2015年山东春季高考数学试题及详解答案.doc

山东省2015年普通高校招生（春季）考试
数学试题
注意事项:
１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）
1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则 A ∩B等于（ ）
（A）{1，2，3} （B）{1，3} （C） {1，2} （D）{2}
2．|x－1|＜5的解集是（ ）
（A）(－6，4) （B）（－4，6）
（C） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)

3．函数y＝+的定义域为（ ）
（A）{x| x≥－1且x≠0} （B）{x|x≥－1}
（C）{x x＞－1且x≠0} （D）{x|x＞－1}
4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（ ）
（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）9

B
O
M
A
6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量＝，＝，则可以表示为（ ）
（A） + （B） － +
（C） － （D）－ －
7．终边在y轴的正半轴上的角的集合是（ ）
（A）{x|x＝＋2kp，kÎZ } （B）{x|x＝＋kp}
（C）{x|x＝－＋2kp，kÎZ } （D）{x|x＝－＋kp，kÎZ }
8．关于函数y＝－x2+2x，下列叙述错误的是（ ）
（A）函数的最大值是1 （B）函数图象的对称轴是直线x=1
（C）函数的单调递减区间是[－1，＋∞) （D）函数图象过点（2，0）
9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ）
（A）10 （B）20 （C）60 （D）100
10．如图所示，直线l的方程是（ ）
（A）x－y－＝0 （B）x－2y－＝0
（C）x－3y－1＝0 （D）x－y－1＝0

11．对于命题p，q，若p∧q为假命题”，且p∨q为真命题，则（ ）
（A）p，q都是真命题 （B）p，q都是假命题
（C）p，q一个是真命题一个是假命题 （D）无法判断

12．已知函数f (x)是奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2＋2，则f (－1)的值是（ ）
（A）－3 （B）－1 （C）1 （D）3

13．已知点P（m，－2）在函数y＝log x的图象上，点A的坐标是（4，3），则︱︱的值是（ ）
（A） （B）2 （C）6 （D）5

14．关于x,y的方程x2+m y2＝1，给出下列命题：
①当m＜0时，方程表示双曲线；②当m＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m＜1时，方程表示椭圆；④当m＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m＞1时，方程表示椭圆。
其中，真命题的个数是（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
15．(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
（A）0 （B）－1 （C）－32 （D）32

（A）
（B）
（C）
（D）
x
1
y
O
3
3
1
y
O
3
3
x
1
y
O
3
3
x
1
y
O
3
3
16．不等式组表示的区域（阴影部分）是（ ）

17．甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
18．已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，则·等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）0

19．已知a，b表示平面， m，n表示直线，下列命题中正确的是（ ）
（A）若m^a， m^n，则n// a （B）若 mÌa ， nÌb, a//b，则 m//n
（C）若a//b ，mÌa，则m//b （D）若mÌa ， nÌa，m//b，n//b ，则a//b

20．已知F1是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P在双曲线上，直线P F1与x轴垂直，且︱P F1︱＝a，则双曲线的离心率是（ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
第Ⅱ卷（非选择题，共60分）

二、填空题（本大题共5个题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是________．

22．在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝45°，AB＝2， BC等于________．

23．计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是________．

24．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2+m y2－6 m－7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于________．

25．集合M，N，S都 是非空集合，现规定如下运算：
M⊙N⊙S＝{x|xÎ(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)，且xÏ M∩N∩S }．
若集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d} ，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b－a＝d－c＝f－e；（3）b＋a＜d＋c＜f＋e．
计算A⊙B⊙C＝_____________________________________．

三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
26．（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名 ，求第一排应安排多少名演员。

x
O
y
1
27. （本小题8分）已知函数y ＝2sin(2x+φ)，xÎR, 0＜φ＜，函数的部分图象如图所示，求
（1）函数的最小正周期T及φ的值；
（2）函数的单调递增区间。

28．（本小题8分）已知函数f (x)＝a（a＞0且a≠1）在区间[－2，4]上的最大值是16，
（1）求实数a的值；
（2）若函数g (x)＝log2(x2－3x＋2a)的定义域是R，求满足不等式log2(1－2t)≤1的实数t的取值范围．

29．（本小题9分）如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3.
（1）求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：AB⊥SD．
B
AA
C
D
SSSS

30．（本小题9分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l经过点M（3，1），与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．

答案
1.【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】.
3.【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】且得该函数的定义域是.
4.【考查内容】充分、必要条件
【答案】C
【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”直线与圆相切” “圆心到直线的距离等于圆的半径”.
5.【考查内容】等比数列的性质
【答案】D
【解析】，.
6. 【考查内容】向量的线性运算
【答案】B
【解析】.
7.【考查内容】终边相同的角的集合
【答案】A
【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是
8.【考查内容】二次函数的图象和性质
【答案】C
【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.
9.【考查内容】组合数的应用
【答案】A
【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）
10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.
11. 【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题
12.【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】
13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模
【答案】D
【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.
14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.
15.【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为
16【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为
18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算
【答案】A
【解析】
19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A. 若，，则或n在内；B. 若，，，则或m与n异面；D. 若，，，，且m、n相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.
20.【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
【解析】的坐标为，设P点坐标为，，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.
21. 【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.【考查内容】正弦定理
【答案】
【解析】由正弦定理可知，,
23.【考查内容】系统抽样
【答案】42
【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是
24.【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】
【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，，则短轴长为
25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集
【答案】
【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，，..
26. 【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.
答：第一排应安排18名演员
27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质
【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点0,1），所以，即，又因为，所以.
(2)因为函数的单调递增区间是.
所以，解得，
所以函数的单调递增区间是
28.【考查内容】指数函数的单调性
【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
当时，函数在区间上是增函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.
29.【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，，
又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.
(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,
所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.
30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系
【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，
所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，
所以抛物线方程是.
（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，
则方程为，整理得，
设联立直线l与抛物线的方程得 ,
消去y，并整理得，
于是.
由①式变形得，代入②式并整理得，
于是，又因为，所以，即，
，解得或.
当时，直线l的方程是，不满足，舍去.
当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.
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