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正弦定理
编稿：李霞　　　审稿：张林娟　
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二：正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时

设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：构造直角三角形
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
（2）当为钝角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
法三：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，

∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时

如图，.
法四：面积法
任意斜中，如图作，则

同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的几个变式，比如： ，,
等等.
要点三：利用正弦定理解三角形
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角.
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：

(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
【高清课堂：正弦定理 例1】
例1．已知在中，，，，求和B.
【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B的值。
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式2】在中，若，则等于 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。故选B.
【变式3】中，，＝3，则的周长为（ ）
A． B．C． D．
【答案】由正弦定理得：，
得b＋c＝[＋(－B)]＝．
故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．
例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。
(1)79100 (2) 102075
(3)10560 (4) 2
【思路点拨】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。
【解析】（1）本题无解。
（2）本题无解。
（3）本题有一个解。
利用正弦定理，可得：

（4）本题有两解。
由正弦定理得：
当
综上所述：
【总结升华】
已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：

A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解

无解
无解
一解
a

两解

一解

A<
无解
举一反三：
【变式1】在中，，, , 求.
【答案】由正弦定理，得.
∵, ∴，即
∴
【变式2】在，求和，．
【答案】由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵， ∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴，
∴即为锐角， ∴，
∴．
【高清课堂：正弦定理 例3】
【变式3】在中，， ，，求和．
【答案】∵， ∴，
∵， ∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例3.根据下列条件，判定的形状.

【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.
【解析】(1)由正弦定理得

故是等腰三角形或直角三角形
(2) 由正弦定理得

故是等边三角形
【总结升华】
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
举一反三：
【变式1】在中，若，试判断的形状.
【答案】由及已知条件可得：，
为三角形的内角，，，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形。
【变式2】在△中，试判断三角形的形状.
【答案】利用正弦定理将边转化为角.
∵又
∴∴
∴
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴ 即
故此三角形是等腰三角形.
类型四：利用正弦定理求三角形的面积
例4.在中，角的对边分别为，。
（I）求的值；
（Ⅱ）求的面积。
【思路点拨】先利用三角形内角和求出C的正弦值，再利用正弦定理求边，进而求三角形的面积.
【解析】（Ⅰ）因为A、B、C为△的内角，且，，
所以，．
于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
又因为，，所以在△中，由正弦定理，得
.
于是△的面积.
【总结升华】
求三角形面积，应根据已知条件选择合适的计算方法，以减少计算量. 若已知三角形的两边，则可求其夹角，然后利用求解.
举一反三：
【变式】在△中，已知，，求的面积。
【答案】由，得，
，
又，即，
所以三角形的解有两种情况
，
或
故的面积的面积为或.
类型五：正弦定理的综合运用
例5.如图，D是直角△斜边上一点，＝，记∠＝α，∠＝β.
(1)证明： α＋ 2β＝0；
(2)若＝，求β的值．

【思路点拨】先利用直角三角形中边，角的关系找到α、β的等量关系，然后在△中利用正弦定理，建立方程解之.
【解析】(1)证明：∵＝，
则∠＝β，∴∠C＝β－α.
又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，
2β＝－ α，即 2β＋ α＝0.　　①
(2)在△中，，
即 β＝ α. ②
①代入②整理得：
22β－ β－＝0.
解得 β＝，或 β＝－舍去，
又β为锐角，则β＝60°.
【总结升华】
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正弦定理、余弦定理（即将要学习）加以解决．
举一反三：
【变式1】在△中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为．

【答案】　在△中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理
【高清课堂：正弦定理 例5】
【变式2】 在△中， ，∠30°,求的最大值。
【答案】因为
所以
∠∠180°－∠150°，
从而

所以的最大值为
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