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奥数之工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间，在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。　　 　　　
工程问题方法总结：
一：基本数量关系：　　工效×时间=工作总量
二：基本特点：　　设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：基本方法：　　算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法
四：基本思想：　　分做合想、合做分想。
五：类型与方法：
　　一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配 　　
三：休息请假： 1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。3.方程法 　　
四：周期工程
休息与周期： 已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。 　　
1. .天数：①近似天数，②准确天数。 　　
2. 列表确定工作天数。 　　
交替与周期：估算周期，注意顺序！ 　　
注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。 　　
五：工效变化。 　　
六：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。 　　
七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。

一、用“组合法”解工程问题
专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
例题1。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量－×3＝，从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【－（－×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
边讲边练：
1、 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？

2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的。甲、乙两队独做各需几天完成？

例题2：
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（－×3）÷2＝；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
（－×3）÷2＝
（2） 两段时间一共是
1÷（×2+）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
边讲边练：
1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？

2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？

3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？

例题3：移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
（1－－×1）÷（3－1）＝
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷【－（－）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
边讲边练：
1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？

2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？

3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？

例题4：
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（－×2）÷（6－2）＝
丙每小时完成这项工程的几分之几
（－×3）÷（6－3）＝
甲、 丙合做需完成的时间为：
1÷（+）＝7（小时）
答：甲、丙合做完成需要7小时。
边讲边练：
1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？

2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？

3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？

4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？

例题5：一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（+）】×（4+7）＝
三队合修完成时间为
1÷（++）＝10（天）
答：10天可以完成。
边讲边练：
1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？

2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？

3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？

4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？
二、特殊工程问题
专题简析：
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[+]÷6=4（天）
或1÷[（+）×6]=4（天）
答：4天可以完成。
边讲边练：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？

2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？

3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？

例2：
有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
① 三人同时搬运了
2÷（++）=8（小时）
② 丙帮甲搬了
（1-×8）÷=3（小时）
③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
边讲边练：
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒弟每小时加工自己任务的。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？

2、 有两个同样的仓库A和B搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？

3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？

例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。
x+×（14-x）=1
X=5
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是×14，比总工作量多了×14-1=，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=，因此甲做了÷=5（天）
练习3：
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？

2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？

3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。求乙休息的天数。

例4：甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
① 甲、乙同时做的工作量为×（10-3）＝
② 乙单独做的工作量为1－＝
③ 乙的工作效率为÷3=
④ 甲的工作效率为－＝
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷＝12（天）
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？

2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子？

3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？

4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？

例5：放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出现2次。如果+++再加一个，则是五个阀门各放3小时的总水量
1÷[（++++）÷3]=1÷[÷3]=6（小时）
边讲边练：
1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？

2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成，甲干5天、乙干3天可完成。甲、乙合干需几天完成？

3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？

4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？

三、 周期工程问题

专题简析：
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
① 需循环的次数为：1÷（+）=＞7（次）
② 7个循环后剩下的工作量是：1-（+）×7=
③ 余下的工作两还需甲做的时间为：÷=（小时）
④ 完成任务共用的时间为：2×7+=14（小时）
答：完成任务时需共用14小时。
边讲边练：
1、 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？

2、 一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？

3、 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

例2：一项工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙甲
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
① 甲每天能做这项工程的1÷26×=
② 甲单独做完成的时间1÷=40（天）
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
边讲边练：
1、 一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？

2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？

3、 一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？

4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？

例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
边讲边练：
1、 一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？

2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？

3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？

例4：打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
① 每循环一次，他们共完成全部工程的（+）×3＝
② 总工作量里包含几个9/20：1÷=2
③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-×2＝
④ 由于＞，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）÷＝
⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+=13（小时）
答：打印这部稿件共需13小时。

