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数学练习四

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集，集合,则集合=
A． B．
C． D．
2．已知向量a、b均为单位向量，它们的夹角为，那么|a-3b|=
A． B． C． D．
3．命题“对任意的”的否定是
Ａ．不存在 Ｂ．存在
Ｃ．存在 Ｄ．对任意的
3
主视图
俯视图
侧视图
4．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
5．一个几何体的三视图如右图所示，主视图
与俯视图都是一边长为的矩形，左视
图是一个边长为的等边三角形，则这
个几何体的体积为
A. B.
C. D.
6．设是双曲线右支上一点，其一条渐近线方程是分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于
A．4 B．12 C．或 D．或
7．如果一个三位数的百位数为a，是位数为b，各位数为c，同时满足a＞b且b＜c，则称该三位数为一个“凹数”。那么所有不同的三位“凹数”的个数是
A. 120 B. 285 C. 315 D. 720
8．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数. 下列不是一阶格点函数的是
A. f(x)=sinx B. f(x)=π(x－1)2+3
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数为虚数单位）在复平面内所对应的点位于第 象限；
10．直线 （为参数）的倾斜角是 ；
11．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：
① ②
③ ④
其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）；

Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
Ｃ
Ｈ
Ｏ

12．如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H， HB=2，PC＝，则PD的长为 ；

13．已知实数、满足，则的最小值为 ；

14．如图，已知、是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆 上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则 ；椭圆的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知、、分别为内角、、的对边，
（I）求角C的大小，
（II）求的取值范围.

16．（本小题共 13 分）
某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题 . 规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立.
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的数学期望和方差.

17．（本小题共 14 分）
如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图2．
（I）证明：平面平面；
（II）当，，时，求直线和平面所成的角；
A
E
B
G
D
F
C
A
E
B
C
F
D
G1
G2
图1
图2

18．（本小题13分）
已知函数，其中a为常数，且.
（Ⅰ）若，求函数的极值点；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

19．（本小题13分）
已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；
(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

20．（本小题14分）
在数列和中，，，，其中且，.
（Ⅰ）若，，求数列的前项和；
（Ⅱ）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列
（Ⅲ）设，，试问在区间上是否存在实数使得.若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由.

答案

一． ADCB CABD
二． 9．三；10．；11．①④；12．2；13．；14． 0，．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
解：（1）在中， ， ….. 3分
化简可得 ….. 5分
（2） 因为，令 则
….. 10分
． ….. 13分

16．（本小题共 13 分）
（Ⅰ）解：记 “该选手通过初赛”为事件，“该选手通过复赛”为事件，“该选手通过决赛”为事件，
则 ，，.
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是
. ….. 5分
（Ⅱ）解：可能的取值为. …….. 6分
，
，
. .. 9分
的数学期望 . …….. 12分
的方差 ….. 13分

17．（本小题共 14 分）
解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面． ….. 6分
（II）过点作于点，连结．
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角． ….. 10分
因为平面平面，平面平面，，
平面所以平面，故．
因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．
由题设，，，则．所以，，
，．
因为平面，，所以平面，从而．
故，．
又，由得．
故．
即直线与平面所成的角是． ….. 14分
解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，

，，相关各点的坐标分别是，
，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，
由得故可取．
过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．
因为，所以，．
设（），由，解得，
所以．
设和平面所成的角是，则
．
故直线与平面所成的角是．
18．（本小题13分）
解法一：（Ⅰ）依题意得，所以， .………………………1分
令，得， .………………………2分
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减； ………………………4分
所以，是函数的极小值，是函数的极大值.
………………………5分
（Ⅱ） ………………………6分
由函数在区间上单调递减可知：不等式对任意恒成立，
.………………………7分
当时，，显然对任意恒成立； .…………………8分
当时，等价于，
因为，不等式等价于
.………………………9分
令，
则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，
所以在上的最小值为， .………………………11分
由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，
需且只需，即，解得，因为，所以.
综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.
.………………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） ………………………6分
由函数在区间上单调递减可知：不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立， …………………7分
当时，，显然对任意恒成立； …………………8分
当时，令，则函数图象的对称轴为，
.………………………9分
若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以 ..………………………11分
若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.
综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.
.………………………13分
19．（本小题13分）
（I）设椭圆E的方程为，由e=，即，a=2c，得b2=a2－c2=3c2，
∴ 椭圆方程具有形式，将A(2，3)代入上式，得，解得c=2，
∴ 椭圆E的方程为； ….. 3分
（II）解法1：由（I）知F1(－2，0)，F2(2，0)，所以直线AF1的方程为：y=(x+2)，
即3x－4y+6=0，直线AF2的方程为: x=2，
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数，设P(x，y)为l上任一点，则
，
若3x－4y+6=5x－10，得x+2y－8=0 (因其斜率为负，舍去)，
于是，由3x－4y+6=－5x+10，得2x－y－1=0，所以直线l的方程为：2x－y－1=0.
解法2：∵ A(2，3)，F1(－2，0)，F2(2，0)，∴ ,
∴ ，
∴ kl=2，∴ 直线l：y－3=2(x－1)，即2x－y－1=0. ….. 7分
（III）解法1：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，
∵ BC⊥l，∴ ，设BC的中点为M(x0，y0)，
则，由于M在l上，故2x0－y1－1=0， ①
又B，C在椭圆上，∴ 有，
两式相减得，即，
将该式写成，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，的，即3x0－2y0=0， ②
①×2－②得x0=2，y0=3，即BC的中点为点A，而这是不可能的，
∴不存在满足题设条件的点B和C. ….. 13分
解法2：
假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)关于直线l对称，则l⊥BC，
∴ kBC=－，设直线BC 的方程为y=－x+m，将其代入椭圆方程，
得一元二次方程3x2+4(－x+m)2=48，即x2－mx+m2－12=0.
则x1与x2是该方程的两个根，由韦达定理得x1+x2=m，于是y1+y2=－(x1+x2)+2m=m，
∴ B，C的中点坐标为，
又线段BC的中点在直线y=2x－1上，∴ m=m－1，得m=4，
即B，C的中点坐标为(2，3)，与点A重合，矛盾.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
20．（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为，所以，， …………………1分
由，得，
所以， …………………3分
因为且，所以， …………………4分
所以 ，是等差数列，
所以数列的前项和. …………………5分
（Ⅱ）由已知，假设，，成等比数列，其中，且彼此不等，
则， …………………6分
所以
所以，
若，则，可得，与矛盾； ………7分
若，则为非零整数，为无理数，
所以为无理数，与是整数矛盾. …………………9分
所以数列中的任意三项都不能构成等比数列.
（Ⅲ）设存在实数，使，
设，则，且，
设，，
则，所以，
因为，且，所以能被整除. …………………10分
（1）当时，因为， ，
所以； …………………11分
（2）当时，
，
由于，所以，，
所以，当且仅当时，能被整除. …………………12分
（3）当时，
，
由于，所以，
所以，当且仅当，即时，能被整除. ……13分
综上，在区间上存在实数，使成立，且当时，；当时，. …………14分