有理数单元复习(知识点+基础应用+能力提高+中考真题).docx

有理数第一课时复习（有理数定义、数轴、相反数、绝对值）
一、 知识点梳理
1、有理数的分类：按定义分： 按性质符号分：有理数
*注意：①有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
②0是整数不是分数
③数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。
④不能简单理解为带“+”的数是正数，带“-”的数是负数。
⑤几个非负数相加的和为零则每个非负数都是零（中考常考考点）。
⑥有限小数和无限循环小数都可转化为分数，故这样的小数也叫分数。拓展：无限不循环小数是无理数。
2、数轴（重点）：规定了原点、正方向、单位长度的直线
数轴的含义：1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可
（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
（4）同一数轴的单位长度必须一致
所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。数轴上的数从左到右的顺序依次增大，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的。
*注意：①数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。②同一根数轴，单位长度不能改变。
3、相反数（重点）
定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。
在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
例、的相反数是 ， 的相反数是 ， 0的相反数是
4、有理数的大小比较
方法一：①正数大于0,0大于负数，正数大于负数
②两个负数，绝对值大的反而小
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
5.绝对值（难点）
绝对值的定义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记为 ∣a∣，读作：a的绝对值
因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）
从数轴上看，表示数a的点到远点的距离（长度，非负）；表示数a、数b的两点间的距离。
绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身
（绝对值的计算法则） 2）一个负数的绝对值是它的相反数
3）0的绝对值是0

即： ★（取绝对值符号的计算为考点、难点、重点）

绝对值的计算规律：
（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等。即：若则；
（2） 若，则或；
（3）若 ★ （考点、重点）
6、倒数
乘积是1的两个数互为倒数（0没有倒数）
注：（1）自然数的倒数要先把它化成分母是1的假分数，再按调换分子、分母的方法来求倒数。
（2）真分数的倒数只要将分子、分母分别交换位置即可。
（3）求带分数的倒数要先把它化成假分数，再按调换分子、分母的方法来求倒数。
（4）求小数可以先把它化成分数再调换分子、分母来求倒数。
7、科学计数法 ★ （考点）
把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法。
精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。
有效数字确定：从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字（包含末尾的零）。对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。（考点）
8、加括号、去括号
去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。
添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。
9、有理数加减法 ★★ （考点）
加法法则： 1、同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大
的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号。
3、一个数同零相加，仍得这个数。
有理数加法的运算律：交换律：
结合律：
根据加法交换律和结合律可以得出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。
10、有理数的乘除法: ★★ （考点）
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与零相乘，都得零。除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a·(b≠0)。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
乘法运算律：乘法交换律：＝，
乘法结合律：（c＝a（），
乘法分配律：a（b＋c）＝＋。
数字与字母相乘的书写规范：（重点）
⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“.”,
⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写,
⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数.
一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即＋＝（a＋b）x。
注意：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有因数为零，积就为零。
11、有理数的乘方：
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。例：表示，可以表示成。分数可以用乘方来表示。
注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

有理数经典练习题
知识点一:有理数概念
（一） 基础应用
1.判断下列说法是否正确
①带“－”号的数都是负数。
②－a一定是负数。
③不存在既不是正数，也不是负数的数。
④０℃表示没有温度。
2. 下列说法正确的有（ ）
①零是正数；②零是负数；③零是偶数；④零是奇数；⑤零是自然数
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3. 下列六个数：，其中正数的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（二） 应用提高
1. 下列说法中正确的是 （ ）
A. 所有的正数都是整数B.不是正数的数一定是负数C.正有理数包括整数和分数 D.0不是最小的整数
2. 下列说法正确的是（ ）
是负数 B.没有最小的正整数 C.有最大的负整数 D.有最大的正整数
3. 下列说法正确的是                        (     )
①0是绝对值最小的有理数　　　　　　②相反数大于本身的数是负数
③数轴上原点两侧的数互为相反数　　　④两个数比较，绝对值大的反而小
A.  ①②   B.  ①③    C.  ①②③    D.    ①②③④
（三） 中考真题
1．（2015•山东威海）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．5
2.（2011•江苏南通） 如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为
A. －20m B. －40m C.20m D. 40m
知识点二：数轴
（一） 基础应用
1. 在数轴上，表示+2的点在原点的 侧，距离原点的距离是 个单位长度；表示-3的点在原点的 侧，距离原点的距离是 各单位长度，表示+2的点在表示-3的点的 侧。
2. 如图所示，图中字母分别表示什么数？A表示 ；B表示 ；C表示 ；D表示 ；E表示 ；
（二） 应用提高
1.如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点表示的数为（ ）
A.30 B.50 C.60 D.80
2．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：

