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第二章特殊线性空间
第二章 特殊的线性空间
在线性空间中，定义了空间中两元素间的加法运算及数域中的数与空间中元素的数乘运算。本章将给出线性空间中向量间的内积运算，从而得到了内积空间；并定义一个从线性空间到实数R上的一个实值函数即范数的概念，得到赋范线性空间。
§2.1 内积空间
在以前学习的线性代数中，我们知道中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻画的，现在将把内积的概念推广到一般的线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
2.1.1内积空间的基本概念与性质
定义1 设是数域上的线性空间，如果中每对向量按某一对应法则都有惟一确定的数与之对应，且满足：
（1）；
（2）
（3）；
（4），等号成立当且仅当，
则称为与的内积。定义了内积运算的线性空间称为内积空间。
特别地，若数域取复数域，则称定义了内积的有限维线性空间为酉空间。若数域取实数域，则称定义了内积的有限维线性空间为欧几里得空间，简称为欧氏空间。欧氏空间和酉空间都是常用的内积空间。
例1 在中定义 ，显然满足定义1中的四条，因此是一种内积运算，所以是维欧氏空间。
例2 在中定义 ，(其中),不难证明是酉空间。
一般地，若，记，称为的共轭；记，称为的共轭转置。
此外，若，称是埃尔米特（）矩阵；若，称是反埃尔米特矩阵。显然埃尔米特阵是实对称阵的推广。
由于在酉空间中经常要用到复矩阵，故先了解一下矩阵的共轭及共轭转置的性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）。
例3 在中对任意定义，则为酉空间。
证明 对任意,有
（1）；
（2）；
（3）；
（4），当且仅当时等号成立，
所以为酉空间。
例4 对任意定义，则为欧氏空间。
例5 设为阶正定阵。对任意定义 ，则是维欧氏空间。
证明 对任意,有
（1）；
（2）；
（3）；
（4）因为是正定阵，所以，当且仅当时等号成立，
所以为欧氏空间。
在例5中，如果取不同的正定矩阵，那么由其定义的内积是不同的，也就是说，在同一个线性空间里可以定义不同的内积，所得到的欧氏空间我们视为不同的内积空间。
一般地，我们将例1与例2中定义的内积称为标准内积。以后若无特殊说明，（或）及其子空间的内积均采用标准内积。
由内积的定义，我们不难得到内积的如下性质。
定理1 设是酉空间的内积，则
（1）；
（2）；
（3），其中，
。
证明 （1）；
（2）；
（3）由性质（2）显然成立。
一般地，在维内积空间中，若已知基向量之间的内积，那么任意两向量间的内积就都可以得到了。这是因为，若设是酉空间的基，且与是中两个向量，那么与的内积为

（2-1）
，
其中，。
显然若是欧氏空间，则。
2.1.2内积在基下的矩阵
定义2 设是酉（欧氏）空间的基，令，称为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵。
由前面的讨论不难得到下面的定理。
定理2 设是酉空间的一组基，且内积在这组基下的矩阵是，那么
（1）矩阵是埃尔米特矩阵，即；
（2）若设，，，则；
（3），且，均有。
证明 （1）设，则，由于

所以。
（2）由式（2-1）知其显然成立。
（3）若，则，从而 。
推论 设是欧氏空间的一组基，且内积在基下的矩阵是，那么
（1）矩阵是对称矩阵，即；
（2）若设，，，则；
（3），且，均有。
例6 在中定义内积，则是欧氏空间，
求（1）内积在基下的矩阵；
（2）与的内积。
解答 （1） ，，
，，，，
所以内积在基下的矩阵为

（2）法1 ；
法2 因为 在基下的坐标分别为，
，从而
。
可以看到计算向量间的内积既可以利用内积的定义方式直接计算，也可以利用内积在基下的度量矩阵计算，结果是一样的。
对于同一个内积空间，当取的基不同，则对应的度量矩阵一般来说也是不同的，下面我们给出它们的关系。
定理3 内积在不同基下的度量矩阵是合同的。
证明 设酉（欧氏）空间的内积在两组基和下的矩阵分别为,令，，，，且。
又设与是中任意两个向量，它们在基下的坐标为与，那么有

