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第六讲 指数函数和对数函数
指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。
一、指数的性质
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：

2．整数指数幂的运算性质：（1） （2）
（3）
其中， ．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，
例如：27的3次方根， 的3次方根，
32的5次方根， 的5次方根．
说明：①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
④ ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 ∴．

4．的次方根的性质
一般地，若是奇数，则；
若是偶数，则．
5．例题分析：
例．计算：
解：
（二）分数指数幂
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
幂的运算性质对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴ ．

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
（2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：
【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式：
， ， .
解：=；
=；
=．
【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）； （2）；
解（1） 2） ==．
=
=；
例3．计算下列各式：
（1） （2）．
解：（1）== （2）=．
==；

【例3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
解：（1）
，
∴，
又由得，∴，
所以.

（2）（法一）
，
（法二）
而

∴，
又由得，∴，
所以.
二、指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．
2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：

图象

性质
1）定义域：
（2）值域：
（3）过定点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
【例1】求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3） （4）．
解：（1） ∴ 原函数的定义域是，
令 则
∴得，
所以，原函数的值域是．
（2） ∴ 原函数的定义域是，
令 则，
在是增函数 ∴，
所以，原函数的值域是．
（3）原函数的定义域是，
令 则，
在是增函数， ∴，
所以，原函数的值域是．
（4）原函数的定义域是，
由得，
∴， ∴，
所以，原函数的值域是．
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
【例2】当时，证明函数 是奇函数。
证明：由得，，
故函数定义域关于原点对称。

∴
所以，函数 是奇函数。
三、对数的性质
1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，。

指数式
底数
幂
指数
对数式
对数的底数
真数
对数
说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．对任意 且 , 都有 ∴，同样：．
3．如果把中的写成 则有 （对数恒等式）．
2．对数式与指数式的互换
例如： ，；，；
，； ，。
【例1】将下列指数式写成对数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）； （2）； （3）； （4）．
3．介绍两种常见的对数：
①常用对数：以10作底简写成；
②自然对数：以作底为无理数，= 2.71828…… ，简写成．
【例2】（1）计算： ， ．
解：设 则 ， , ∴；
令， ∴, , ∴．
（2）求 x 的值：①； ②．
解：① ；
②
但必须： ， ∴舍去 ，从而．
（3）求底数：①， ②．
解：① ∴；
②, ∴．
4．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么
（1）；
（2）；
（3）．
【例3】计算：
（1）lg1421g； （2）； （3）．
解：（1）解法一：

；
解法二：

=；
（2）；
（3）=．
5．换底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；)
证明：设，则，
两边取以为底的对数得：，∴，
从而得： ， ∴ ．
说明：两个较为常用的推论：
（1） ； （2） （、且均不为1）．
证明：（1） ；
（2） ．
【例4】计算：（1） ； （2）．
解：（1）原式 = ；
（2） 原式 = ．
【例5】已知，，求（用 a, b 表示）．
解：∵， ∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【例6】设 ，求证：．
证明：∵，
∴ ，
∴ ．
四、对数函数
1．对数函数的定义：函数 叫做对数函数。
2．对数函数的性质：
（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．
（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。
1
1

（图1）
同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。
1
1

（图2）

（3）对数函数性质列表：
图
象

性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即当时，
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在上是减函数
【例1】求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）．
分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。
解：（1）由>0得，
∴函数的定义域是；
（2）由得，
∴函数的定义域是；
（3）由9-得-3，
∴函数的定义域是．
【例2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1），，； （2），，．
解： （1）∵，
，
，
∴．
（2）∵，
∴．

【例3】求下列函数的值域：
（1）；（2）
解：（1）令，则，
∵， ∴，即函数值域为．
（2）令，则，
∴， 即函数值域为．
【例4】判断函数的奇偶性。
解：∵恒成立，故的定义域为，