边讲边练：
1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？

2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？

3、 一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的为几月几日？

4、 一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？

例5：有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲
从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲－丙=甲－甲×，又推出乙=甲；与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙甲
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲乙
由此推出：丙=甲，丙=乙
① 丙队每天做这项工程的×=
② 乙队每天做这项工程的÷=
③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（++）=5（天）
答：甲、乙、丙合作要5天完工。
边讲边练：
1、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

2、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？

4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？

四、比例解工程

五、 工资分配、最优配置型
例题1：甲乙丙三人合修一段围墙。甲乙合修6天修好围墙的，乙丙合修两天修好剩下围墙的，剩下的三人又合修了5天才完成。三个人共得工资3600元，这三个人分别应分得多少元？

边讲边练：建造一幢楼房，先要挖好地基，甲乙两个工程队在招标会上承诺：甲工程队15天完成，乙工程队12天完成。由于乙工程队承诺的天数较少，就让乙工程队施工，施工3天后，承建商感到时间还是慢，就又请乙工程队来参加，直到完工。承建商共支出360000元。合理分配，甲乙两个工程队各应领取多少元？

例题2：甲乙两人合干AB两项任务，甲独做A工程需9天，B工程需12天，乙独做A工程需3天，B工程需15天。至少几天能完成任务？

边讲边练：有甲乙两个工程，张三单独做完甲工程需要12天，单独做完乙工程需要15天，李四单独做完甲工程需要8天，单独做完乙工程需要20天。张三李四二人共同完成这两个工程最少需要多少天？

例3：一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天。如果两人合作，由于相互干扰，工作效率就会降低，甲只能完成原来的，乙只能完成原来的。现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人合作要多少天？

六、 工程问题的知识迁移与综合
打扫卫生，整理图书馆，手机充电，蜡烛燃烧……都可以看作工程问题处理
例题1、（一中）小明的妈妈给小明买了一个智能手机，这个手机插上充电器从没有电到充满电需2个小时，在非充电状态下持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时。有一天小明打开手机准备玩游戏，发现手机提示仅剩10%的电了。于是小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1个小时后，小明关上手机去学习了，问继续充电多少分钟才能将手机充满电？

例题2：（2015西分）一批零件，甲单独做24小时完成，乙单独做30小时完成。现在两人合作，为了提高工作进度，两人的工作效率各提高。当完成任务的时，因为其他工作的影响，使得每小时少做21个零件，结果共用了12小时完成。则整个任务共有零件多少个？

边讲边练：1、甲乙两辆清洁车执行东西两成之间的公路清扫任务。甲车单独清扫要10小时，乙车单独清扫要15小时，两车同时从东西两城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东西两城相距多少千米？

一、答案：
练1 1÷【（－）÷（3－1）】＝30天
1、 乙：1÷【（－×2）÷（3－2）】＝8天
甲：1÷（－）＝12天
2、 乙：1÷【（1－－×8）÷（12－8）】＝60天
甲：1÷（－）＝30天
练2 乙队的工作效率：（－×5）÷4＝
总共的天数：1÷（+×2）×2＝12天
1、 1÷【（1－×6）÷3】＝12天
2、 甲做的天数：1÷（+×3+×3×2）＝2天
总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
练3 师傅每小时做这批零件的（－×6）÷（8－6）＝
这批零件共有10÷【－（－）】＝600个
1、 甲队每天修这条公路的（1－－×3）÷（5－3）＝
这条公路全长多少米 20÷【－（－）】＝600米
2、 甲、乙两队工作效率的比是： ：＝3：5
这段公路的全长 750÷（－）＝6000米
或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
练41、甲队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝
丙队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝
甲、丙合做需要的时间1÷（+）＝6小时
2、 乙队每天能做全工程的【1－（×3－×3）】÷（6－3）＝
乙队独做这项工程需要的时间1÷＝15天
3． 乙队每天能做全工程的【1－（×4－×4）】÷（5－4）＝
乙队单独做这项工程需要的时间1÷＝15天
3、 乙队的工作效率【1－（×2+×2）】÷（6－2－2）＝
乙独做这件工作需要的时间1÷＝20小时
练5 1、乙每小时做这件工程的（1－×4）÷（6+4）＝
甲乙合做完成需要的时间1÷（+）＝6小时
2、 甲、乙两队完成的工作量（+）×（8+2）＝
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－）÷12】＝36天
3． 乙的工作效率【1－（×3+×3）】÷（9－3－3）＝
丙的工作效率－＝
三人合做需要的时间1÷（+）＝5天
3、 甲队的工作效率【1－×（12+15）】÷（24－15）＝
甲队单独做需要的时间1÷＝90天