则与在下的坐标分别是与，从而

由与的任意性，得

即是合同矩阵。
§2.2标准正交基与向量的正交化
由于向量与其自身的内积满足，故可以利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹角、正交等概念推广到一般的内积空间。
2.2.1向量的度量性质
定义1 设是酉（欧氏）空间，，称为向量的模（或范数）。如果，则称为单位向量。
如上面定义的向量的模与线性代数中空间的向量的模是一致的，性质也是相同的。
定理1 设是酉（欧氏）空间的内积，则
（1）；
（2）；
（3）。
证明 不妨设是酉空间。
（1）；
（2）时显然成立，不妨设，，有

，
若取，可得
，
即

（3）因为

，
那么由本定理结论（2），可得

故

证毕。
通常称定理结论（2）为柯西—许瓦兹（—）不等式。
利用向量范数还可以定义向量间的距离和夹角。通常称

为与的距离。在欧氏空间中两非零向量与的夹角规定为

由于酉空间中的内积一般是复数，所以向量间不易定义夹角，但仍可以引入正交概念。
定义2 设是酉（欧氏）空间，，如果，则称向量与正交，记为。
例1 已知与是中的两个向量，若规定内积，则，即与正交；若规定内积，其中，则，也就是与不正交。
上例中，可以看到在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，则得到两个不同的内积空间，向量在这两个内积空间的正交性不一定相同。
定义3 设是酉（欧氏）空间中的非零向量组，如果两两正交，那么称是正交向量组。如果是两两正交的单位向量，那么称其为标准正交向量组。
定理2 正交向量组必是线性无关向量组。
证明 设是正交向量组。令，则
由得

因为，故，则必有，因此是线性无关向量组。
2.2.2标准正交基
定义4 如果标准正交向量组是酉（欧氏）空间的一组基，那么称为酉（欧氏）空间的标准正交基。
定理3 设是酉（欧氏）空间，为酉（欧氏）空间的标准正交基，那么
（1）内积在标准正交基下的矩阵为单位阵；
（2）若是从标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵，则（或）。
证明 （1）设内积在标准正交基下的矩阵为。 由 的标准正交性，得

所以。
（2）由本定理结论（1），内积在标准正交基与下的矩阵都是单位阵，而内积在不同基下的度量矩阵是合同的，因此当是酉空间时， ，即；当是欧氏空间，则有成立。证毕。
根据定理3结论（1），当时，显然有。
定义5 设，若，则称为酉（正交）矩阵，全体阶酉（正交）矩阵构成的集合记为。
酉矩阵具有如下性质。
定理4 设,则
（1）；
（2）；
（3），其中是的特征值；
（4）和的列分别构成的标准正交基。
证明（1）（2）略。
（3）由，得，则，因此。
又设是的特征值，则存在，使得，于是

则
所以，即。
（4）仅证明的列构成的标准正交基，其余类似。
设，由，知是的一组基。又，即

从而
即是标准正交向量组，因此的列构成的标准正交基。
前面我们看到，如果酉（欧氏）空间的基用标准正交基，那么向量的内积表达式非常简单，因此通常使用时我们更希望用标准正交基。下面讨论如何从酉（欧氏）空间的一组基出发，求出的标准正交基，即向量的标准正交化问题。
2.2.3 向量的正交化
定理5 （正交化法）设是酉（欧氏）空间的线性无关向量组，则在中存在正交向量组使得
，
其中为单位上三角阵（即对角线元素都是1的上三角阵）。
证明 令 ；
；
；

，
不难证明是中正交向量组，而且上面的等式也可以记作：
；
；
；

，
所以
。
推论1 设是酉（欧氏）空间的线性无关向量组，则在中存在标准正交向量组使得，其中为正线上三角阵（即对角线元素都是正数的上三角阵）。
证明 由定理6的证明知中存在正交向量组与单位上三角阵使

取，则是中标准正交向量组，且

，
其中 为正线上三角阵。
推论2 设是酉（欧氏）空间的标准正交向量组，则可以扩充成中的一组标准正交基。
证明 令，显然是的线性子空间，且是子空间的一组基。若设，则。
当时，就是酉（欧氏）空间的标准正交基。当时，由第一章第三节基的扩充原理知中存在个向量使得是中的一组基。对标准正交化可以得到中的一组标准正交基，设为。由于是酉（欧氏）空间的标准正交向量组，所以，，…，，故就是由扩充而成的中的一组标准正交基。
例2 在中定义内积，求的一组正交基。
解答 取的一组基，现在将其正交化，
；
；

