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集合间的基本关系
一、知识概念
1、子集
（1）子集的概念
对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。 记作：，读作：A包含于B，或B包含A
这时我们也说集合A是集合B的子集
【要点辨析】①“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B；
例如：{-1.1}{-1,0,1,2}；{x|x为北京人}{x|x为中国人}
②当A不是B的子集时，我们记作“”，读作：“A不包含于B”；
例如：A={1,2,3}不是B={1,3,4,5}的子集，因为A中的元素2不是B中的元素
③任何一个集合都是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，记作；
④我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有；
以上③④告诉我们，在求某一个集合的子集时，不要漏掉空集和它本身这两种特殊情况。
⑤在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集。

（２）真子集
如果，且Ａ≠Ｂ，就说集合Ａ是集合Ｂ的真子集，记作AB。
它的图形表示如下：
B
A

①空集是任何非空集合的真子集；
②对于集合A,B,C，如果AB，BC，那么AC
③元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号表示；集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，用符号、和=表示
（3）子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即
②对于集合A、B、C，如果且，那么（传递性）
（4）Venn图
为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部表示集合，利用它可对集合关系进行图形语言表示，如可表示为下图：

2、集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B，读作A等于B。
注意理解一下两点
（1）若，同时A⊇B，则A=B。因为，所以A的元素都是B的元素；又因为，所以B的元素都是A的元素，即集合A和集合B的元素完全相同，因此A=B。
（2）证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A=B；若A、B是无限集，欲证A=B，只需证与都成立即可。可设任意，证明，从而得出。又设任意，证明，从而得到，进而证明得到A=B
【要点辨析】几种符号之间的联系与区别：
（1）、和
分别表示子集（包含）关系，真子集关系和不包含关系，它们都是用于集合之间关系的符号
（2）
是用于元素与集合之间关系的符号；是用于集合之间关系的符号。

3、空集
空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。
空集不含任何元素。实数0与空集是两个不同的概念，不能把0或{0}与混为一谈。
【注】若出现的条件时，必须考虑的情况，
【例】设集合，集合，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集。
【解析】因为，所以只要求出A，然后分类讨论即可解决。
【解】由于，.
若，则a=0;
若，则a≠0，这时有，或，即，或。
综上所述，由实数a组成集合为{}.
其非空真子集为{0}，{}，{}，{}，{}，{}共6个。
4、集合子集的确定方法
（1）写出给定集合的子集或判定已知集合子集的个数是最常见的问题，如何不重不漏列出所有子集，如何计算集合子集的个数呢？
【例】写出集合的所有子集并求所有子集中元素之和
【解析】按子集元素个数的多少分别写出所有子集，才能避免不重不漏，同时还应注意两个特殊子集，即和给定集合本身。
【解】，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.
注意到A中每个元素均出现了4次，故所有子集元素的和为：（1+2+3）×4=24.
（2）由上例可知，由3个元素组成的集合的子集有8个.那么由2个元素组成的集合的子集有几个？由4个元素？由n个元素组成的集合有多少个？（个）
（3）A中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后再观察得出的结果，能否不写出A的子集也能得出同样结论？完全可行.
注意到A中的元素1，出现在A的子集{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}中，如果从这些集合中去掉元素1，剩下的元素组成的集合依次为，{2}，{3}，{2,3}，即为集合{2,3}的全部子集.一般而言，A中n个元素，则每一元素出现在子集中的次数为，故所有子集元素之和.

5、子集的概念与性质在解题中的应用
（1）子集的概念是讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合A与B之间的关系如下：

其中表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含于集合A）
（2）子集具有以下性质：
①，即任何一个集合都是它本身的子集
②如果，，那么A=B
③如果，，那么
④如果AB，BC，那么AC
（3）包含的定义也可以表述为：如果由任意，可以推出，那么（或）
不含包含的定义也可以表述成：两个集合A和B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么
（4）空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，都有.
在解决诸如，或A是B的真子集类问题时，必须优先考虑是否满足题意.

