高考一轮复习之数列与数学归纳法.doc

第三章 数列与数学归纳法

数学归纳法
函数
定义
通项公式
等差(比)中项
前n项和公式
性质
数列的定义
数列与正整数集合的关系
等差数列、等比数列
应用
知识结构

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高考能力要求
1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

高考热点分析
纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．
从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．

高考复习建议
数列部分的复习分三个方面：① 重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．
数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．

3．1 数列的概念

知识要点
1．数列的概念
数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．

例题讲练
【例1】 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．
⑴ －，，－，…；
⑵ 1，2，6，13，23，36，…；
⑶ 1，1，2，2，3，3，…．

【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
⑴ Sn＝3n－2
⑵ Sn＝n2＋3n＋1

【例3】 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)
⑵ a1＝1，an＝ (n≥2)
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2)

【例4】 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．

小结归纳
1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．
2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．
3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．

基础训练题
一、选择题
1．某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：
① an＝[1＋(－1)n] ② an＝
③ an＝
其中可作为{an}的通项公式的是 （ ）
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
2． 函数f(x)满足f(n＋1)＝（n∈N*）且f(1)＝2，则f(20)＝ （ ）
A．95 B．97 C．105 D．192
3． （2005年山东高考）{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于 （ ）
A．667 B．668
C．669 D．670
4． 已知数列{an}满足an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，且a1＝1，则＝ （ ）
A． B．
C． D．
5． 已知数列，3，，…，那么9是它的第几项 （ ）
A．12 B．13
C．14 D．15
6． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝（21n－n2－5）（n＝1，2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ）
A．5月，6月 B．6月，7月
C．7月，8月 D．8月，9月

二、填空题
7． 已知an＝（n∈N*），则数列{an}的最大项为第 项．
8． 已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
9． 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n≥1)，且a4＝54，则a1的数值是 ．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝，则数列{}的前n项和Tn＝ ．

三、解答题
11．（2002·天律）已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an+1·an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3，4，5…，求a3．

12．(2005年山东高考)已知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．
(1) 证明数列{an＋1}是等比数列；
(2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)．

13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式．

提高训练题
14．已知an＝(n∈N)，试问：数列{an}有没有最大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．

15．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n，
n≥1．
(1)写出数列{an}的前3项a1，a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．

3．2 等差数列

知识要点
1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）．
2．等差数列的通项公式：
⑴ an＝a1＋ ×d
⑵ an＝am＋ ×d
3．等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)
⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn
(a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：
⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成
数列．

例题讲练
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

【例2】 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．
⑵ 求数列{an}的通项公式．

【例3】 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．

【例4】 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

小结归纳
1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．
2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．
3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．
4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．

基础训练题
一、选择题
1． 已知数列{an}满足：a1＝14，an＋1＝an－（n∈N*），则使an·an＋2<0成立的n的值是 （ ）
A．19 B．20
C．21 D．22
2． 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 （ ）
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
3． 已知数列{an}，an＝－2n＋25，当Sn达到最大值时，n为 （ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
4． (2005年全国)如果a1、a2，…a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则 （ ）
A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5
C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
5． 等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ）
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
6． 在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为 （ ）
A．7 B．8
C．9 D．10

二、填空题
7． 等差数列{an}中，a1＝1，公差为d，当a1a2＋a2a3取得最小值时，d＝ ．
8． (2003年·上海)在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．
9． 已知{}为等差数列且a2＝－1，a4＝＋1，那么a10＝ ．
10．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6S8，结合下列命题：
⑴ 当n≤7时，Sn是递增的，当n>7时，Sn是递减的．
⑵ S9一定小于S6．
⑶ a7>0，a8<0．
⑷ S13<0．
其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）．

三、解答题
11．有两个等差数列{an}，{bn}，，求的值．

12．已知数列{an}前n项和Sn＝n2－9n．
(1) 求证：{an}为等差数列；
(2) 求S n的最小值及相应的n；
(3) 记数列{}的前n项和为Tn，求Tn表达式．

13．下表给出一个“等差数阵”．
4
7
( )
( )
( )
…
a1j
…
7
12
( )
( )
( )
…
a2j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a3j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
⑴ 写出a45的值．
⑵ 写出aij的计算公式．
⑶ 证明正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以写成两个不是1的正整数之积．

