中考数学作图题易考题型精讲精练超实用.doc

中考数学作图题易考题型精讲精练(超实用)
中考二轮复习——专题分类
专题一、作图型试题
例1、（无锡）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1.
（2）在图2中画出一个与格点△相似但相似比不等于1的格点三角形.
图2
F
D
E

A
B
C
图1

知识点：考查学生平移变换，利用勾股定理进行三角形的有关计算，全等及相似三角形的判定。
精析：本题关键是计算出△的三边的长度，然后找一个不等于1的相似比，比如相似比为2，计算出△三边长或计算出一边长后，利用平移得出△。
图2
F
D
E
A
B
C
图1
A1
B1
C1
准确答案．（1） （2）答案不唯一.

中考对该知识点的要求：，点阵中对称点对称图形问题及利用格点进行面积计算已经成为最近几年中考试题的考点问题。
目标达成：
图1－1－1
1－1－1、（太原）在4×4的正方形网格中，每个小方形的边长都是1。线段和分别是（图1－1）中1×3的两个矩形的对角线，显然∥。请你用类似的方法画出过点E且垂直于的直线，并证明。

1－1－2、（连云港）如图1－2，在的正方形网格中，
每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画
出图形．
（图1－1－2）
（1） 从点A出发的一条线段，使它的另一个端点落在
格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；
（2）以（1）中的为边的一个等腰三角形，
使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
(3)以（1）中的为边的两个凸多边形，使它们都是中心对
称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．
1－1－3、（宿迁）如图1－3，方格纸中每个小方格
都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形就是一个“格点四边形”．
（1）求图（一）中四边形的面积；
图1－3
（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形，使△的面积等于四边形的面积且为轴对称图形．

　　　　　　　　 　　图（一）　　　　　　　　　　　图（二）

A
B
C

O
图1－1－4
1－1－4、（潍坊）如图，是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与全等的一个格点三角形．

1－1－5、（宁波）已知：如图，四边形 .
(1)画出 A1B1C1D1使 A1B1C1D1与 关于直线对称;
(2)画出 A2B2C2D2,使 A2B2C2D2与 关于点O中心对称;
M
A
(3) A1B1C1D1与 A2B2C2D2是对称图形吗?若是,请在图上画出对称轴或对称中心

D
B

C

O

图1－1－5

例2、（河南课改）有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释。

知识点：考查有关图形的面积计算问题。
精析：一般对于简单的图形可直观的进行分割，而对于稍复杂的题目，是通过计算或是转化为三角形问题来解决的。
准确答案：设梯形上、下底分别为a、b，高为h。
方案一：如图1，连结梯形上、下底的中点E、F，则S四边形＝S四边形＝
方案二：如图2，分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底上截取＝(a＋b)，连接，则S△＝S四边形＝。
方案三：如图3，连结，取的中点E，连结、，则图中阴影部分的面积等于梯形的面积的一半。
分析此方案可知，∵＝，∴S△＝S△，S△＝S△，
∴S△＋S△＝S△＋S△，
∴图中阴影部分的面积等于梯形的面积的一半

中考对该知识点的要求：对于图形分割，是历年来各省市的中考试题的一个考点也是难点之一。它要求学生除了考查学生的基础知识外，还能较好的考查学生的观察、分析、创新能力。

目标达成
1－2－1.（贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

图1－2－1

（1） 根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线
有 组；
（2）请在图1－2－1的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？

1－2－2.（梅州）如图5，Δ中，∠90°，∠30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
图1－2－2

1－2－3.(黄冈)蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120，宽30的长条形桌面。现只有长80，宽45的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼出来的桌面符合要求。（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸，设计出一种得5分，设计出两种再加1分）
80cm
45cm

80cm
45cm

1－2－4. （临沂）小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．

1－2－5.　（2005年 佛山）学校有一块如图所示的扇形空地，请你把它平均分成两部分．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明．）

能力提高：
1－1.（常州如图，有一木制圆形脸谱工艺品，、两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．

1－2、（武汉）．用四块如图1所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一个轴对称图形（如图2），请你分别在图3、图4中各画一种与图2不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且其中至少有一个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
1－3（锦州）如图，己知四边形，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2.(不写作法，但保留作图痕迹)
A　　　　　　　　　　B
D　　　　　　　　　　

C

1－4.（青岛）某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛。
（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P；
（2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积。