6、忽视空集对集合关系的影响
空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕.
（1）忽视空集是任何非空集合的真子集
【例】写出集合的所有真子集.
【错解】集合={1,2,3}的所有真子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个
【错因分析】错解忽视了是任何非空集合的真子集.
【正解】集合={1,2,3}的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个

（2）忽视空集隐藏在含参的不等式中
【例】已知集合，集合，若，求m的取值范围
【错解】由，得.
又，得，即
综上，m的取值范围为：.
【错因分析】当时，许多同学认为B是非空的，且B是A的子集，忽视了空集是任何集合的子集，即B为的情况
【正解】由错解，可知当B≠时，，
当B=时，由m>2m-1，得m<1.
综上，实数m的取值范围为.
（3）忽视空集隐藏在方程无解的情形中

【例】已知集合，且集合，若，求由实数m构成的集合
【错解】由已知，得=，
又，而=，
故，即m=2或m=1.
所以由实数m所构成的集合为{1,2}.
【错因分析】错解在解方程mx=2时忽视了m=0.
【正解】当m≠0时，由错解知，m=2或m=1.
当m=0时，B=，符合题意.
故由实数m所构成的集合为{0,1,2}.

7、数形结合解集合问题
在本节内容中，主要使用数轴，Venn图这两类图形，在解与不等式有关的问题时，画出数轴，有利于迅速求解；在表示集合的关系时，常常画出Venn图来表达数量关系.
数轴在子集问题中的应用
与不等式相关的集合，一般可以在数轴上表示，从而可以观察得到集合的运算结果，还可以求解一些参数的范围，用数轴时，要注意端点处是实点还是虚点
【例】已知集合，，当时，求p德尔取值范围
【解析】将数集A在数轴上先表示出来，根据，找在数轴上的位置，从而得到关于p的不等式.
【解】∵4x+p<0，
∴x<
∴
∵，∴由上图可知，<-1，∴p≥4
8、有关子集的综合问题
子集是描述两个集合关系的，集合A是集合B的子集应理解为：集合A中任何一个元素都是集合B的元素，它主要包含：无论A是否有元素，也无论集合A是有限集还是无限集，只要是A的元素，一定是B的元素
【例】已知函数，且集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f[f(x)]}，
（1）求证：；
（2）当A={-1,3}时，用列举法表示B
【解】（1）任取x∈A,则x=f(x),从而x=f[f(x)],
∴x∈B,则.
（2）∵A={-1,3}，∴f(-1)=-1，f(3)=3,
即1-a+b=-1,9+3a+b=3，
解得a=-1,b=-3.
∴，
.
∴，解得 ∴.

二、典例归纳
考点一：识别集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集，能归纳出子集和真子集的区别和联系（选择题）
【例1】判断下列两个集合之间的联系：
（1） A={2,3,6}，B={x|x是12的约数}；
（2） A={0,1}，B={}；
（3） A={x|-10，y>0}.

【例2】已知集合，， ，则A、B、C满足的关系是（ ）
A A=BC B AB=C C ABC D BCA
【例3】已知{1,2}M{1,2,3,4,5}，则这样的集合M有 个
【例4】已知集合，B={1,2}，且AB，求实数a的取值范围

【例5】已知集合，
集合，集合P是否能成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由.

【变式1】满足集合{}A{}的集合A的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【变式2】已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}，集合P={(x,y)|x<0,y<0}，则（ ）
A B C D
【变式3】设集合A={x||x-a|<1，x∈R}，B={x||x-b|>2，x∈R}，若，则a,b必满足（ ）
A |a+b|≦3 B |a+b|≧3 C |a-b|≦3 D |a-b|≧3
【变式4】已知集合A={x|x>0，x∈R}，B={}，且，求实数p的取值范围

★【变式5】已知集合，，且.
（1）若AB，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.