把按照从小到大的顺序排列                (     )
＜＜a＜b  ＜＜a＜b  ＜a＜＜b  ＜b＜＜a
4. 有理数a，b如图所示位置，则正确的是（ ）

>0 >0 <0 >
5.已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断:
①；②; ③; ④中，错误的个数是（ ）个

A.1 B.2 C.3 D.4
（三） 中考真题
1.（2011•浙江省）如图，在数轴上点A表示的数可能是（ ）

A. 1.5 B.－1.5 C.－2.6 D. 2.6
2.（2010•金华）如图若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ）
0
1

A
(第2题图)

A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
知识点三：相反数
（一） 基础应用
1.如果，那么，两个实数一定是 （ ）
A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数和负数互为相反数 是负数 C.任何有理数都有相反数 0.25与不互为相反数
（二） 应用提高
1、如果| | = ，下列成立的是（ ）
A <0 ≦0 >0 ≧0

（三） 中考真题
1. （2015•湖北荆州）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．－
2. （2011•浙江丽水）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和－2 B．－2和 C．－2和－ D．和2
知识点四：比较大小
（一） 基础应用
1. （2011重庆市潼南）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a、b，则a、b的大小关系为 .

2．（2012贵州安顺）在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（　　）
　 A． B． 0 C． 1 D． ﹣2
17．（2012武汉）在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（　　）
　 A． 2.5 B． ﹣2.5 C． 0 D． 3
（二） 应用提高
1.比较下列有理数的大小
-（-5）与- -（+3）与0
2.下列各式中，正确的是( )
A．－|－6|＞0 B．|0.5|＞|－0.5| C．＜　D.＜0
3.若m>0，n<0，且>，用“>”把、、、连接起来。

（三） 中考真题
1.（2015辽宁大连）比较大小：3 －2(填>、<或=）
2.（2015呼和浩特）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是
A.－3℃ B.15℃ C.－10℃ D.－1℃
3.（2015•安徽省）在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是（ ）
A．－4 B．2 C．－1 D．3
知识点提高（探讨规律）
1. 观察：31=3　32=9　33=27　34=81　35=243　36=729　37=2187　38=6651……，根据以上的规律，判断数字32007的个位数字是.
2. 将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2009应在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
2. （2011山东日照，12，4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）

A.第502个正方形的左下角　　　B.第502个正方形的右下角
C.第503个正方形的左上角　　　D.第503个正方形的右下角
3.（2011山东菏泽，14，3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是 ．

知识点五：绝对值
（一） 基础应用
1.绝对值等于它本身的数有。
28 ； 5 ；绝对值等于4的数是。
3.如果，那么a是（ ）
A.0 B.0和1 C.正数 D.非负数
4.下列说法：
①互为相反数的两个数绝对值相等；③绝对值等于本身的数只有正数，
②不相当的两个数绝对值不相等； ④绝对值相等的两数一定相等。
其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5．一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m，则这个数的绝对值为( )
C.±m D.2m
6．绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数为( )
8或- 8 4或-4 4或+8 8或+4
7．给出下面说法： <1>互为相反数的两数的绝对值相等； <2>一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； <3>若>m,则m<0； <4>若>,则a>b,其中正确的有( )
A.<1><2><3> B.<1><2<4> C.<1><3><4> D.<2><3><4>
（二） 应用提高
1.绝对值小于2的整数有。
2.绝对值不大于3的负整数有。
3.数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 .
4．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是( )
A.正数和零 B.负数或零 C.一切正数 D.所有负数
5．已知>>b,且>,则( )
>b B． C．1 D．
7．已知a≠b，5,则b等于( )
5 5 C.0 5或-5
8.若，则等于（ ）
A.2 B.8 C.2或8 D.
9.如果| | = ，下列成立的是（ ）
A <0 B. >0 D.
10.已知，则a是数；已知，那么a是数。