1－5．（上海）（1）在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为　　　　　　　　；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为　　　　　　　　；
（2）在图4中，画出与△关于x轴对称的△A1B1C1
1－6．（苏州）如图，平行四边形纸条中，E、F分别是边、的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形沿翻折，得到一个V字形图案。
(1)请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1；
(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹)
(2)已知∠63°，求∠B1的大小。

1－7．（温州）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。

1-8.（盐城）已知：如图，现有的正方形和的矫形纸片若干块，试选用这些纸片（每种至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矫形每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，批出的图中必须保留拼图的痕迹），使批出的矫形面积为，并标出此矫形的长和宽。

1－9.（茂名）一条小船，
（1） 若把小船平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小船；
（2） 若该小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给后，再航行到点B，但要求航程最短，
试在图中画出点P的位置

1－10.(丽水）某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
图1
图2

A
B
C

A
B
C
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由

1－11. （曲沃－阳城）在下面方格纸中设计一个对称图案，在这个图案中必须用到等腰三角形、正方形、圆三种基本图形。

1－12、（曲沃－阳城）下面是天都市三个旅游景点的平面图，请你选用适当的方式借助刻度尺、量角器等基本作图工具，确定出三个景点的位置。

天都市旅游景点示意图
碑林
博物馆
动物园
北
比例尺
0
5
10千米

A ·
·A′

1－13、（深圳南山区）平移方格纸中的图形（如图13），使A点平移到A′点处，画出平移后的图形，并写上一句贴切、诙谐的解说词．
解说词：

一、作图型试题答案
1－1－1.

（第2题答图1）
（第2题答图2）
1－1－2.

1－1－3. （1）方法一：S＝×6×4 ＝12

方法二：S＝4×6－×2×1－×4×1－×3×4－×2×3＝12
　 （2）（只要画出一种即可）

1－1－4. 只画出一个符合题意的三角形即可.
1－1－5. (1)如图，平行四边形A1B1C1D1，就是所求的平行四边形. -
(2)如图，平行四边形A2B2C2D2，就是所求的平行四边形.
(3)是轴对称图形，对称轴是直线.

1－2－1.（1）无数；
（2）只要两条直线都过对角线的交点就给满分；
（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）；
1－2－2. 解：作法一：作边上的中线；
作法二：作∠的平分线；
作法三：在上取一点D，使。

1－2－3.

1－2－4.　 作法：
(1)作的垂直平分线交于点O；
(2)分别以A、B为圆心，以(或)的长为半径画弧，分别交半圆干点M、N；(3)连结、即可．

1－2－5.　 解法一：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于C、D两点；
（2）分别以C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E点（不与O点重合）；
注：也可直接以A、B为圆心作图．
（3）射线交弧于F；
则线段将扇形二等分。
解法二：1）连接；
2）分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于C点（不与O点重合）；
3）连接交弧于D点；则线段将扇形二等分．
能力提高：
1－1

方法一：如图①，画的垂线L交于D，则点D就是的中点。
依据是垂径定理。
方法二：如图②，分别过点T、H画⊥，⊥，与相交于点F，过点O、F画直线L交于点D，则点D就是的中点。
由画图知，△≌△，易得，又
所以点O、F在的中垂线上，所以
方法三：如图③，（原理同方法二）
1－2、

1－3D
D1
C
C1
B1
B
A
D1
D
C1
C
B1
B
A
.可按位似图形放大，且位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部，在每一处都会有两种图形，因此，此题属开放试题，仅举示例供参考：

1-4.(1)

（2）

1－5.(1) ①、②； ①、③.
(2)如图

1－6. 1）作图如图；
（2）

1－7. 列举以下四种铺设的示意图供参考

1－8. 答案不唯一。
1－9. （1）平移后的小船如图所示…………5分

（2）如图，点A’与点A关于直线L成轴对称，连接A’B交直线L于点P，则点P为所求。
1－10. （1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上；

（2）作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上；
（3）∵，
∴S⊙2=≈16.75，
又S平行四边形=2S△2××42×60º=8≈13.86,
∵S⊙O > S平行四边形 ∴选择建圆形花坛面积较

1－11. 略

10千米
30°
30°
60°
60°
45°
45°
碑林
4cm
6cm
2cm
参 考 图
天都市旅游景点示意图

博物馆

动物园
北
比例尺
0
5
参 考 图
10千米
碑林
60°
45°
2cm
天都市旅游景点示意图

博物馆

动物园
北
比例尺
0
5
4cm
1－12.

