2018广州中考二次函数综合测试题(绝版押题).doc

2018广州中考二次函数综合测试题（绝版 押题）
一、 选择题：（每小题3分，共45分）
1．已知h关于t的函数关系式为，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）

（A） （B） （C） （D）
2．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）及所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y＝35x＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）
（A）正比例函数 （B）反比例函数．
（C）二次函数 　　　（D）一次函数
3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（，）和点B（，），当＜时＞，则m的取值范围是（ ）
（A）m＜0 （B）m＞0 （C）m＜ （D）m＞
4．函数y = kx + 1及函数在同一坐标系中的大致图象是（　　　）

　　　（A）　　　　　　　（B）　　　　　　（C）　　　　　　（D）
5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数及一次函数y＝ax＋c的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

（A） （B） （C） （D）
6．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1）
7．函数y=ax+b及y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A． ab>0， c>0 B． ab<0， c>0
C． ab>0， c<0 D． ab<0， c<0
8．已知a，b，c均为正数，且k=，在下列四个点中，正比例函数
的图像一定经过的点的坐标是（ ）
A．（l，） B．（l，2） C．（l，－） D．（1，－1）
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，及平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y则能反映y及x之间关系的图象为……………（ 　 ）

10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（　　）
（A），，
（B）， ，
（C），，
（D），，
11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间及距离之间的关系（ ）

12．二次函数y=x2-2x+2有 （ ）
A． 最大值是1 B．最大值是2
C．最小值是1 D．最小值是2
13．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，若x1 y1>0 D． y1> y2>0
14．若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ( )
A． 9 B． 3 C．-9 D． 0
x
第3题图
y
P
D
O
15．二次函数的图象及轴交点的个数是（　）
A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．不能确定
二、 填空题：（每小题3分，共30分）
1．完成下列配方过程：
＝
＝；
2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________．
3．如图，点P是反比例函数上的一点，PD⊥轴于点D，则△POD的面积为 ；
4、已知实数m满足，当m=___________时，函数的图象及x轴无交点．
5．二次函数有最小值，则m＝_________；
6．抛物线向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________；
7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________；
8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________；
9．二次函数的图像及x轴交点横坐标为－2，b，图像及y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________；
10．如图，直线及双曲线在第一象限内的交点R，及x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ及△PRM的面积相等，则k的值等于 ．
三、 解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本题共45分）
1已知二次函数的图像经过A（0，1），B（2，－1）两点．
（1）求b和c的值；
（2）试判断点P（－1，2）是否在此函数图像上？

2．已知一次函数的图象及反比例函数的图象交于点P(4，n)．
（1）求n的值．（2）求一次函数的解析式．
3．看图，解答下列问题．
　　（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．
4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）
（1） 求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围．

5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：
每件销售价（元）
5

…
每天售出件数
300
24

…
假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．
（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数及每件售价（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．

（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．
求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）

6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱及铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．

（1） （2）
（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；


（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板及地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：≈1.8，≈1.9，≈2.1）

7．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2．
（Ⅰ）若抛物线及x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m
的值；

（Ⅱ）设C为抛物线及y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值．

二次函数及其他函数的综合测试题
参考答案：
一、 选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A
9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C　
二、填空题：1．，，， ．
2 y= 3． 1 4．2或－1 5． 6． 7．10元或20元
8．6＋ 9． 或 10．
三、解答题：
1．

2．解：（1）由题意得：，
（2）由点P（4，2）在上， ．
一次函数的解析式为．
3．解：（1）由图可知A（－1，－1），B（0，－2），C（1，1）
　　设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c
　　依题意，得　解得 ∴　y＝2x2＋x－2．
　　（2）y＝2x2＋x－2＝2（x＋）2－
　　∴　顶点坐标为（－，），对称轴为x＝－
　　（3）图象略，画出正确图象
4．解：（1）函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）
∴9+3b-1=2，解得b=-2 ． ∴函数解析式为y=x2-2x-1
（2）y=x2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2）
（3）当x=3 时，y=2， 根据图象知，当x≥3时，y≥2
∴当x>0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．
5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数及每件售价之间的函数关系为： ．
（2）当时， ， 解得：；
设门市部每天纯利润为 ①当时，

