中随机的各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为，求的数学期望．（6分）
附：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

19．（本小题满分12分）已知平行四边形中，，为的中点，且是等边三角形，沿把折起至的位置，使得．
（1）是线段的中点，求证：平面；（4分）
（2）求证：；（4分）
（3）求点到平面的距离．（4分）

20．（本小题满分12分）已知点和两个定点、距离的比是一个常数（）．
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（4分）
（2）当时，过点作斜率为的直线交轨迹于、两点，
①若，求；（4分）
②若，求．（4分）
21．（本小题满分14分）已知，函数，为自然对数的底数，
（1）求函数的单调区间；（4分）
（2）构造函数
①如果对于任意的正数，恒成立，求的取值范围；（5分）
②如果对于任意的，总存在以为边长的三角形，求的取值范围．（5分）

请考生在第22、23、24题中任选一题作答．(本题10分)
22．如图所示，过圆上一点的切线和圆一条直径所在的直线交于（在、之间），
（1）若，求的度数；（4分）
（2）若，求的长．（6分）

23．已知参数方程为（为参数，）的直线经过椭圆的右焦点．
（1）求的值；（4分）
（2）设直线和椭圆的交于、两点，求的值．（6分）
（参考公式：设，、是二次方程的两个根，则）

24．设，，
（1）解关于的不等式；（4分）
（2如果恒成立，求实数的取值范围．（6分）

2016年全国高考理科数学模拟试题四答案

一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
A
C
B
D
B
C
D
A
A
二、填空题13．； 14．； 15．； 16．②④．
三、解答题
17．解：（1）因为在上单调递增，故在上恒成立，；
（2），，
由，得，，
结合，知在上递减，在上递增，
故函数在上的极小值为，没有极大值．
18．解：（1）列联表如下，

甲流水线
乙流水线
合计
优质品
400
300
700
非优质品
100
200
300
合计
500
500
1000
，
故有超过99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品和不同流水线有关”；
（2）甲流水线抽取优质品件，非优质品件；乙流水线抽取优质品件，非优质品件；
的可能取值为，
； ；
；；
所以的分布列为：

1
2
3
4

19．证明：（1）取的中点，连、，
因为为中点，故，且，
又，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，故平面；
（2）折叠前，，，即
在四棱锥中，即有，
在中，，，由余弦定理得，
又，由勾股定理的逆定理，得，，
又，从而平面，
平面，得；
（也可连，证平面）
（3）由（2）知，平面，
设点到平面的距离为，则由，
得，，
解得．
（也可取中点，连、，证面面，就是所求的距离）
20．解：设，依题意，，即，…………………1分
化简整理得，……………………………2分
当时，轨迹表示直线；………………………………………………………………3分
当，轨迹是一个圆；……………………………………………………………………………4分
（2）当时，轨迹的方程是，
即，它表示圆心，半径的圆；…………………………………5分
①时，的方程为，即，……………………6分
圆心到直线距离，…………………………………………………………7分
由勾股定理，；……………………………………………………………8分
②法一：因为，结合轨迹的定义，、…………9分
故有，即为线段的中点，………………………………………………10分
过圆心作的垂线，垂足为，
由勾股定理，且…………………12分
结合，可解得，
即圆心到直线的距离为，…………………………………………………………13分
的方程为，即，
故，解得．…………………………………………………………14分
法二：因为，结合轨迹的定义，、…………9分
故有，即为线段的中点，………………………………………………10分
设，则，代入圆的方程，得
，以及，……………………………12分
联立两个方程可解得或，……………………………13分
故或．………………………………………………………14分

（注：最后一问，得出后，也可以结合割线长定理求得的长度，据此再求）
21．解：（1），
当时，；当时，；
于是的递增区间为，递减区间为；
（2），
①当时，由，得，
于是恒成立
而，仅当时取等号，于是；
②对于任意的，总存在以为边长的三角形，
等价于当，；
当时，在恒成立，递减，
∴，解得；
当时，在恒成立，递增，
∴，解得；
当时，
在，，递减；在，，递增；
；
又由（1）知，在上单调递减，故；
而，故恒成立，
综上所述，．
22．解：（1）由，得圆的半径为，，
连，则，，，
于是，；
（2），由切割线定理，，，圆的半径为．
于是，，
在等腰中，，
根据余弦定理，．
23．解：（1）在椭圆中，，
右焦点，而直线经过定点，故；
（2）把代入，整理，得，
设点对应的参数为，根据参数的几何意义，
．
24．（1）解法一：
不等式等价于或者，解得；
解法二：由，得，即，
，即，解得．
（2），
因为恒成立，故有，解得．

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