辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测(一)数学(理)试题.doc

2016年沈阳市高三教学质量监测（一）
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．
3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设全集，集合，,则下列结论正确的是（ ） A． B．
C． D．
3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知两个非零向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.

5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）
D
C
B
A

6.设等差数列满足，，是数列的前n项和，则使得最大的自然数是（ ）

第7题图
A．9 B. C. D.

7. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（ ）

A． B．

开始
s=0，n=1
n≤2016
s=s+
n= n +1
输出s
结束
是
否
第8题图
C． D．
8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
则输出的结果是（ ）
A． B．0 C． D．
9．实数满足，则
的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10.已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）
A．24种 B．28种 C．32种 D．36种
12.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13.已知，则=____________.
14.已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作于点当（为坐标原点）时, ____________.
15.设数列的前项和为，且，，则____________.
16.已知函数 若方程恰有一个解时，则实数的取值范围 .
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)
在中，角、、对应的边分别是、、， ，且.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若的面积是1，求边.

A
C
D
A1
B1
C1
B
D1
E
18. (本小题满分12分)
已知长方体中，，，
为的中点，如图所示.
(Ⅰ)在所给图中画出平面与平面的
交线（不必说明理由）；
(Ⅱ)证明：平面；
(Ⅲ)求平面与平面所成锐二面角的大小.

19. (本小题满分12分)
　某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
(Ⅰ)求与的值；
(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.

20.（本小题满分12分）
　　已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点、分别在轴上,离心率为，在其上有一动点，到点距离的最小值是1.过、作一个平行四边形，顶点、、、都在椭圆上，如图所示.
O

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)判断能否为菱形，并说明理由.
(Ⅲ)当的面积取到最大值时，
判断的形状，并求出其最大值.

21.（本小题满分12分）
已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)记两个极值点分别为，，且.已知,若不等式恒成立,求的范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，两个圆相内切于点，公切线为，外圆的弦，分别交内圆于、两点，并且外圆的弦恰切内圆于点.
T
A
B
C
D
M

(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)证明：.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在以直角坐标原点为极点，的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知命题“，”是真命题，记的最大值为，
命题“，”是假命题，其中.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的取值范围.

2016年沈阳市高三教学质量监测（一）
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一．选择题
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D
题1A ，其对应的点为，故选A.
题2D 化简集合，从而A、C错，，故选D.
题3C A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或），故选C.
题4B 由题， 而，故选B.
题5B
题6A 解出的公差，于是的通项为，可见是减数列，且，，于是， ，，从而该题选A.
题7C 不妨令该函数解析式为，由图知，，
于是，即，是函数减时经过的零点，于是，，所以可以是，选C.
题8B 由框图知输出的结果，因为函数的周期是6，所以，故选B.
x
o
y
A
B
C
题9B 依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，
令，则为直线在轴上的截距，
由图知在点处取最大值是4，在
处最小值是-2，所以，
所以的最大值是4,故选B.
题10A 令点，因该双曲线的
渐近线分别是，，
所以，，又
，
所以，选A.
此题可以用特殊位置法解决：令P为实轴右顶点，此时
，选A.
题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是，故本题的答案是，选B.
解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有种；2、bb,a,a,a, 此种情况有种；3、
Ab,a,a,b, 此种情况有种，总共有种，故选B
题12D 由题，，所以的方程为，因为也与函数的图象相切，令切点坐标为，，所以的方程为，这样有，所以，,令，，所该函数的零点就是，排除A、B选项，又因为，所以在上单调增，又，，，从而，选D.
二.填空题
13 14. 15.66 16.
题13 依题，所以，答案为.
题14 令与轴交点为，在中，，，所以，若，则，代入中，则，而，故答案为.
几何法：如图所示，，
又
而，故答案为.
题15 依题，与原式作差得， ，即，，可见，数列从第二项起是公比为3的等比数列，，所以.故答案为66.
题16当过点时，则，满足方程有两个解；
当与相切时，则，满足方程有两个解；所求范围.
三.解答题
17．解：
（Ⅰ）由，以及正弦定理得， ， …………………3分
又，所以，从而有.………………………………………6分
（Ⅱ）由，所以，即：，……9分
由余弦定理知， ，…………11分
所以.……………………………………………………………………………12分
A
C
D
A1
B1
C1
B
D1
E
M
18．解：
几何解法
（Ⅰ）连接交于，则
直线即为平面与平面的
交线，如图所示；……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体中，所以
为的中点，又为的中点
所以在中是中位线，所以M
B1
平面图①
F
C1
C
B
，…………………………6分
又平面，平面，
所以平面；……………………8分
（Ⅲ）因为在长方体中，所以，
M
D11
C1
B
A
E
N
F
平面图②
平面即是平面，过平面上
点作的垂线于，如平面图①，
因为在长方体中，平面，
平面，所以，
，
所以平面于.
过点作直线的垂线于，如平面图②，
连接，由三垂线定理可知，.由二面角的平面角定义可知，在中， 即是平面与平面所成锐二面角的平面角.
因长方体中，，，在平面图①中，
，………………………………………………………………………10分
， ，，在平面图②中，由相似可知，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的大小为.………………………12分
空间向量解法：
（Ⅰ）见上述. …………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为在长方体中所以两两垂直，于是以所在直线分别为轴，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为,，所以，
A
C
D
A1
B1
C1
B
D1
E
x
y
z
，，，，
.所以，，
，…………………………6分
令平面的一个法向量为
所以，，从而有，
，即，不妨令，
得到平面的一个法向量为，
而，所以，又因为平面，
所以平面.…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令平面的一个法向量为,
所以，，从而有，
，即，不妨令，
得到平面的一个法向量为，………………………………………10分
因为.………………………………………11分
所以平面与平面所成锐二面角的大小为.…………………12分