当时，
②当时，
时，随的增大而减少
时，
时，纯利润最大为5296元．
6．

（1）　　　　　　　（2）
解：（1）如图，建立直角坐标系， 　设二次函数解析式为　y＝ax2＋c
　　∵　D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2），　∴　　　
　　∴　 　∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．
　（2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，
　AG＝（AB－EF）＝（1.6－0.4）＝0.6．
　　在Rt△AGE中，AE＝2，EG＝＝＝≈1.9．
　∴　2.2－1.9＝0.3（米）．　　　　∴　木板到地面的距离约为0.3米．
7．解： (I)设点Ａ（x1，0），B(x2，0) ， 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根．
∵x1 ＋ x2 ＝m ，　x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2；
又AB＝∣x1 x2∣＝，∴m2－4m＋3=0 ．
解得：m=1或m=3(舍去) ，∴m的值为1 ．
（II）设M(a，b)，则N(－a，－b) ．
∵M、N是抛物线上的两点
M
N
C
x
y
O
∴
①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 ．
∴a2＝－m＋2．
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N．
∴．
这时M、N到y轴的距离均为，
又点C坐标为（0，2－m），而S△M N C = 27 ，
∴2××（2－m）×=27 ． ∴解得m=－7 ．

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

中考试题分类汇编--函数综合题
　1.　 如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．

　　（1）若二次函数y＝－x2－kx＋（2＋2k－k2）的图象经过A、B两点，求它的解析式；
　　（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．
　解：（1）∵　α，β是Rt△ABC的两个锐角，
　　∴　tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0．
　　由题知tanα，tanβ是方程
　　x2＋kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根，
　　∴　tanx·tanβ＝（2＝2k－k2）＝k2－2k－2，∴　k2－2k－2＝1．
　　解得，k＝3或k＝－1．
　　而tanα＋tanβ＝－k＞0，
　　∴　k＜0．∴　k＝3应舍去，k＝－1．
　　故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋x－1．
　　（2）不在．
　　过C作CD⊥AB于D．
　　令y＝0，得－x2＋x－1＝0，
　　解得x1＝，x2＝2．
　　∴　A（，0），B（2，0），AB＝．
　　∴　tanα＝，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝AD．
　　∴　AD＝2CD．
　　又CD＝BD·tanβ＝2BD，
　　∴　BD＝CD．
　　∴　2m＋m＝．
　　∴　m＝．∴　AD＝．
　　∴　C（，）．
　　当x＝时，y＝≠
∴　点C不在（1）中求出的二次函数的图象上．
A
M
y
x
N
Q
O
2．已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线顶点为，及轴交点为．求的值．
（3）设抛物线及轴的另一个交点为，求四边形的面积．

解：（1）解方程组
得，．
（2）顶点．
（3）在中，令得，，
令得或，．
四边形（面积单位）

3．如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a及轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠ ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.
(1) 求线段OC的长.
(2) 求该抛物线的函数关系式．
(3) 在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？
若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，
请说明理由.

解：（1）；（2）；（3）4个点：

4．已知函数y=和y=kx+l(k≠O)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴∴
(2)将y＝代人y=kx+l，消去y．得kx2+x一2=0．
∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．
∵△＝1＋8k，
∴1+8k≥0，解得k≥一
∴k≥一且k≠0．
5．已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－ x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）30,（,）;
（2）∵点P（,），A（，0）在抛物线上，故 -× +b× +c=,-×3+b× +c=0, ∴b=,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1,C点坐标为（0，1）. ∵-×02+×0+1=1，

∴ 点C在此抛物上.