考点二：在具体情境中解释空集和相等集合的含义（选择题）
【例1】给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若A，则A≠，其中正确的个数有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
【例2】已知集合，，若A=B，求c的值

【例3】设，
（1）若，试判断集合A和B的关系;
（2）若，求实数组成的集合C.

【变式1】1、已知四个命题：①；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
★【变式2】下列各组中的两个集合相等的有（ ）
①，；②，；③，
A ①②③ B ①③ C ②③ D ①②
★【变式3】已知集合A={x||x-a|=4}，集合B={1,2，b}.
（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由.
（2）若成立，求出对应的实数对（a,b）

考点三：能正确区分易混淆的数学符号（），会判断两个集合间的关系，能用Venn图表示集合间的关系（选择题、填空题）
【例1】填空
1)a____{a，b，c}； 2) 0____{x|=0}；
3)0 ____{x∈R|+1=0}； 4){0，1} ____N；
5){0} ____{x|=x}； 6){2，1} ____{x|-3x+2=0
【例2】判断下列两个集合之间的关系
1) A={1，2，4}，B={x|x是8的约数}；
2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；
3) A={x|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N*}.
【例3】已知集合A={a，a+b，a+2b}，B{a，ac，ac2}，若A=B，求c的值

【变式1】下列关系式中正确的个数为（ ）
①{a,b}{b,a}；②{a,b}={b,a}；③{0}；④0∈{0}；⑤∈{0}
A 3 B 4 C 5 D 0
【变式2】已知全集U=R，则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|}关系的Venn图示下图中的（ ）
A B
C D

【变式3】集合U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x|x∈A,且x<1}，C={x|x-1A，且x∈U}，若D={x|xA}，说明A、B、C、D的关系.

★【变式4】集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A，且x∈B同时成立，求实数m的取值范围.

三、课堂练习
1.下列命题正确的是（ ）
A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
2.以下五个式子中，错误的个数为（ ）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1}③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
3、下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠. 
其中正确的有(  ) 
A．0个  B．1个 C．2个  D．3个
4、集合{a，b}的子集有(  ) 
A．1个        B．2个       C. 3个        D. 4个 
4、已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知集合，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.满足的集合的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
7、已知集合，,则（ ）
A. B.
C. D. 与关系不确定
8、满足共有（ ）
A.6个 B.7个 C.8个 D.15个
9、已知集，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10、已知，,若的取值为（ ）
A.1 B.4 C.-1或-3 D.-4或1
11、集合B＝{ab，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________
12．（1）集合,若，则实数＝
（2）已知，集合,若,则实数
（3）已知，，若，则适合条件的实数 的集合为 ；的子集有 个；的非空真子集有 个．
13、设若，则的取值为 .
14、已知集合，若，则实数的取值范围是 .
15.判断正误
（1）空集没有子集 （ ）
（2）空集是任何一个集合的真子集 （ ）
（3）任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
（4）若,那么凡不属于集合的元素，则必不属于 （ ）

16.写出集合的子集,其中非空真子集有多少个？

17.已知,求满足条件的．

18.非空数集,满足若，则的非空集合有多少个?写出这些集合.

19.判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系：
（1）A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}；
（2A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}.

20、设集合，若，求的值

21、设集合，.
(1.)若，求实数的取值范围.
(2).是否存在数使?

22、已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围

23已知，，.求:(1).使的的值;
(2).使

24.子集综合题
（1）已知集合,若，求实数的值；
（2）已知集合，集合，且，求实数的取值范围；
（3）已知集合，若，求的范围.

25.集合，

（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围.

★26、已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系

四、课后练习
1.集合的真子集共有（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
2.满足条件的集合的个数是（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.已知.
（1）若，则的取值范围是_______________.
（2）若，则的取值范围是_______________.

4.设集合，若，则实数组成的集合为
.

5.设集合,且AB，则实数的取值范围为.

6、若集合，且,求实数的值

7、已知集合，，若，求实数的取值范围.