二、答案：
练1 1÷（+）÷2＝7.5小时
1、 1÷（×2+×7）＝3天
2、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1－（×2+×5+×7）×2＝
2）后两天需要小板车：÷（×2）＝15辆
练2 2÷（+）－10＝2小时
1、 2÷（++）＝8小时
甲帮乙：（1－×8）÷＝6小时
甲帮丙：（1－×8）÷＝2小时
2、 解法一：12×（÷）÷（1－）＝240个
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个
练3 1、（×6－1）÷（－）＝3天
1、 甲：（1－×35）÷（－）＝15天
乙：35－15＝20天
2、 40－（1－×40）÷＝25天
练4 1、5×【12÷（15－12）】＝20天
1、 48－48÷30×20＝16条
2、 2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5 1÷【（++）÷2】＝8小时
1、 1÷【（+）÷（3+5）】＝9.6天
2、 1÷（+－）＝21小时
3、 1÷【（+++）÷3－】＝54天

三、答案：
练1
1、 （1）需循环的次数
1÷（+）＝＞3
（2）3个循环后剩下的工作量
1－（+）×3＝
（3）最后由乙做的时间
（－）÷＝小时
（4）需要的总时间
2×3+1+＝7小时
2、 （1）需循环的次数
1÷（+）＝＞8
（2）3个循环后剩下的工作量
1－（+）×8＝
（3）最后由乙做的时间
÷＝小时
（4）需要的总时间
2×8+＝16小时
3、 （1）需循环的次数
÷（+）＝＞3
（2）3个循环后剩下的工作量
－（+）×3＝
（3）最后由乙做的时间
÷＝小时
（4）需要的总时间
2×3+＝6小时
练2
1、 提示：甲的效率是乙的2倍
20÷2＝10天
2、 提示：乙的效率是甲的
1÷【×（1－）+】＝3天
3、 提示：乙的效率是甲的
1÷（1÷12×）＝21小时
4、 （1）需几个周期
÷（－）×3＝＞3
（2）3个周期后剩下的水
－（－）×3＝
（3）需要的时间
2×3+1+（+）÷＝7小时
练3
1、 师傅：84÷（7－4）×7＝196个
徒弟：84÷（7－4）×4＝112个
2、 提示：乙的效率是甲的（1－）＝
1÷（1÷2×）＝7天
3、 3小时36分＝3小时
师、徒效率和：1080÷3＝300个
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个
徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个
练4
1、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 每循环一次的工作量
（+）×（1+2）＝
（2） 总工作量里面有几个
1÷＝3
（3） 3个循环后剩下的工作量
1－×3＝
（4） 一共需要的时间
6×3+1+（－）÷＝20分钟

2、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 1个循环的工作量
（+）×（1+2）＝
（2） 总工作量里面有几个
1÷＝2
（3） 3个循环后剩下的工作量
1－×2＝
（4） 一共需要的时间
6×2+÷＝13小时
说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用÷
3、 提示：把12天看作一个循环
12天中甲的工作量
×（3+3+3）＝
12天中乙的工作量
×（5+5）＝
总共需要的天数
÷（+）＝2
（12天减去最后休息的1天）
12×2－1＝23天
完成全部任务的为3月24日。
4、 提示：把7天看作一个周期
1÷（×5+×6）＝15
7×15－1＝104天
练5
1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙的。
（1） 丙的工作效率×＝
（2） 乙的工作效率÷＝
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（++）＝2天
2、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整