综上，就是的一组正交基。
例3 将标准正交向量组扩充成的一组标准正交基。
解答 法1取,显然是的一组基，对正交化得
； ；

再对标准化得

就是由扩充成的的一组标准正交基。
法2 由题设可知，故只需找一个与都正交的向量，即可得到的一组正交基。因此必满足，设，则 ，解得，取，并标准化得
，因此就是由扩充成的的一组标准正交基。
§2.3 正交子空间
2.3.1子空间的正交
第二节我们研究了正交向量组，那么利用正交向量组生成的线性子空间有什么特点呢？先看一个例子。
例1设酉（欧氏）空间的一个正交向量组。令，，那么，必有
证明 ，有
，，
其中。由于是正交向量组， 即，所以

因此成立。
我们看到如例1构造的与，任意从与中各取出一个向量均正交，由此我们有如下定义和定理。
定义1 设是酉（欧氏）空间的子空间，，如果均有则称向量与子空间正交，记为。
定义2 设与都是酉（欧氏）空间的子空间，如果均有则称子空间与正交，记为。
定理1 设与是酉（欧氏）空间的两个子空间，则与正交的充要条件是生成与的两个向量组互相正交，即。
证明 略。
例2 设，则
证明 设，，那么，其中，，而且
，
根据本节定理1得

故结论得证。
定理2 若与是酉（欧氏）空间的正交子空间，则是直和。
证明 若，则，有，所以，于是，即是直和。
根据直和的性质，显然有下面的推论。
推论 若与是酉（欧氏）空间的正交子空间，则。
要注意的是，即使两个子空间与的和是直和，与也不一定正交。
例如在中，取，
，则是直和，但显然不与正交。
2.3.2 正交补空间
在本节例1中，若酉（欧氏）空间的一组正交基，那么子空间不仅正交，显然还满足，此时我们称是的正交补子空间。
定义3 设与都是酉（欧氏）空间的子空间，如果且，则称是的正交补子空间，记为或。
在第一章中，对于矩阵，它有相应的核空间与值域空间，而且与是的子空间，与是的子空间，不仅如此，它们还有如下结论。
定理3 设，则
（1），且；
（2），且。
证明 （1）因为 ，，使得； ， 成立，所以

因此成立， 是直和，且满足

又因为

所以
，
故成立。
（2）将（1）中的换成，即可。证毕。
通常我们称将内积空间表示成其子空间与的和的过程为正交分解。
定理4 设是酉（欧氏）空间的子空间，则存在惟一的，使得。
证明 设是的标准正交基，由本章第二节定理5推论2知可以将扩充为的标准正交基。令，则，且。
下面证明惟一性。若还存在，使得， 且，那么，显然有，由直和分解表达式的唯一性，知，使

于是

说明，那么 ，因此。
同理可证，故，即的正交补空间惟一。
例3设是次数不大于3的实数域上的多项式空间，定义内积，又设是次数为零的多项式空间，求的正交补空间。
解答 法1显然，将的基扩充为的基，并将其用施密特正交化方法化为正交基。
；
；
；

则。
法2由题设可知。为求，首先找的一组基。
设，则满足，即

取，，。
显然与线性无关且都与1正交 ，因而与是的一组基，所以。
由于与是中等价的向量组，所以法1与法2中所得到的是相同的。
2.3.3 向量到子空间的距离
内积空间中定义了范数、正交等概念后，可以将几何空间中点到直线（或平面）距离进一步推广。
定义4 设都是酉（欧氏）空间的子空间，且，那么,有惟一的正交分解表达式

其中，称向量为向量在子空间的正投影，而称为向量到子空间的距离。
几何空间中点到直线（或平面）距离最短，上述定义的向量到子空间的距离也同样具有这样的性质。
定理5 设是酉（欧氏）空间的子空间，，向量为在子空间的正投影， 为到子空间的距离，那么,一定满足