提高训练题
14．已知函数f(x)＝abx的图象过点A（4，）和B(5，1)．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 记an＝log2 f (n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0；
(3) 对于(2)中的an与Sn，整数96是否为数列{anSn}中的项？若是则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

15．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．
⑴ 若首项a1＝，公差d＝1，求满足的正整数k．
⑵ 求所有的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k都有成立．

3．3 等比数列

知识要点
1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：
⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m
3．等比数列的前n项和公式：
Sn＝
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．

例题讲练
【例1】 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．

【例2】 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．

【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

【例4】 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．

小结归纳
1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．
2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．
4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．

基础训练题
一、选择题
1． 在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足 （ ）
A．q>1 B．q<1
C．0an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a等于（ ）
A．3 B．1
C．0 D．－1
3． 已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为 （ ）
A． B．－
C．－或 D．
4． 在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…an＝2n－1，则等于 （ ）
A．(2n－1)2 B．(2n－1)
C．4n－1 D．(4n－1)
5． 等比数列{an}中，an>0，a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于 （ ）
A．12 B．16
C．18 D．20
6． 已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于 （ ）
A．2n B．
C．2n－1 D．2n－1

二、填空题
7． 设k≠0，则等比数列a＋k，a＋k，a＋k的公比是 ．
8． 已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．
9． 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝ ．
10．在等比数列{an}中，a1＝3，q＝4，使Sn＞3000的最小自然数n＝ ．

三、解答题
11．已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．

12．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＋2a2＝0，S4－S2＝．
(1) 求an的表达式；
(2) 解关于n的不等式an≥．

13．已知：f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn（n∈N*），且f(1)＝n2．
⑴ 求an．
⑵ 求证：0练题
14．等比数列{an}的公比q＞1，其第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞成立的正整数n的取值范围．

15．设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，…)
(1) 求q的取值范围；
(2) 设bn＝an＋2－，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．

3．4 等差数列和等比数列的综合应用

知识要点
1．等差数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N*，k为常数)是
数列．
⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a1> 0，d <0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值．
⑵ a1<0，d>0时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值．
3．等比数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等比数列，则{a}、{}是 数列．
⑶ 若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．

例题讲练
【例1】 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：
① a＋b＋c＝6
② a、b、c成等差数列．
③ 将a、b、c适当排列后成等比数列．

【例2】 已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an．

【例3】 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．

【例4】 （2005年北京）数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……
求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；
⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.

小结归纳
1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．
4．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点．

基础训练题
一、选择题
1． 已知等差数列{an}的公差为2，若a1、a3、a4成等比数列，则a2等于 （ ）
A．－4 B．－6
C．－8 D．－10
2． 若等差数列{an}中，a1>0，a2005＋a2006>0，a2005·a2006<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 （ ）
A．4008 B．4009
C．4010 D．4011
3． 在等比数列中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q的值可能个数为 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4． 已知数列{an}满足a1＝0，an＋1－an＝2n，那么a2007的值为 （ ）
A．2005×2006 B．2006×2007
C．2007×2008 D．20072
5． 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6 : S3＝1:2，则S9 : S3＝ （ ）
A．1:2 B．2:3

C．3:4 D．1:3
6． 已知等比数列{an}的公比为q<0，前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是 （ ）
A．S4a5＝S5a4 B．S4a5>S5a4
C．S4a5bn}也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn>0，（n∈N*），令dn＝ ，则数列{dn}也是等比数列．
10．在等差数列{an}中，已知公差d＝5，前20项的和S20＝400，则(a22＋a42＋…a202)－(a12＋a32＋…a192)＝ ．

三、解答题
11．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2…)，a1＝1．
⑴ 设bn＝an＋1－2an，证明{bn}是等比数列；
⑵ 设Cn＝(n＝1，2，…)，求证{Cn}是等差数列．

12．等差数列{an}中，已知公差d≠0，an≠0，设方程arx2＋2ar＋1x＋ar＋2＝0（r∈N*）是关于x的一组方程．
⑴ 证明这些方程必有公共根，并求出这个公共根．
⑵ 设方程arx2＋2ar＋1x＋ar＋2＝0的另一根记为mr，且m1＝2，证明{}也是等差数列．

13．已知等比数列{an}共有m项(m≥3)，且各项均为正数，a1＝1，a1＋a2＋a3＝7．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，bm＝am，判断数列{an}前m项和Sm与数列{bn－}的前m项和Tm的大小，并加以证明．