11.有理数在数轴上的位置如图所示，求的值

12.已知，求的值。

13.若3340,求-28b的值。

14.若 ，若，则a 0，若，则
（三） 中考真题
1.（2015•湖南岳阳）实数﹣2015的绝对值是（　　）
A． 2015 B．﹣2015 C．±2015 D．
2. （2015•辽宁大连）﹣2的绝对值是（　　）
A. 2 B.－2 C. D.
3.（2011•台湾台北）如图(一)所示，O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c、根据图中各点的位置，下列各数的絶对值的比较何者正确？
A ．＜ B ．＞ C．＜ D．＞
4.（2011•四川乐山）数轴上点A、B的位置如图（7）所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为
5.（2015•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（　　）

6．（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算﹣的结果为（　　）

知识点六：倒数、科学计数法
（一） 基础应用
1.有理数的相反数的倒数是（ ）
A. B. C.3 D.–3
2. 有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ）
A.1 B.0 1 D.±1
3.0的倒数（ ）
A． 是0    B．是1   C．没有    D．是
4.下面两个数互为倒数的是 （ ）
A.1和0 B.和1.5 C.3和 2与
5.判断
①0的倒数是0。（ ）
②一个数的倒数一定比这个数小。（ ）
③0.25的倒数是4。（ ）
④，所以、、互为倒数。（ ）
6.我国拟设计建造的长江三峡电站，估计总装机容量将达16780000千瓦，用科学记数法表示总装机容量是（ ）
A.千瓦 B.千瓦 C.千瓦 D.千瓦
7.1999年国家财政收入达到11377亿元，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（ ）亿元
A. B. C. D.
8.用科学记数法表示0.0625，应记作（ ）
A. B. C. D.
9.近似数0.00050400的有效数字有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.近似数0.003020的有效数字个数为（ ） 
A.2个            B.3个          C.4个             D.5个
11.由四舍五入得到近似数3.00万是 ( ) 
A．精确到万位，有l个有效数字 B．精确到个位，有l个有效数字
C．精确到百分位，有3个有效数字  D．精确到百位，有3个有效数字
12.用四舍五入法得到的近似数4.609万，下列说法正确的是（ ）
A.它精确到千分位 B.它精确到0.01 C.它精确到万位 D.它精确到十位
13.对于四舍五入得到的近似数3.20×105，下列说法正确的是（） 
A.有3个有效数字 ，精确到百分位 B. 有6个有效数字 ，精确到个位
C.有2个有效数字 ，精确到万位 D.有3个有效数字 ，精确到千位
（二） 应用提高
1.已知数在数轴上对应的点在原点两侧，并且到原点的位置相等；数是互为倒数，那么的值等于（ ）
A.2 B.–2 C.1 D.–1
2.如果知道a与b互为相反数，且x与y互为倒数，那么代数式 + 2的值为 （ ）
A.0 2 1 D.无法确定
3.若互为相反数，互为倒数，m的绝对值是2，求的值。

4与b互为相反数，b与c相乘的积是最大的负整数，d与e的和等于-2，则的值是多少？

5.下列说法中错误的是（ ）
A.0.05有3个有效数字 ，精确到百分位 B. 50有2个有效数字 ，精确到个位
C.13万有2个有效数字 ，精确到万位 D.6.32×105有3个有效数字 ，精确到千位
6.关于由四舍五入法得到的数500和0.05万，下列说发正确的是（ ）
A.有效数字和精确度都相同 B.有效数字相同，精确度不相同
C.有效数字不同，精确度相同 D.有效数字和精确度都不相同
（三） 中考真题
1.（2015•徐州）﹣2的倒数是（　　）
A.2 2 C.
2.(2015•湖北鄂州）的倒数是（ ）
A． B．3 C． D．
3.（2015•福建泉州）﹣7的倒数是（　　）
A．7 B．﹣7　 C． D．﹣
4.（2011•贵州安顺）－4的倒数的相反数是（ ）
A．－4 B．4 C．－ D．
5.（2015•青岛）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s．把0.000 000 001s用科学记数法可表示为（　　）
A.0.1×10﹣8s B.0.1×10﹣9s C.1×10﹣8s D.1×10﹣9s
6. （2015•莱芜）将数字2.03×10﹣3化为小数是（　　）
A.0.203 B.0.0203 C.0.00203 D0.000203
7.（2015•南昌）2015年初，一列5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（　　）
A.3×106 B.3×105 C.0.3×106 D.30×104
8. （2015•湖北鄂州）某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学计数法表示(结果保留2个有效数字)应为（ ）
A．3.9×10 4 B．3.94×10 4 C．39.4×10 3 D．4.0×10 4
9.（2015•凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是（　　）
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百分位，有5个有效数字
C．精确到百位，有3个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字
知识点七：去括号加括号
化简下列各数的符号：
(1) -(-) (2)-(+) (3)+(+3) (4)-[-(+9)] （5）－[－(－5)] （6）［―(―8)］