当且仅当时，等号成立。
证明 由已知,,所以
或
于是

故
当且仅当时，。
§2.4 向量范数
前面我们利用内积定义了向量的范数（或长度），显然这样定义的向量长度是对实数的绝对值、复数的模的一种推广，而且这三者具有共同的性质——非负性、齐次性与满足三角不等式，这说明同时具备这三个属性是“长度”概念的根本内涵。据此，我们可以将“长度”概念进一步推广，定义更一般的向量范数概念。
2.4.1 向量范数的概念与性质
定义1 设是数域（R或C）上的线性空间。如果对于中任意一个向量，都有一个实数与之对应，且满足：
（1）正定性 ，当且仅当时，；
（2）齐次性 ,；
（3）三角不等式 ,。
则称为线性空间上的向量范数，而赋予了向量范数结构的线性空间称为赋范线性空间，记为。
赋范线性空间是一大类应用广泛的抽象空间。
由向量范数的定义可以看出，向量范数是一种更抽象意义下的“长度”，它仍然具有如几何向量长度的性质：
（1）；
（2）当时，；
（3），有；
（4），。
下面仅证明性质（4）。
证明 由向量范数满足三角不等式得

即

同理可得
综上有

例1 设是向量空间中的任一向量，定义，
则是上的一个向量范数。
证明 由于，则它满足：
（1）正定性 ，当且仅当时，，所以；
（2）齐次性 ，，有

（3）三角不等式，有

所以是上的一个向量范数。
通常称例1中定义的范数为向量的1-范数。
例2 设是向量空间中的任一向量，定义，
则是上的一个向量范数。
证明 当时，显然，当且仅当时，，因此满足正定性。
对任意的常数，有

即齐次性也成立。再对任意，有

即三角不等式成立。故是上的一个向量范数。
通常称例2中定义的范数为向量的-范数。
此外，在线性空间中，常常可以利用已知的范数构造新的范数。
例3 设为（F是C或R）上的一种向量范数，是一个给定的矩阵，且矩阵的个列向量线性无关，定义，有

则为上的一个向量范数。
证明 由已知，显然。又设矩阵的个列向量为，由的线性无关性，可知，有

所以当且仅当时，，从而，即满足正定性。
又，，有

即满足齐次性。
又，有

即满足三角不等式。
综上，为上的一个向量范数。
由上面的例子可以知道在同一个线性空间中可以构造出无穷多种范数，但是并不是任何一个从线性空间到非负实数的映射都是范数。
例4在维向量空间（或）中，对任一向量，规定下面的实数与之对应
，
试说明是否是（或）上的向量范数？
解答 取，则，且

说明，也就是不满足范数定义中的齐次性，因此不是（或）上的向量范数。
一般地，在无穷维线性空间中也可以定义不同的范数
例5 在闭区间上的连续函数全体，按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，则下面给出的三种形式是中的常用的范数。
(1);
(2)
(3)
,和分别称为中函数的范数，范数和范数。
证明留给同学们。
2.4.2 上的常用范数
维线性空间（或）中常用的向量范数有：
（或）
1-范数 ； （2-2）
2-范数 ； （2-3）
-范数 ； （2-4）
-范数 （2-5）
我们已经在本节例1与例2中证明了（2-2）与 （2-4类似地，也可以证明同学们可以证明如（2-3）定义的形式是（或）中的向量范数。
事实上，在（2-5）中，若取或，则它分别对应了向量的1-范数和2-范数；又由于

所以有
因此，向量的-范数可以视为当时的-范数。
此外由于向量的2-范数还可以表示为，因此也经常称之为欧式范数。
下面我们仅证明如（2-5）定义的形式是（或）中的向量范数。证明前，我们先引入两个不等式。
不等式：，有

其中，，且。特别的，时，不等式为著名的不等式。
不等式：，对任何有

不等式的证明在许多实分析论著中可以找到，本处我们仅用它来证明不等式。
证明 记，则

再由不等式得

不等式两端同时除以，得

所以
下面利用不定式证明式（2-5）是中的向量范数。
证明 （1）由的定义，正定性显然成立；
（2）齐次性 ， ，有

（3）三角不等式 ，由不等式，有

因此为上的一个向量范数。
需要指出的是当时，不是上的向量范数，因为此时不等式不成立。
例如，时，在中，取，，则，而，因此。所以时，不是上的范数。
另外，我们知道线性空间（或）对应了几何上的二维（或三维）空间，当采用不同的范数时，平面（或空间）上的单位圆盘（或单位球体）（或）就呈现出不同的形状。如图2-1所示。

