1、等差数列和等比数列知识点梳理
第一节 ：等差数列的公式和相关性质
1、 等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：（d为公差）（，）
2、等差数列通项公式： ，为首项，为公差
推导过程：叠加法
推广公式：
变形推广：
3、等差中项
（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或
（2） 等差中项：
数列是等差数列
4、等差数列的前n项和公式：
前N相和的推导:当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下
2、标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法
（1） 定义法：若或(常数)是等差数列．
（2）等差中项：数列是等差数列
（3）数列是等差数列（其中是常数）。
（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
6、等差数列的证明方法
定义法或者等差中项发是等差数列．
7、等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；
③偶数个数成等
3、差，可设为…，,…（注意；公差为2）
8、 等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
（4）、为等差数列，则都为等差数列
【新数列可以化为一次函数的形式】
(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列
推导过程：
(6) 数列为等差数列,
4、每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
推导过程：
（7）、的前和分别为、，则
（8） 等差数列中，
若，，则 （1）
若，则 （2）
推导： 解出A和B 就可以推导出（1）
（2）式直接用推广公式即可
(9)求的最值
法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和
即当由可得达到最大值时的值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即
5、当由可得达到最小值时的值．
或求中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为
等比数列的相关公式和性质
1、 等比数列的定义：，为公比
2、 通项公式：
，为首项，为公比
推广公式：
3、等比中项
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列是等比数列
4
6、等比数列的前n项和公式：
(1) 当时，
(2) 当时，
（为常数）
推导过程：
5、等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列
（2） 等比中项：（0）为等比数列
（3） 通项公式：为等比数列
（4） 前n项和公式：
为等比数列
6、 等比数列的证明方法
依据定义：若或为等比数列
7、等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
7、
如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；注意隐含条件公比的正负
8、等比数列的性质：
(1) 当时
①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比
②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若(),则。特别的,当时,得
(4) 列,为等比数列,则数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列。
【可以化为为等比数列】
(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列
(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7) 若为等比数列,则数列，，，成等比数列
(8) 若为等比数列,则数列,, 成等比数列
备注：和（7）本质上是一样的。
(9)①当时，②当时，
,
③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q<0时,该数列为摆动数列。
(10)在等比数列中,当项数为2n (n)时,,。
(11)若是公比为q的等比数列,则
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