6.如图，二资助函数的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.
（1）求二次函数的关系式.
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.
解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y = x2+bx+c的图象上，
∴ 解得
二次函数的关系式为y = x2－4x+1.
（2）Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，

解得
∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移个单位.
7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它及△OAB重叠部分的面积为S.
（1）求点A的坐标.
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S及运动时间t（秒）的关系式.
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN及△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.
解：（1）由 可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y = x上，OP = t，
则点P坐标为
点Q的纵坐标为，并且点Q在上。
∴，
即点Q坐标为。
。
当时，。
当，

当点P到达A点时，，
当时，

。
（3）有最大值，最大值应在中，

当时，S的最大值为12.
（4）.
8．已知一次函数y=+m(O改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)

解： (1)y= +2 y=-m
(2)不变的量有：
①四边形四个内角度数不变， 理由略；
②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略．
(3)S= 0坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)OA=6，OB=12 ，
点C是线段AB的中点，OC=AC.
作CE⊥x轴于点E．
∴ OE=OA=3，CE=OB=6．
∴ 点C的坐标为(3，6).
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴ 点D的坐标为(2，4).
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得，
解得，
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6 .
(3)存在．
Q1(-3，3)； Q2(3，-3)； Q3(3，-3) ；Q4(6，6) .
10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).
(1)用含t的代数式表示点P的坐标;
(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.
解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.
∵PM∥x轴,∴.∴.∴PM=t.
∵PN∥y轴,∴.∴.∴PN=3-t.
∴点P的坐标为(t,3-t).
(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形.
②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON•NQ.(3-t)2=t(4-t-t).
化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=.
③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=t,∴t=.
综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,△OPQ为直角三角形.
(3)当t=1或t=时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(,)代入上式,得a=-.∴y=-(x2-3x).
即y=-x2+x.
说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(,),Q(,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-x2+x,相应给分.
11．已知：抛物线（m>0）及y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.
（1）求C点、C′点的坐标（可用含m的代数式表示）
O
y
x
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.

12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ）
A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．（1，-1）
13．如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
（1）当A′E//轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线及轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不及点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.
解：（1）由已知可得∠A，OE=60o , A，E=AE
由A′E//轴,得△OA，E是直角三角形，
设A，的坐标为（0，b）
AE=A，E=,OE=2b

所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）及（，1）
（2）因为A，、E在抛物线上，所以

所以，函数关系式为
由得
及x轴的两个交点坐标分别是（，0）及（，0）
（3）不可能使△A′EF成为直角三角形.
∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，FE=90o
若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O及A重合，及已知矛盾；
同理若∠A，FE=90o也不可能
所以不能使△A′EF成为直角三角形.
14.已知抛物线y=x²—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.
⑴求平移后的抛物线解析式;
⑵若直线y=m及这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;
⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题⑵．
(1)解：
配方，得，
向左平移4个单位，得　
∴平移后得抛物线的解析式为
(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)
解，得　
∴两抛物线的交点为（0，1）
由图象知，若直线y＝m及两条抛物线有且只有四个交点时，
m＞－3且m≠1
（3）由配方得，
向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为

∴两抛物线的顶点坐标分别为，
解　得，　∴两抛物线的交点为（0，c）
由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：
m＞且m≠c
15.直线分别及轴、轴交于B、A两点．
⑴求B、A两点的坐标；
⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平
面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD
求D点的坐标．
解：如图（1）令x=0，由 得 y=1
令y=0，由 得
∴B点的坐标为（，0），A点的坐标为（0，1）
（2）由（1）知OB=，OA=1
∴tan∠OBA== ∴∠OBA=30°
∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称
∴BC=BO=，∠CBA=∠OBA=30° ∴ ∠CBO=60°
过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中
CM=BC×sin∠CBO=×sin60°=
BM=BC×cos∠CBO=×cos60°=∴OM=OB－BM=－=
∴C点坐标为（，）
连结OC
∵OB=CB，∠CBO=60°
∴△BOC为等边三角形
过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60°
连结BE则△BCE为等边三角形．
作EF⊥x轴于F，则EF= CM=，BF=BM=
OF=OB+BF=+=
∴点E坐标为（，）
∴D点的坐标为（0，0）或（，）

16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(第25题)
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0．
解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，
得方程组 解得
∴抛物线的解析式为
顶点坐标为
(2)所画图如图．
(3)由图象可知，当-10．
(第28题)
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°．
(1)求直线CB的解析式：
(2)求点M的坐标；
(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D1MC1(点D1，C1依次及点D，C对应)，射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n．
求m及n的函数关系式．