图2-1 不同范数的单位圆

由图2-1，可以看到在同一个线性空间，定义不同的范数，实际上就是采用了不同的度量方式，因此其对应的图形不同，但是尽管度量方式不同，其本质上是等价的。
2.4.3 向量范数的等价性
定义2 设线性空间上定义了两种向量范数和，若存在常数，使得，有

成立，则称的两个向量范数与等价。
显然向量范数等价具有自反性、对称性和传递性。
例6 试验证中向量范数与两两等价。
解答 （1）设，则

且

综上得 ，即与等价。
（2）因为

且

所以得 ，即与等价。
（3）由上面结果易知

即与等价。所以中向量范数与两两等价。
事实上，可以证明维线性空间中任意两种范数等价。
定理1 设是（或）中的向量的范数，则是其分量的连续函数。
证明 ，记。
令是中一组基，则

于是，有

注意到是固定的常数，因此当时，有
。这表明是其分量的元连续函数。
定理2 维线性空间（或）中任意两种向量范数等价。
证明 设与是维线性空间（或）中任意两种向量范数，，有
(1) 当时，，结论显然成立；
(2) 当时，显然，，构造函数

及有界闭集，则由定理1可知，是有界闭集上的连续函数。因此在上能取到最大值与最小值，设最大值为，最小值为。
又因为，可以取

则，且

而

故有

所以与在维线性空间（或）中等价。
向量范数是向量的一种度量性质，在第七章我们将看到利用向量范数可以定义向量间的距离，从而可以研究向量序列的收敛性，而且由于维线性空间中任意两种向量范数等价，即使用不同的范数研究向量序列，其收敛性是一样的。
§2.5 矩阵范数
2.5.1 上的矩阵范数
线性空间（或）中任意一个的矩阵，可以看做是一个维的向量，因此，可以用定义向量范数的方法来定义（或）中阶矩阵的范数。
但是，我们知道矩阵之间具有向量所没有的乘法运算，而且如果对于某种范数，可以满足性质

其中，，，是，以及上的同一类范数，那么在计算上能带来许多方便，因此通常我们要求矩阵范数满足这样的性质，并称此性质为相容性。
本章中我们仅在（或）上研究方阵的范数。
定义1 设是数域（R或C）上所有矩阵全体构成的的线性空间,如果对于中任意一个矩阵，都有一个实数与之对应，且满足：
（1）正定性 ，当且仅当时，；
（2）齐次性 ，，；
（3）三角不等式 ，；
（4） 相容性 ,。
那么称为线性空间上的矩阵范数，赋予了矩阵范数结构的线性空间称为赋范线性空间，记为。
例1 设是数域（R或C）上所有矩阵全体构成的的线性空间。，验证
（2-6）
是上的矩阵范数。
证明 只需验证（2-6）满足矩阵范数定义中的四个性质即可。
（1）显然，而且当且仅当时，，，即满足正定性；
（2）又，，有

即满足齐次性；
（3）又，有

即满足三角不等式；
（4）下面验证相容性 。 ，有

综上是上的矩阵范数。
通常称上例中的范数为矩阵的-范数。 此外，上常用的矩阵范数还有-范数与-范数。
例2 设是数域（R或C）上所有矩阵全体构成的的线性空间。，则
（2-7）
（2-8）
都是上的矩阵范数。它们分别称为矩阵的-范数与-范数。
证明 容易证明如（2-7）与（2-8）形式都满足正定性、齐次性与三角不等式，下面仅证明其满足相容性。
，有
（1）
由不等式得

于是

（2）

值得注意的是，在上面定义的三种矩阵范数中，矩阵的范数与范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推广，而矩阵的范数与向量的-范数却并不相同，这是因为如果矩阵的范数也定义为，那么这种范数就不满足矩阵范数的相容性。例如，对

按此定义则有，，，故，从而相容性不成立。
2.5.2 范数的性质
通常方阵的-范数又被称为范数，简称范数。范数有许多好的性质，使用起来非常方便。
定理1 ，则满足：
（1），其中为的第列，。；
（2）；
（3），其中是的迹，是的第个特征值。
证明 （1）由向量2-范数定义知，故

（2）
（3）

所以。
又的迹是的个特征值的和，故。
综上结论成立。
由第二章第一节例3知是上的一种内积，故范数又可以记为，所以范数可以看做是向量的范数的一种推广。
定理2 ， 与是中的酉矩阵，则

