初一数学绝对值知识点与经典例题.doc

绝对值的性质及化简
【绝对值的几何意义】一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数
的绝对值记作. （距离具有非负性）
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根
据性质去掉绝对值符号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；的绝对值是.
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负
号，绝对值是.
【求字母的绝对值】
① ② ③
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：|a|≥0
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若，则，，
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
即，且；
（2）若，则或；
（3）；；
（4）；
（5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数．对应数轴上两点间的距离．
【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。
【绝对值不等式】
（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数
式类型来解；
（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：
A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；
B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的
式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】
例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。
解：由绝对值的非负性可知x－2＝ 0，y－3＝0； 即：x=2，y =3；
所以x+y=5
判断必知点：① 相反数等于它本身的是 0
② 倒 数等于它本身的是 ±1
③ 绝对值等于它本身的是 非负数

【例题精讲】
（一）绝对值的非负性问题
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.
2. 绝对值的非负性；若，则必有，，
【例题】若，则 。
总结：若干非负数之和为0， 。
【巩固】若，则
【巩固】先化简，再求值：．
其中、满足.

（二）绝对值的性质
【例1】若a＜0，则4a+7|a|等于（　　）
A．11a B．-11a C．-3a D．3a
【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（　　）
A．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数
【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（　　）
A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3
【例4】若，则x是（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
【例5】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（　　）
A．1-b＞-b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1-b＞-b
C．1+a＞1-b＞a＞-b D．1-b＞1+a＞-b＞a
【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（　　）
A．2 B．2或3 C．4 D．2或4
【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（　　）
A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6
【例8】若|x+y|=y-x，则有（　　）
A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0
C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0
【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+zy+z|-|x-y|的值（　　）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号
【例10】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；
（3）若|m|＞m，则m＜0；
（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（　　）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则
|c-b|-|b-a|-|a-c|= _____

【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。

【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________

【例13】计算= ．

【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________

【例15】已知数的大小关系如图所示，
则下列各式：
①；②；③；④；
⑤．其中正确的有 ．（请填写番号）

【巩固】已知：abc≠0，且M=，当a，bc取不同值时，M有 ____
种不同可能．
当a、b、c都是正数时，M= ______；
当a、b、c中有一个负数时，则M= ________；
当a、b、c中有2个负数时，则M= ________；
当a、b、c都是负数时，M=__________ ．
【巩固】已知是非零整数，且，求的值

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）
零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．
【例题】阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
如化简代数式时，可令和，分别求得
（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点
值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：
⑴当时，原式
⑵当时，原式
⑶当时，原式
综上讨论，原式
（1）求出和的零点值 （2）化简代数式
解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4． 
（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；
 当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；
 当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简
1. 2. 的值

3. ． 4. (1)；

变式5.已知的最小值是，的最大值为，求的值。

（四）表示数轴上表示数、数的两点间的距离．
【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3.
并回答下列各题：
(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .
(2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 .
(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 .
(4) 满足的的取值范围为 .
(5) 若的值为常数，试求的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题
例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
        2) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
        3) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
        4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
        2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
        3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
        4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、
1）非负数：0和正数，有最小值是0
2）非正数：0和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0
4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，
-|x+m|≤0有最大值是0
（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）
5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n
  -|x+m|+n≤n，有最大值是n
(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）
总结：根据3）、4)、5）可以发现，
当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，
有“-”号时，代数式有最大值 .

例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
        2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
       3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
          4） 当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0
     2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3
     3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
     4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3
    有最小值是-3

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
        2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
        3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
        4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0
     2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
     3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3
     4 ) 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，
     -|x-1|+3有最大值是3 （同学们要学会变通哦）

思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则
1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
分析：我们先回顾下化简代数式|x+1x-2|的过程：
可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
1）  当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
2）  当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
3）  当-10，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3
4）  当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
5）  当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
我们发现：
当x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3

当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3
所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：    -1≤x≤2
解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3
评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。

例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
1）  当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）  当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）  当-130，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4）  当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5）  当-110，x-12<0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6）  当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7） 当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
可知：
当x<-13时，    |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
当x=-13时，    |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-1311时，    |x+11|+|x-12|+|x+13|=25
当-1112时，     |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48
观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11
解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是
本题零点值）
将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12
可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小
值是25 。

评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
分析: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值
解：根据绝对值的化简过程可以得出
当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6
当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8      4＜2x+8≤6
当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2     4＜2x-2 ＜6
当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3

归档总结：
若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值 

例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：在数轴上表示出A点-13，B点-11，C点12 设点D表示数x
则DA=|x+13|   DC=|x+11|   DB=|x-12|
当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC

当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC
当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC

当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC
当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC

当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC
当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC
综上可知 当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25
解：令x+11=0   x-12=0     |x+13=0
则x=-11  x=12 x=-13
将 -11 ，12 ，-13从小到大排练为-13＜-11＜12
∴当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间
的距离即AC=12-(-13)=25

【例题6】
|x-1|的最小值
|x-1|+|x-2|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值
【解】：
当x=1时，|x-1|的最小值是0
当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1
当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0
当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1
当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3x-4|+|x-5|的最小值6=4+2
当3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1
当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2
当4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1
当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2
当5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1

【解法2】：捆绑法
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|
=（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）
若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间
|x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间
|x-3|+|x8|的和最小，可知数x在数3和数8之间
|x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间
|x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间
∴若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）
都可以。
总结：
若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值
或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以
若想求出最小值可以求关键点即可求出

【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值
（2）已知|x|≤3，求x的取值范围
（3）已知|x|＜3，求x的取值范围
（4）已知|x|≥3，求x的取值范围
（5）已知|x|＞3，求x的取值范围
【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，
（1）若|x|=3，则x=-3或x=3
（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3
（3）若|x|＜3，则-3＜x＜3
（4） 数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3

或x≥3
（5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3
【解】：（1）x=-3或x=3 (2) -3≤x≤3
(3 ) -3＜x＜3 (4 ) x≤-3或x≥3
(5 ) x＜-3或x＞3
【例题8】
（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？
（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？
【分析】： 从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3 所以
（1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3； 和为0
        （2）整数值有-2，-1,0,1,2 ；和为0
【解1) ∵ |x|≤3
          ∴ -3≤x≤3
       ∵ x为整数
∴ 满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3
∴ -3+-2+-1+0+1+2+3=0
(2) ∵ |x|＜3
         ∴ -3＜x＜3
      ∵ x为整数
∴ 满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3
∴ -3+-2+-1+0+1+2+3=0

【乘方最值问题】
（1）当a取何值时，代数式（a-3)² 有最小值，最小值是多少？
（2）当a取何值时，代数式 (a-3)²+4有最小值，最小值是多少？
（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？
（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²  有最大值，最大值是多少？
（5）当a取何值时，代数式- (a-3)²+4有最大值，最大值是多少？
（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？
（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)²有最大值，最大值是多少？
分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)²为非负数，
即（a-3)²≥0，则-（a-3)²≤0 可以进一步判断出最值
解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²有最小值是0
     （2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²+4有最小值是4
     （3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²-4有最小值是-4
     （4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²有最大值是4
     （5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²+4有最大值是4
    （6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²-4有最大值是4
      (7 ) 4-（a-3)²可以变形为- (a-3)²+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，
即a=3时，4-（a-3)²有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）

评：很好理解掌握a²即-a²的最值是解决本题的关键
归纳总结：
若x为未知数，a,b为常数，则
当x取何值时，代数式(x+a)²+b有最小值，最小值是多少
当x取何值时，代数式-(x+a)²+b有最大值，最大值是多少
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【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？

探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a