九年级数学圆的证明与计算试题汇编.doc

九年级数学圆的证明与计算试题汇编
1.（.元月调考）在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.
（1）求证CF与⊙O相切；
（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

2. （今元月调考）：.如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ΔABC三边于E,F,G三点，连接FE,FG.
（1）求证∠EFG=∠B;
(2)若AC=2BC=4,D为AE的中点，求CD的长。

3．（今元月调考）如图，AB为半圆的直径，B是AB弧的中点C为AD弧上的点，弦BC、AD相交于E，弦AC、BD的延长线相交于点F，求证DE=DF。

4.（今元月调考） 小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点 N，若 OM= ON，则 AB =CD．
（1〕请帮小辩证明这个结论;
（2）运用以上结论解决问题：在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC 三边分别相交于点D、E、F、G，若AD=9,CF=2，,求△ABC的周长．

5．（.年四月调考）如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AFEC
（1）求证AC与⊙0相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．

6. （今年四月调考）如图，是外接圆的直径，是的边上的高，，为垂足.
（1）求证：；
（2）若，，，求圆的直径.

7.（今年四月调考）如图，等腰内接于⊙O，，弦CD平分，交AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，F。
(1)求证：；
(2)若，求FH的值。

8．（今年四月调考）如图，AB，CD，分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB// CD，OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点A，连接MN（1）求证：OB⊥OC；
(2)若OB=6，OC=8，求MN的长.

9、（.五月调考）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，
A
B
C
D
E
F
O
(第22题图)
与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F.
（1） 求证：DF为⊙O的切线；
（2） 若DE=，AB=，求AE的长.

、（1）证明：连结AD，OD
A
B
C
D
E
F
O

G
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又AB=AC
∴BD=DC
又OA=OB
∴OD∥AC
又DF⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF为⊙O的切线
(2)连结BE交OD于G
∵AC=AB,AD⊥BC
ED
BD
∴∠EAD=∠BAD
∴ =
∴ED=BD,OE=OB
∴OD垂直平分EB
∴EG=BG
又AO=BO
∴OG=AE
在Rt△DGB和Rt△OGB中

∴
解得:OG=
∴AE=2OG=
10．（今五月调考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．
（1）求证：△ACE∽△CFB；
（2）若AC＝6，BC＝4，求OH的长．

22．（1）证明：
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠FCB＝45°．
∵AE⊥CD，∴∠CAE＝45°＝∠FCB．
在△ACE与△BCF中，
∠CAE＝∠FCB，∠E＝∠B，∴△ACE∽△CFB．
（2）解：延长AE、CB交于点M．
∵∠FCB＝45°，∠CHM＝90°，
∴∠M＝45°＝∠CAE．
∴HA＝HC＝HM，CM＝CA＝6．
∵CB＝4 ，∴BM＝2．
∵OA＝OB，∴OH＝BM＝1．

11．（今五月调考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．
（1）求证：△CBE∽△CAB；
（2）若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

22．（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，
在△CBE与△CAB中；
∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB ． ……4分
（2） 解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S△CBE：S△CAB＝1:4，△CBE ∽△CAB
∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴ AC＝4EC
∴AE：EC＝3：1
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3:1
设FC＝a，则AD＝3a，
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴ OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，
∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD ＝ ＝ …………………………8分
（本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）

12．（今五月调考）如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC＝，求 的值．

（1）证明：连接OE． ……………………………………………1分
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB． ……………………………………………2分
∴∠OBC＝∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC＝∠OBC＝90°， ……………………………………………3分
∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线．……………………………………………4分
（2）延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．
因为DA、DC、CB为⊙O的切线，
∴DA＝DE，CB＝CE．
在Rt△ABC中，因为tan∠BAC＝，令AB＝2x，则BC＝x．
∴CE＝BC＝x． ……………………………………………5分
令AD＝DE＝a，
则在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝x－a，DC＝CE＋DE＝x＋a，DT＝AB＝2x，
∵DT2＝DC2－CT2，
∴(2x)2＝(x＋a)2－(x－a)2． ……………………………………………6分
解之得，x＝a． ……………………………………………7分
∵AB为直径，
∴∠AEG＝90°．
∵AD＝ED，
∴AD＝ED＝DG＝a．
∴AG＝2a． ……………………………………………8分
因为AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，
∴AG∥BC．
所以△AHG∽△CHB．
∴＝＝． ……………………………………………9分
∴＝1． ……………………………………………10分
13．（.中考）
如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．
C
E
B
A
O
F
D
（1）求证：直线是的切线；
（2）连接交于点，若，求的值．

证明：（1）连接．
是的直径，，
点是的中点，．
．
直线是的切线．
（2）作于点，
C
E
B
A
O
F
D
H
由（1）知，，．
且．
．
，，．
．
．
．

A
B
C
O
E
P
14. （今中考）如图，点O在ÐAPB的平分在线，圆O与PA相切于
点C；
(1) 求证：直线PB与圆O相切；
(2) PO的延长线与圆O交于点E。若圆O的半径为3，PC=4。
求弦CE的长。

A
B
C
O
E
P
F
D
(1) 证明：过点O作OD^PB于点D，连接OC。∵PA切圆O于点C，
∴OC^PA。又∵点O在ÐAPB的平分线上，
∴OC=OD。∴PB与圆O相切。
(2) 解：过点C作CF^OP于点F。在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，
OP=5，=5，∵OC´PC=OP´CF=2S△PCO，
∴CF=。在Rt△COF中，OF==。∴EF=EO+OF=，
∴CE==。

15. （今中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=,求sin∠E.

（1）证明：连接OA,∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°
∵OA=OB,OP⊥AB于C,∴BC=CA,PB=PA ∴△PAO≌△PBO∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线
(2)解法1：连接AD,∵BD为直径， ∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°∴AD//OP,
∴△ADE∽△POE ∴=,由AD//OC得AD=2OC ∵tan∠ABE=,∴=
设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC得PC=2BC=4ｔ，ＯＰ=５ｔ，
∴==.可设ＥＡ=２ｍ，ＥＰ=５ｍ，则ＰＡ=３ｍ，∵ＰＡ=ＰＢ∴ＰＢ=３ｍ，∴sin∠E＝

16．（今武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。

解答：（1）解：作直径CD，连接BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，∠A=∠D，
∵BC=4，sin∠A=，
∴sin∠D==，
∴CD=5，答：三角形ABC外接圆的直径是5．
（2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=4，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sin∠A==，∴BF=，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=，AC=2AF=，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，
即4×R+4×R+×R=×，∴R=，
在△AIF中，AF=，IF=，由勾股定理得：AI=．答：AI的长是．

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