（7）—［+(—2.6)］ （8）-[（）] （9） (10)－(－2)＋{－[－(－2)]}＋(－2)

知识点八：有理数加减运算
（一） 基础应用
1：判断题
(1) 两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数．( )
　　 (2) 两个数的和的绝对值一定等于这两个数绝对值的和．( )
　　（3) 两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数．( )
　　 (4) 如果两个数的和为负，那么这两个加数中至少有一个是负数．( )
　　（5）两数之和必大于任何一个加数．( )
　　 (6) 如果两个有理数的和比其中任何一个加数都大,那么这两个数都是正数．( )
　　 (7) 两个不等的有理数相加，和一定不等于0．( )
　　 (8) 两个有理数的和可能等于其中一个加数．( )
2.计算：（＋1）＋（–2）等于（ ） （A）–l （B） 1 （C）–3 （D）3
3.（– 5）+（– 6）；（– 5）–（– 6）；（– 5）×（– 6）；（– 5）÷6。
4.下列运算正确的个数为（ ）
①(－4)－(－4)=0 　②(－5)＋(＋4)=－9 ③0－8=8　 ④
（二） 应用提高
1. 已知是两个有理数，那么与a比较，必定是(　　 )
>a; ; D.大小关系取决于b.
2.计算
（1） （2）

（3） （4）

3．五袋白糖以每袋50为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：＋4.5，－4，＋2.3，－3.5，＋2.5这五袋白糖共超过多少千克？总重量是多少千克？

4. 计算：1-2-3+4+5-6-7+8+9-11+122005-2006-2007+2008+2009-2010.

（三） 中考真题
1．(2015·贵州六盘水)下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2015•四川甘孜）计算2﹣3的结果是（　　）

A．
﹣5
B．
﹣1
C．
1
D．
5
3.（2015上海）计算：．
知识点九：有理数乘除运算
（一）基础应用
1：计算
（1） （2）

2.由x>y可以得到 ≤，下列条件正确的是………………（ ）.
（A）a>0 （B）a<0 （C）a≤0 （D）a≥0
3.计算：。
（二）应用提高
1.如果＜0，0，＞0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.若＜0＜0,则 (     )
A.  a＞0＞0  , 　B.  a＜0＜0
C.  两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D.  两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值
3.如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（ ）
A.同号，且均为负数 B.异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大
C.同号，且均为正数 D.异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大
4．五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是（ ）
A．5　　　　　　B．3 C．1　　　　 D．1或3或5
5.

（四） 中考真题
1. （2015•浙江省绍兴市） 计算的结果是
A. －3 B. －2 C. 2 D. 3
知识点十：有理数乘方
（一）基础应用
1.平方等于它本身的有理数是，
立方等于它本身的有理数是。
2.下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.计算得（ ）
A. B. C. D.
4.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5.。
（二）应用提高
1.计算：。
2.下列等式中成立的是（ ）
A． B. C. D.
3.若
（1）求、的值.
（2）求y2006＋(－y)2007的值.

（3）求…的值

（五） 中考真题
1. （2015•四川）（π﹣3.14）0的相反数是（ ）
A．3.14﹣π B．0 　　 　C．1 　　 　 D．﹣1
2．（2015·湖南省衡阳）计算的结果是（ ）．
A．－3 　 B．1 　 C．－1 　 D．3
3. （2015•浙江杭州） 下列计算正确的是( )
A. 23+24=27 B. 23−24= C. 23×24=27 D. 23÷24=21
4. （2015•浙江湖州，第11题4分）计算：23×()2
知识点十一：混合运算
1.下列运算正确的是               (     )
A.   B.－7－2×5=－9×5=－45 C. D.   －(-3)29
2．计算：

3.计算 8－2×32－(-2×3)2

4．规定a﹡521,则(-4)﹡6的值为               。
5．计算已知1+2+3+…+31+32+3317×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。

6.观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1；
9×1+2=11；
9×2+3=21；
9×3+4=31；
9×4+5=41；
……
猜想第n个等式（n为正整数）应为