专题二、规律探索
例1、（锦州）观察下面的几个算式：
　　1+2+1=4，
　　1+2+3+2+1=9，
　　1+2+3+4+3+2+1=16，
　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
　　根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1.
精析：这是一道数字探索性题，解这一类型题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法，数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、四色猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索，猜想而得，学习数学必须不断去探索、猜想、不断总结规律，才会有所发现有所创造。
准确答案：10000或1002　；
中考对该知识点的要求：规律探索是反映了由特殊到一般的数学方法，同时能考查学生的分析、归纳、抽象、概括能力，因此，它成为近几年中考试题的命题热点。
目标达成：
2－1－1．（青岛）

2－1－2．（日照）已知下列等式：
① 13＝12；
② 13＋23＝32；
③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
…… ……
由此规律知，第⑤个等式是 ．
2－1－3．（2005年陕西）观察下列等式：

则第n个等式可以表示为 。
2－1－4．（深圳），，，……，若（a、b都是正整数），则的最小值是　_ 。
2－1－5. （内江）有若干个数，依次记为若，
从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差
的倒数，则　　　　　　　。
例题2、（泸州）如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，则S＝　　　　（用含n的代数式表示，n为正整数）．

精析：此题是图形规律，解决这类问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
准确答案：55
目标达成：
2－2－1．（潜江、仙桃、江汉油田）如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形。照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是

D
C
B
A

2－2－2．（枣庄）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点个数共有个．
2－2－3．（泰州）如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴 根.

1条
2条
3条

……

2－2－4．（重庆）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含的代数式表示）.

2－2－5（茂名）小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子 枚（用含有n的代数式表示）

能力提高：
2－1、（福州）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是＿＿＿＿＿。
2－2、（连云港）右图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为1， 回形线与射线交于…．若从点到点的回形线为第1圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．
2－3、（深圳南山区）观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有个正方形。

2－4（南通）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．（1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ；
（2）当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 （用含k的式子表示）．
2－5（武汉课改）在计算机程序中，二杈树是一种表示数据结构的方法。如图，一层二杈树的结点总数是1，二层二杈树的结点总数是3，三层二杈树的结点总数是7，四层二杈树的结点总数是15……照此规律七层二杈树的结点总数是 。

2－6．（南京）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时，M是线段的中点。
如图，在直角坐标系中，⊿的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，
点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5
与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…。对称
中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循
环。已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标。
2－7．（武汉）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么8条直线把一个平面最多分成               部分。
2－8．（玉溪）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为 。

2－9．（北京丰台）观察下列数表：
1 2 3 4 … 第一行
2 3 4 5 … 第二行
3 4 5 6 … 第三行
4 5 6 7 … 第四行

第 第 第 第
一 二 三 四
列 列 列 列
根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为，第n行（n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为。
2－10. （福州）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是＿＿＿＿＿。
2－11.（大连）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图2－11－1所示的几何图形。
图2-11－1
图2－11-2
（1）请你利用这个几何图形求
的值为。
（2）请你利用图2－11－2，再设计一个能求
的值的几何图形。
2－12（重庆市）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P，第2次从点P出发按乙方式运动到点P，第3次从点P出发再按甲方式运动到点P，第4次从点P出发再按乙方式运动到点P，……．依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P的坐标是 ． （－3，－4）

2－13、（湘潭市）观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，控究其中的规律；
①
②
③
④
……
⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：

⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

二、规律探索：
2－1－1 ．109　　　　　2－1－2．152 2－1－3． ；
2－1－4．19； 2－1－5．
2－2－1．A　　　2－2－2．40　　　2－2－3．6n＋2　　　2－2－4．
2－2－5．44[或填4（1）或4（2）－4或（2）2－n2
能力提高：
2－1．　　　2－2．79　　　2－3．55　　　
2－4. （1）9，． （2）3（k－2），． 2－5．127
2－6． P2(11) P7(1,1) P100=(13)　　　2－7. 37 2－8.
2－9．11，　　　　2－10．　　2－11．（1）。
（2）如图1－1或如图1－2或如图1－3或如图1－4等，图形正确。

2－12、（－3，－4）；
2－13、⑴ 　　　　　　　　　⑵

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