证明 由已知有，因此

即
又由于是中的酉矩阵，故也是中的酉矩阵，因此有

而
所以
综上
2.5.3 矩阵范数的性质
我们知道，上的矩阵范数满足向量范数定义中的三条，因此矩阵范数当然有与向量范数类似的一些性质。
定理3 设（或），则
（1） ；
（2） ；
（3）是关于矩阵各元素的连续函数。
证明 从略。
同样地，可以定义矩阵范数等价。
定义2 设与是（或）上的两个矩阵范数，如果（或）都存在两个正数，使得

成立，则称矩阵范数与等价。
与向量范数类似，（或）上任意两个矩阵范数等价。该结论的证明与向量范数相应定理的证明类似，请读者自行完成。
另外，在（或）上仍然可以根据已知的矩阵范数构造出新的矩阵范数。
例3 设与是线性空间上的两个矩阵范数,证明
，
也是上的矩阵范数。
证明 非负性，齐次性和三角不等式的成立是显然的，下面只要证明相容性成立即可。

所以是矩阵范数。
矩阵范数和向量范数一样，仍然是一种度量性质，在第七章我们将看到利用矩阵范数可以定义矩阵间的距离，从而可以研究矩阵序列的收敛性，而且由于线性空间中任意两种矩阵范数等价，当使用不同的矩阵范数研究矩阵序列收敛性时，其收敛性是相同的。
§2.6 矩阵范数与向量范数的相容性
我们知道，不仅矩阵间有乘法运算，矩阵与向量之间也有乘法运算，为了使用上的方便，往往也要求矩阵范数与向量范数满足相容性。
定义1 设是上的向量范数，是上的矩阵范数，如果， ，满足

则称方阵范数与向量范数是相容的。
那么对于给定的矩阵范数，能否找到与之相容的向量范数？又或者对于给定的向量范数，能否找到与之相容的矩阵范数呢？回答都是肯定的。
2.6.1 与已知矩阵范数相容的向量范数

定理1 对于给定的矩阵范数，一定存在与之相容的向量范数。
证明 设是上的矩阵范数，是任意一个非零的维常向量，，定义

则就是与相容的向量范数。下面先证明是向量范数。
显然，当且仅当时，，从而；
又，，有

又，有

所以是上的一个向量范数。
又由矩阵范数的相容性得

综上，是与相容的向量范数。
在上例的证明中，若取定,当矩阵范数取-范数时， ；当矩阵范数取-范数时，，因此矩阵的-范数与向量的1-范数相容；矩阵-范数与向量的2-范数相容。
此外，利用方阵范数与向量范数相容的定义，还可以证明矩阵的-范数与向量的1-范数，2-范数以及-范数都相容。下面仅证明矩阵的-范数与向量的1-范数相容，其余两个证明留给同学们练习。
例1 证明矩阵的-范数与向量的1-范数相容。
证明 ，令的各列向量为（），，则有

由向量范数的性质得

所以矩阵的-范数与向量的1-范数相容。
2.6.2 由已知向量范数生成的与其相容的矩阵范数（算子范数）
定理2 设是上的一个向量范数， ，定义

则是与向量范数相容的矩阵范数。通常称为由向量范数导出的算子范数或从属于向量范数的矩阵范数。
证明 （1），当时，必存在使，从而

又当时，，都有，因此，反之亦然。所以满足正定性。
（2），有

因此满足齐次性。
（3）,有

因此满足三角不等式。
（4），若中有一个是零矩阵，则；若都不是零矩阵，则

因此满足相容性。
综上所述，是矩阵范数。下面证明是与向量范数相容的矩阵范数。由于

必成立，所以成立。
由定理2，可以知道对于给定的向量范数一定存在与之相容的矩阵范数。另外定理2中的定义方式还有如下的书写形式。
定理3 设是上的向量范数，则由诱导的矩阵的算子范数还可以表示为
；
证明
令，则，且

又因为
。
所以结论成立。
下面我们利用定理3中的形式研究几种算子范数。
例2 证明 由维向量的1-范数所诱导的算子范数是：
，
该范数也称为矩阵的1-范数或列和范数，或称为从属于向量1-范数的矩阵范数。
证明 令的各列向量为（），且，则