19．解：
（Ⅰ）依题，，解得.…………………6分
（Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量，则
的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分
而；；
； ；
； ；.
这样的分布列为： （………………………………每答对两个，加1分）

0
1
2
3
4
5
6

…………………………………………11分

于是，. ……12分
20．解：
（Ⅰ）依题令椭圆的方程为，
，所以离心率，即.…………………………2分
令点的坐标为，所以，焦点，即
，（没有此步，不扣分）
因为，所以当时，，……………………………3分
由题，结合上述可知，所以，
O

于是椭圆的方程为.………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如图，
直线不能平行于轴，所以令直线的方程
为，，
联立方程，，
得，
所以，，.……………………………………………5分
若是菱形，则，即，于是有，……6分
又，
所以有，………………………………………………7分
得到 ，可见没有实数解，故不能是菱形. ………………8分
（Ⅲ）由题，而，又 ，
即，………………………………9分
由（Ⅱ）知，.
所以，………………………10分
,
因为函数，，在时，，………………11分
即的最大值为6，此时，也就是时，
这时直线轴，可以判断是矩形. …………………………………12分
x
y
o
1
y=lnx
y=ax
A
21．解：
(Ⅰ)依题，函数的定义域为，
所以方程在有两个不同根.
即，方程在有两个不同根.…1分
（解法一）转化为，函数与函数
的图像在上有两个不同交点，如图. ……………3分
可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须.
令切点，所以，又，所以，
解得，，于是，所以.………………………………………6分
（解法二）转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点.
又，即时，，时，，
所以在上单调增，在上单调减.从而………3分
又有且只有一个零点是1，且在时，，在在时，，
x
y
o
e

a
1
所以的草图如下，
可见，要想函数与函数的
图像在上有两个不同交点，
只须.………………………………6分
（解法三）令，从而转化为函数有两个不同零点，
而（）
若，可见在上恒成立，所以在单调增，
此时不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分
若，在时，，在时，，
所以在上单调增，在上单调减，从而
又因为在时，，在在时，，于是只须：
，即，所以.
综上所述，……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为等价于.
由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，
即，
所以原式等价于，因为，，
所以原式等价于.………………………………………………………7分
又由，作差得，，即.
所以原式等价于，
因为，原式恒成立，即恒成立.
令，，
则不等式在上恒成立. ………………………………8分
令，
又,
当时,可见时,,所以在上单调增,又，
在恒成立,符合题意. ………………………………………10分
当时, 可见时,, 时,
所以在时单调增,在时单调减, 又,
所以在上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述, 若不等式恒成立,只须,又,所以.…12分

22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，, ……………3分
同理，,所以，,
所以，. ……………5分
T
A
B
C
D
M

（Ⅱ）连接TM、AM,
因为CD是切内圆于点M，
所以由弦切角定理知，，
又由（Ⅰ）知，
所以，，又,
所以. ……………8分
在中,由正弦定理知, ,
在中,由正弦定理知, ,因,
所以,由知,
所以,即, .…………………………………10分
y
o

T
23．（Ⅰ）依题,因,
所以曲线的直角坐标下的方程为,
x
所以曲线的直角坐标下的方程为,…3分
又，所以,
即曲线的极坐标方程为.…………………5分
(Ⅱ)由题令，，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为: (为参数). ……………………………7分
联立的直角坐标方程得, , …8分
即由直线参数方程中,的几何意义可知,
，因为所以. …………10分
(解法二)设点，则由题意可知当时，切线与曲线相交，
由对称性可知，当时斜线的倾斜角为，则切线MN的参数方程为：
（t为参数），…………………7分
与C2的直角坐标联立方程，得，…………………8分
则,
因为，所以. …………………10分
此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.
24．（Ⅰ）因为“，”是真命题，
所以，恒成立，
又，所以恒成立，
所以，.…………………………3分
又因为
，“”成立当且仅当时.
因此，，于是. ……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，
所以“，”是真命题. ………………7分
因为（），
因此，，此时，即时. ……8分
即，，由绝对值的意义可知，.…………10分

18 / 18