小学奥数计算综合专题教材.doc

重要结论应用与换元法

考试要求

（1） 掌握计算中常用的计算结论；
（2） 能快速准确的观察出计算中的数字规律并运用换元法计算。
知识结构

【特殊多位数的实用结论】
1、
2、
3、
【其他常用结论】
1、
2、 （n≤9）
3、 缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”：
a) 12345679×9＝111111111
b) 12345679×18＝222222222
c) 12345679×27＝333333333
d) 12345679×36＝444444444
e) 12345679×45＝555555555
f) 12345679×54＝666666666
g) 12345679×63＝777777777
h) 12345679×72＝888888888　
i) 12345679×81＝999999999
4、 特殊平方数：
a)

…… ……

=
5、 ……
如右图所示：

【换元思想】
换元法——解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

重难点

（1） 培养学生运用转化思想利用特殊规律解题简化解题过程；
（2） 培养学生观察数字规律及特点，运用换元法简化解题过程。

例题精讲

一、重要结论应用
【例 1】 2007×20062006-2006×20072007=____.

【巩固】计算：

【例 2】

【巩固】计算：

【例 3】 化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____。

【巩固】化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=____。

【例 4】 算式1234567876545321×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)的结果等于自然数_________的平方.

【巩固】计算：

二、换元法

【例 5】 计算：

【巩固】计算：

【例 6】 计算：

【巩固】计算：()()
()()

【例 7】 计算：

【巩固】计算：

【例 8】 计算：

【巩固】=__ _ 。

【例 9】 计算：⑴ ()()()()

【巩固】计算：

【例 10】 计算：

【巩固】计算：

课堂检测

1、 计算：

2、 计算：

3、 计算：

4、 计算：

5、 计算：

家庭作业

1、 计算下面的算式：()()()()

2、 计算： = 。

3、 计算：

4、 计算：

5、 计算：

整数裂项与分数裂和

考试要求

（1） 能熟练运算常规裂和型题目；
（2） 复杂整数裂项运算；
（3） 分子隐蔽的裂和型运算。

知识结构

一、 复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、 “裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点

（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用
（2） 分子隐蔽的裂和型运算。

例题精讲

一、 整数裂项

【例 1】 计算：

【巩固】计算：

【例 2】 计算

【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

【巩固】

【例 4】 计算：

【例 5】

【巩固】

二、 分数裂和

【例 6】 填空： ， ，
，，

【巩固】计算：

【例 7】

【巩固】

【例 8】 计算：

【巩固】

【例 9】

【巩固】

【例 10】

【巩固】

课堂检测

1、 =_________

2、 计算：

3、

4、

5、

家庭作业

1、

2、

3、

4、

5、

循环小数与分数拆分

考试要求

（1） 掌握循环小数化分数的基本方法与规律；
（2） 在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。
知识框架

【基本概念】
纯小数——整数部分是零的小数。
循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数
循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。
混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
【基本方法】
（1） 纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。
（2） 混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
重难点

重点：循环小数化分数的基本方法与规律；
难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。

例题精讲

一、 分数拆分
【例1】 =-=

【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

【例2】 如果，均为正整数，则最大是多少？

【巩固】若，其中a、b都是四位数，且a
（1）（2）

【巩固】把混循环小数化成分数。
（1）（2）

四、 循环小数的四则运算与周期运算

循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

【例5】 计算下面各题：
.（1） （2） （3） （4）

【巩固】⑴ ；
⑵ (2006年第四届“希望杯”六年级第1试) 。

【例6】 计算下面各题。
（1） （2）

（3）

【巩固】⑴ ； ⑵ (结果表示成循环小数)。

【例7】 将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?

【巩固】计算 (结果表示为循环小数) 。

【例8】 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少?

【巩固】和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________。

【例9】 某学生将乘以一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?

【例10】 设a,b,c是0～9的数字（允许相同），将循环小数化成最简分数后，分子有多少种不同情况？

【巩固】分母为1996的所有最简分数之和是_________。

【例11】 将纯循环小数化为最简单分数时,分子与分母之和为19,求和（和上面都带小数点的）。

【巩固】纯循环小数写成最简分数时,分子和分母的和是,则三位数。

课堂检测

1、

2、 计算 （1） （2）

3、 有8个数，，,,,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?

4、 计算：

5、 真分数化成小数后，如果小数点后连续2004个数字之和是8684，那么可能等于多少？

家庭作业

1、 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）；
（2）

2、 计算：（结果保留三位小数）。

3、 计算：

4、 算式的计算结果，小数点后第2008位是数字几？

5、 真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？

6、 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。

公式应用一

考试要求

（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；
（2） 了解等比数列；
（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。

知识结构

【基本概念】
等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1时，an为常数列。
【常用公式】
1、 ；
2、 ；
3、 ；
4、 等比数列求和公式：（1）；
（2）。
5、 平方差公式：；
6、 完全平方公式：，；
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的倍，两条公式也可以合写在一起：．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，倍乘积在中央”．

重难点

（1） 平方和、立方和公式的灵活运用；
（2） 等比数列公式的灵活运用。

例题精讲

【例 11】 ⑴________；
⑵________．

【巩固】

【例 12】 有一串数，，，，，……它们是按一定规律排列的，那么其中第个数与第个数相差多少？

【巩固】代表任意数字，若，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．
⑴ 　 ⑵　　　⑶ 　 ⑷

【例 13】 计算：

【巩固】________．

【例 14】 计算： 。

【巩固】计算

【例 15】 计算：的值。（已知，，，，，，，）

【巩固】计算：

【例 16】 对自然数和，规定，例如，那么：
⑴ ______________；
⑵ ______________．

【巩固】看规律 ，，……，试求

【例 17】 计算：

【巩固】计算：

【例 18】 计算： ．

【巩固】计算： ．

【例 19】 计算：

【巩固】计算： ．

【例 20】 计算：

【巩固】计算：

【例10】 计算：

【巩固】计算：

课堂检测

1、 计算：

2、 计算：

3、 计算：

4、 计算：

5、 计算：

家庭作业

1、 。

2、 计算：

3、 计算：．

4、 计算：

5、 计算：

公式应用二

考试要求

（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；
（2） 了解等比数列；
（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。

知识结构

【基本概念】
等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1时，an为常数列。
【常用公式】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 等比数列求和公式：（1）；
（2）。
（5） 平方差公式：；
（6） 完全平方公式：，；
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的倍，两条公式也可以合写在一起：．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，倍乘积在中央”．

重难点

（1） 平方和、立方和公式的灵活运用；
（2） 等比数列公式的灵活运用。

例题精讲

【例 21】 计算：

【巩固】计算：

【例 22】 计算：

【巩固】计算：

【例 23】 计算：

【巩固】计算：

【例 24】 计算：

【巩固】计算：

【例 25】 计算：

【巩固】计算：

【例 26】 计算：

【巩固】计算：

【例 27】 计算：

【巩固】计算：

【例 28】 计算：

【巩固】计算：

【例 29】 对自然数和，规定，例如，那么：
⑴ ______________；
⑵ ．

【巩固】看规律 ，，……，试求

【例 30】 ．

【巩固】计算： ．

【例 31】 计算： ．

【巩固】计算： ．

【例 32】 计算：

【巩固】计算： ．

课堂检测

1、 计算：

2、 计算：

3、 计算：

4、 计算：___________．

5、 计算：

6、

家庭作业

1、 计算：=________________

2、 计算：

3、 计算：

4、 计算：

5、

6、 计算：