若设，当取时，显然，于是。这说明不仅成立，而且确实存在，使，因此有

例3 证明 由维向量-范数所诱导的算子范数是：
，
该范数也称为矩阵的-范数或行和范数，或称为从属于向量-范数的矩阵范数。
证明 令且，则，有

于是

若设，当取定时，其中的第个分量为

显然，且的第个分量为，此时。所以不仅成立，而且确实能取到，即

故所证成立。
例4 证明由维向量2-范数所诱导的算子范数（或称为从属于向量2-范数的矩阵范数）是：
，
其中是的最大的特征值。该范数也称为矩阵的2-范数或谱范数。
证明 若,结论显然成立。
若，任取，且，则

由于为埃米特阵，故必酉相似于对角阵（见第四章第三节定理3），即存在酉矩阵与对角阵使。于是

令，则，且

又是半正定的，其特征值必为非负实数（见第四章第三节定理5），故设对角阵的对角线元素为，且，其中，从而
（2-9）
则，说明成立。
又当取，时，，即，说明不仅成立，而且确实能取到，即

而就是的最大的特征值，所以成立。
从以上这几种算子范数的定义看，矩阵的2-范数不如1-范数和-范数方便，但由于它有许多比较好的性质，而且与向量的欧氏范数是相容的，因此它仍是常用的一种矩阵范数。
定理4 设为阶方阵，则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）对任意的，有；
证明（1）若,结论显然成立。
若，当时，有

即。又，因此存在，使得，若取
，则

所以
（2） 因为

于是

又由，得

因此有，所证成立。
（3）由矩阵范数定义和（2），得

又由（1），可得

所以成立。
（4）由已知可得

所以若是的最大的特征值，那么它也是的最大的特征值。于是

又由本定理结论（2知

综上成立。
矩阵范数的一个重要用途就是给出矩阵的谱的范围。
定义2 矩阵的谱半径是
是的特征值
定理5 如果是任意的一种矩阵范数，，必有成立。
证明 设为矩阵的一个特征值，相应的特征向量为，则。又设是与相容的上的向量范数，那么

成立，从而，再由的定义可知必有成立。
从定理5看到，矩阵的特征值不大于任何一种矩阵范数，事实上谱半径就是的所有矩阵范数的值的最大下界。

习 题 二
1．设是数域上线性空间的基，在中定义，其中，，验证是否为酉空间。
2．设与为中的两组基，在中按某种方式定义了内积，且，
求 (1) 内积在基下的度量矩阵；(2) 内积在基下的度量矩阵。
3．设，求的标准正交基。
4. 设欧氏空间的内积为，为的标准正交基，求内积在基下的矩阵。
5. 设，求的子空间的标准正交基，并求的正交补空间。
6. 若，求齐次线性方程组的解空间的正交补空间。
7. 设是次数不大于3的实数域上的多项式空间，定义内积，又设是次数为零的多项式空间，求的正交补空间。
8. 若是酉（欧氏）空间的子空间，证明:(1) ；
(2) 。
9. 设，证明 :
(1) ； (2) ；
(3) 。
10. 讨论下列所给映射是否为相应空间中的范数，并说明理由。
(1) 在实数空间中，；
(2) 设可逆，给定中某向量范数，对中的向量，定义映射；
(3) 在上，对任意的，；
(4) 在区间上全体实值连续函数的集合，按照通常函数的加法和数乘构成上线性空间，对任意，；
(5) 在上小题的条件下，定义；
(6) 设对称正定，对于中的向量，定义。
11. 设是线性空间上的两个向量范数,则,有
(1) 是上的向量范数；
(2) 是上的向量范数，。
12. 已知矩阵，直接验证，中的向量范数与的等价性，并求等价定义中的系数和。
13. 设可逆，为给定的中的矩阵范数，对于任意的，定义函数，证明也是中的矩阵范数。
14. 给定中的两种矩阵范数与，证明也是中的矩阵范数。
15. 证明。
16. 试利用矩阵范数与向量范数相容的定义证明
(1) 矩阵的-范数与向量的1-范数相容；
(2) 矩阵的-范数与向量的2-范数相容；
(3) 矩阵的-范数与向量的-范数相容。
17. 证明
(1) 若，且，则，；
(2) 若与是相容的，则；
(3) 若是算子范数，则
①；
②；
③；
18. 设，是对应于两向量范数，的算子范数，可逆，则。
19. 设，求，，，，，。
20. 设，且均为对称矩阵，试证。

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