提高训练题
14．（2005年福建）已知{an}是公比为q的等比数列，且a1、a2、a3成等差数列．
（1）求q的值.
（2）设{bn}是以2为首项，以q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝，如果对一切正整数n都有bn≤t，求t的最小值．

3．5 数列求和

知识要点
求数列的前n项和，一般有下列几种方法：
1．等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ ．
2．等比数列的前n项和公式：
① 当q＝1时，Sn＝ ．
② 当q≠1时，Sn＝ ．
3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．
4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．

例题讲练
【例1】 已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．

【例2】 求Sn＝1＋＋＋…＋．

【例3】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

【例4】 求Sn＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！．

小结归纳
1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．
2．对通项中含有(－1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性．
3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视．

基础训练题
一、选择题
1． 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＋a10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ）
A．S6 B．S11
C．S12 D．S13
2． 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为 （ ）
A． B．
C． D．1
3． 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3＝1:2，则S9：S3等于
A．1:2 B．2:3
C．3:4 D．1:3
4． 数列{an}的通项公式是an＝，若前n项之和为10，则项数n为 （ ）
A．11 B．99
C．120 D．121
5． 若数列{an}的通项公式为an＝，则前n项和为（ ）
A．1－ B．2－－
C．n(1－) D．2－＋
… …
6． 将棱长相等的正方体按右下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2005层正方体的个数是 （ ）
A．4011 B．4009
C．2011015 D．2009010

二、填空题
7． －1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)n(2n－1)＝ ．
8． 等差数列{an}中，a1＝，前n项和为Sn， 且S3＝S12，则a8＝ ．
9．数列{an}的通项为an＝2n－7，(n∈N*)，则| a1 |＋| a2 |＋…＋| a15 |＝ ．
10．关于数列有下面四个判断：
①若a、b、c、d成等比数列，则a＋b，b＋c，c＋d也成等比数列；②若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；③数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，则数列{an}为等差数列或等比数列；④数列{an}为等差数列时且公差不为零，则数列{an}中不会有am＝an（m≠n）．
其中正确判断的序号是 ．
（注：把你认为正确的序号都填上．）

三、解答题
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．

12．求和1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1．

13．（2005年湖北文科）设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式．
⑵ 设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn ．

提高训练题
14．以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an＋1)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足条件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．
⑴ 求证：数列{bn}为等比数列．
⑵ 设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．

15．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk＝2550．
⑴ 求a及k的值．
⑵ 求．

3．6 * 数学归纳法

知识要点
1．数学归纳法证明的步骤是：
⑴ ．
⑵ ．
2．数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤，第一步验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推论命题正确性的可传递性，是递推的依据，两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．
3．命题成立的起始值，不一定是自然数1．
4．由kk＋1必须运用归纳假设．

例题讲练
【例1】 证明：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(2n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)（n∈N*）

【例2】 用数学归纳法证明 xn－yn 能被x－y整除 （n∈N*）．

【例3】 设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N*），证明：对任意n≥1，
．

【例4】 平面内有n条直线，其中任两条不平行，任三条不共点，求证：这n条直线把平面分成个区域．

小结归纳
使用数学归纳法证明命题，第一步是验证，一般较简单，但不能省略；第二步推证，必须用到归纳假设，否则不是数学归纳法．第二步从k到k＋1时，注意项数的变化．

基础训练题
一、选择题
1． 设f(n)＝（n∈N*），则f(n＋1)－f(n)等于 （ ）
A． B．

C．＋ D．－
2． 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得结果为 （ ）
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
3． 用数学归纳法证明不等式2n≥n2时，n应取的第一个值为 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4． 用数学归纳法证明“
”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是 （ ）
A．
B．＋
C．＋－
D．＋－－
5． 设＝1＋（n∈N*），那么－＝ （
A． B．＋
C．· D．＋＋
6． 设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)等于 （ ）
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n－1
C．f(n)＋n D．f(n)＋n－2
二、填空题
7． 求证xn＋yn（n∈N*）被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题成立时，进而需证明n＝ 时命题成立．
8． 用数学归纳法证明：1－－，第一步应验证左式是 ，右式是 ．
9． 若f(n)＝1＋（n∈N*），则当n＝1时，f(1)＝ ．
10．若数列{an}满足：an＋