，
所以，为奇函数。
【例5】求函数的单调区间。
解：令在上递增，在上递减，
又∵， ∴或，
故在上递增，在上递减 又∵为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减。

课堂练习题
（1）
1、填空：
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
2、（1）若，则 ；（2）若，则 ；
（3）若，，用表示 ， ；
（2）
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） ；（10） ；
2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正：
(1) ； （2）；
（3）； （4）.
课后巩固提高
1、下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2、81×27可以记为（ ）
A. B. C. D.
3、可以等于（ ）
A. B. C. D.
4、计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5、在等式中，括号内的代数式应当是（ ）
A. B. C. D.
6、若是正整数，当时，等于（ ）
A.1 B.－1 C.0 D.1或－1
7、计算的结果为( )
A. B. C. D.
8、， ， .
9、已知，则 ；已知，则x= .
10、计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
11、下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12、下列各式中错误的是( )
A. B. ()=
C. D.－
13、已知n是大于1的自然数,则等于 ( )
A. B. C. D.
14、下列运算中与结果相同的是 ( )
A. B. C. D.
15、用简便方法计算
(1) (2)

16、已知,求m的值.

17、若，解关于的方程.

18、若，，求的值．

§2 指数扩充及其运算性质
1、将b写成分数指数幂的形式：
（1）； （2）； （3）.

2、将分数指数幂写成根式的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）.

3、将根式写成分数指数幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）.

4、计算：
（1）； （2）； （3）； （4） .

5、已知，，求，，，.

6、已知，求，.

§3 指数函数
1、已知，则指数函数1.，2.的图像为 （ ）

第2题
2、如图是指数函数的图像则的关系是（ ）
A. B.
C. D.
3、已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4、若，则下列选项成立 的是 （ ）
A. B. C. D.
5、设，则（ ）
A. B. C. D.
6、若，那么的值为 （ ）
A.1 B.2 C.5 D.1或5
7、已知则 的大小关系为 .
8、解方程.
§4.1 对数及其运算

1、把下列指数式写成对数式：
（1） （2）
（3） （4）

2、把下列对数式写成指数式：
（1） （2）
（3） （4）

3、求下列各式中x的值：
（1） （2）
（3） （4）

4、求下列各式的值：
（1 （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）

5、基础练习
（1） 　 （2）

6、加强巩固
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

7、已知，，，请分别用表示式子，，.

§4.2 换底公式

1、求下列各式的值：
(1) （2） （3）
（4） （5） （6）

2、加强巩固

3、综合应用
（1）设,，试用、表示，，.

（2）已知求.

§5 对数函数
1、求下列函数的定义域：
(1)； （2）；
(3)； （4）.

2、求下列函数的反函数：
(1)； （2）；
(3)； （4）；
(5)； （6）.

3、比较各题中各数的大小：
(1)，； （2），；
(3) ，； （4），.

4、已知函数 ，则 .

5、已知函数 ，且，则 .

第三章 指数函数和对数函数单元测试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（每小题6分，共60分．）
1．已知x，y为正实数，则(　　)
A． B．
C． D．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A． B． C． D．
3．已知，则函数y＝f(x＋1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为(　　)
A．2与1 B．3与1 C．9与3 D．8与3
4．下列说法正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．设函数．若，则
的值等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．2loga8
6．(log43＋log83)(log32＋log98)等于(　　)
A. B. C. D．以上都不对
7．若 的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域为(　　)
A. B． C. D.
8．若是奇函数，则实数a＝(　　)
A. B. C. D.
9．已知，那么用表示是（ ）
A． B. C. D.
10．设，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共15分．）
11．函数y＝的定义域是________．
12．函数，则________.
13．的值为 .

三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
14．(14分)计算下列各式:
(1) ； (2) .

15．(14分)求下列函数的定义域：
(1)； （2）.

16．(14分)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其反函数的图像过点(8,3)．求的解析式.

17．(16分)已知，求（1）；（2）.

18．(17分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中a>0，a≠1，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．

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