二面角大小的几种求法(归类总结分析).doc

二面角大小的几种求法
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )
一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
P
B
α
C
A
E
F
D
例 空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=60o，∠ACB=90o，求二面角B-PC-A的大小。

解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF.
∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，
∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，
∴∠EDF=

1. 在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。
A
B
C
N
M
P
Q

2. 如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小。
P
O
B
A

3. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
解：如图，PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC
　 又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。
在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=；
在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=，则∠PHA=arctan2.　
5. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

C
B
MB
A
P
N
K
6. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。

7. ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。
C
D
P
M
B
A

8. 如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.
A
B
C
M
N
S

9. 第8题的变式：如上图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A－SC－BC的正弦值.

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
O
10. 如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2，E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。

11. 如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小。
图4
B1
A

A1
B
L

E
F

三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
解：（垂面法）如图，PA⊥平面BD　BD⊥AC
BD⊥BC　过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH
∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。
因PB=a,BC=a,PC=a,　PB·BC=S△PBC=PC·BH则BH==DH，　又BD=在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π ，则
∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。

P

l

C
B
A
12. 空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.

A
B
C
S
D
13．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于DE，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。

II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )
四、射影面积法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。
例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
解：（面积法）如图，，
同时，BC⊥平面BPA于B ，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影

设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，
则cosθ= θ=45°
A
H
M
D1
C1
B1
A1
B
C
D
14. 如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

15. 如图，，α与β所成的角为600，于C，于B，AC＝3，BD＝4，CD＝2，求A、B两点间的距离。
A
l
D
C
α
β
A
l
B
C
α
β
E
B
D

五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补形化为定义法）
解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，
则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°

16. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

六、向量法
解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
例（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，
M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。
,(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 证明平面AMD平面CDE；
(III)求二面角A-CD-E的余弦值。

解：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得
（I）

所以异面直线与所成的角的大小为.
（II）证明： ，

（III）
又由题设，平面的一个法向量为

18.（2008湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面.
(I) 求证：；
(II) 若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，
试判断与的大小关系，并予以证明.

分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1⊥平面BCC1 B1⊥平面ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：，且）
由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：

分析：所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。
略解：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可得MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。

因为AB=AD=a，，。
过B作BH⊥PC于H，连结DH
DH⊥PC　故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角
因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=S△PBC=PC·BH，则BH==DH又BD=。在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。

[基础练习]
1． 二面角是指（ ）
A 两个平面相交所组成的图形
B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形
C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形
D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（ ）
A 1条或2条交线 B 2条或3条交线
C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线
3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )
A 5 B 20 C D
4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（ ）
A
B
C
D
A 300 B 450 C 600 D 1200
5．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=，
则弧度数为的二面角是（ ）
A. D-AC-B B. A-CD-B C. A-BC-D D. A-BD-C
6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有( )
A. S△A1B1C1=S△ABC·sinθ B. S△A1B1C1= S△ABC·cosθ
C. S△ABC =S△A1B1C1·sinθ D. S△ABC =S△A1B1C1·cosθ
A
B
M
N
P
l
7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面角M-l-N的大小为γ，则有（ ）
A　sinα=sinβsinγ　　 B　sinβ=sinαsinγ　
C sinγ=sinαsinβ　 D 以上都不对

8．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。
9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC与α所成角为300，则点C到平面α的距离为 。

10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为 。
11．已知菱形的一个内角是600，边长为a，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。
α
A
B
C1
C
12．如图，△ABC在平面α内的射影为△ABC1，若∠ABC1=θ，BC1=a，且平面ABC与平面α所成的角为ψ，求点C到平面α的距离

13．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC，它与棱AB成450角，AC与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。

[深化练习]
14．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是 。
15．把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二面角的度数是 。
A
F
E
B
D
C
16．如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面ABEF所成角的正弦值。

A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
17．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。

练习参考答案: 1—7 DDBA ABB 8. 7cm 9. 10. 11. 12. 13. 450 14. 700或1650 15. 900 16.正弦值为 17.(1)900 (2)正切值为