解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°，
0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=, BA=BC·cos∠CBO=1．
(第(1)小题)
∴点C的坐标为(4，)．
设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)，
得 解得

∴直线CB的解析式为y=-x+5．
(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60°
∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3．
(第(2)小题)
∴△ODM∽△BMC．

∴OD·BC=BM·OM．
∵B点为(5，0)，∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x．
∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)．
(第(3)小题图①)
解得x1=1，x2=4．
∴M点坐标为(1，0)或(4，0)．
(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，
如图①，OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO．
又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB．
∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.

(第(3)小题图②)
∴CF=2DE．
∵CF=2+n，DE=m，
∴2+n=2m，即m=1+(0F⊥OB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t .
(1) 当时，分别求出点D和点E的坐标；
(2) 当时，求直线DE的函数表达式；
(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S及变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。

19．如图，在中，，点，在直线上运动，设，．
（1）如果，，试确定及之间的函数关系式；
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
（第22题图）
（2）如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时1）中及之间的函数关系式还成立，试说明理由．

　解：（1）在中，，
　　，
　　 ．
　　又，
　　．
　　又，
　　．
　　．
　　．
　　即，所以．
　　（2）当满足关系式时，函数关系式仍然成立．
　　此时，．
Ｎ
B
A
M
P
C
O

（第23题图）
　　又，
　　．
　　又仍然成立．
　　从而（1）中函数关系式成立．
20．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．
（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；
（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；
（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．
解：（1）由题意可知，，，
点坐标为．
（2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中．
．
的最大值为，此时．
（3）延长交于，则有．
Ｎ
B
A
M
P
C
O

（第23题图）
Ｑ
①若，
．
，
．
②若，则，
．
③若，则．
，
在中，．
，．
综上所述，，或，或．
21. （2006·北京市海淀区）已知抛物线的部分图象如图1所示

图1 图2

（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较及的大小.22. 解：（1）根据图象可知
且抛物线及x轴有两个交点
所以一元二次方程有两个不等的实数根。
所以，且
所以
（2）因为抛物线经过点（0，-1）
把代入
得
故所求抛物线的解析式为
（3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a
把代入，得
把代入，得
所以
画出的图象如图所示.

观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和
把和分别代入和可知，
和是的两个交点
根据图象可知：当或或时，
当时，
当时，
22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）.
（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它及x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.
（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值.
解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，　∵a＝1，∴b＋c＝1 　　　　　
抛物线顶点为A（－，c－）
设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴|BC|＝| x1－x2|＝＝＝
∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ 　　　　
即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2
∵c＝1－b，　∴b2＋4b－16＝0，　b＝－2±2
所求b值为－2±2 　　　　　　　
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，及a＋b＋c＝2矛盾.
∴a＞0． 　　　
∵b＋c＝2－a，bc＝
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×≥0，　
∴a3－4a2＋4a－16≥0 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.　　　
∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．
①若a、b、c均大于０，∵a≥4，及a＋b＋c＝2矛盾；　　
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,
则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，　　　
∵ a≥4，故2a－2≥6
当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6． 　
y
x
O
23. 已知抛物线及y
轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2
并且线段CM的长为
（1） 求抛物线的解析式
（2） 设抛物线及x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），
且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM及⊙N的位置关系，并说明理由。
（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2及y轴交于点C（0,2）抛物线 过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以　　　　
若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在
所以，，解得，。
∴所求抛物线为： 或 　 以下同下。
（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）
∵点M在直线上，∴

由勾股定理得，∵
∴=，即
解方程组 得
∴M（-2，4） 或 M‘ （2，0）
当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，∵抛物线过（0，2）点，
∴，∴
当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为
∵抛物线过（0，2）点，∴，∴
N
M
y
O
A
B
D
（G）
C
M’’’’
∴所求抛物线为： 或 　
（2）∵抛物线及x轴有两个交点，
∴不合题意，舍去。
∴抛物线应为：
抛物线及x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得