三角函数和解三角函数知识点总结教案.doc

必修四
初等函数（二）
1.任意角

2、象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、象限角的确定：
已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

例题:
(1)如果是第三象限角，那么是第几象限角？{1、3、4象限}
(2)如果是第三象限角，那么是第几象限角？
(3)若α是第三象限角，且cos<0，则是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．
6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
7、弧度制与角度制的换算公式：，
8、弧长公式 ，
扇形周长 ，
扇形面积 ．
9、任意角
设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

10、.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

＋ 　＋ －　　＋　　　　－　　＋
　　－　　　－　　　－　　＋　　　　＋　　－

11 三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

12、 同角三角函数的基本关系：
（1） 平方关系：（也是由前式子化简得到）

“1”活用
（2）商数关系：（用于切化弦）

※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

(3)

13、三角函数的诱导公式：
1.诱导公式（把角写成形式，看的倍数，考察倍数的奇偶性，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）
Ⅰ） Ⅱ） Ⅲ）
Ⅳ） Ⅴ） Ⅵ）
2、和差化积：（用于三角函数的整理）
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
3、积化和差（用于三角函数的整理）

4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：（用于将已知式子化成同次幂的三角函数）
⑴．
⑵
⑶．
5、公式的变形：（不需要死记硬背，会用原公式推导即可）
，
；
例题
（1）(07全国Ⅰ) 是第四象限角，，则
（2）（09北京文）若，则 .
（3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则 .
(4) 是第三象限角，，则= =

6、辅助角公式（提斜公式，经常用于求三角函数的最值）
，其中．
例题
（09江西文）函数的最大值为
（09上海）函数的最小值是 .

14、 函数-----的变换：
1、左加右减 上加下减
2、加减对x乘内变换，乘除单独对x变化
3、变换可以分两种。先加减后乘除
例如：例：以变换到为例
向左平移个单位 （左加右减）
横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）

横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
向左平移个单位 （左加右减）
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）
例题
1、（2010全国卷2理）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像 （A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
【答案】B
2、（2010四川理）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C

函数的性质：
①周期：（重点记忆，其他为了解）；②振幅：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
理解记忆：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：（和图像一同理解记忆）
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

三角函数值域总结：
注意：定义域的取值

1、应用提斜公式，形如可直接用公式。
形如，逆用倍角公 式化成提斜的形式。
形如或的的函数（式中也可以是同名函数），先 、
用和差化积公式展开，化归为例1、例2的形式求最值.
形如的函数可将看作参数，利用提斜公式。

2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，然后配方
3、“1”的妙用，形如sinxcosx sinxcosx 在关系式中时，可以应用换元处理，令t=sinxcosx，则
sinxcosx = 把三角问题化为代数为题来处理。
4.形如的函数用分离变量法分离常数，利用sinx的有界性求解.
5、形如的函数可将看作参数，化归为例1的形式求解
6、求同时含有与（或）的函数的值域，一般令(或) 可以化归为求在区间上的值域，要注意的取值范围.

例：函数的定义域为，值域为，求常数.
解;

1、求的最小值，并求使取最小值时的集合.
2、求的值域。
3、求的值域.
4、若函数的最大值为1，则=
5、函数的有最大值2，最小值-1，求实数的值。
6、若函数的定义域为，值域为，求常数的值。
7、求函数的最大值和最小值.
8、求函数的值域；
9、求函数的值域。
10、函数的最小值是
11、求函数的最大值。
12、函数的定义域为，值域为，求常数的值。
13、函数的最大值为3，求的值。

三角函数的单调性的基本方法：

函数的单调区间的确定 1、首先要看A、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导 公式化为正
2、然后将ωx+φ看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在和两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
例题：
1、求函数在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）的形式：

⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：
令，原函数变为
⑶讨论最简函数的单调性：
从函数的图像可以看出，的单调增区间为，。所以，
即，
∴，
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，
当k=1时，
当k=-1时，
⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：
因为，所以该函数的单调增区间为
和
各类题型演练

一.最值
1.（09福建）函数最小值是= 。
2.①（08全国二）．函数的最大值为 。
②（08上海）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
③（09江西）若函数，，则的最大值为
二.单调性
1.（04天津）函数为增函数的区间是 （ ）.
A. B. C. D.
2.函数的一个单调增区间是 （ ）
A． B． C． D．
3.函数的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
4．（07天津卷） 设函数，则 （ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数

三、周期（周期性以及其他各个性质的综合应用）
1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是 （ ）
A． B． C． D．
2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=
3.（04全国）函数的最小正周期是（ ）.
4.（1）（04北京）函数的最小正周期是 .
（2）（04江苏）函数的最小正周期为（ ）.
5.（1）函数的最小正周期是
(2)（09江西文）函数的最小正周期为
(3). （08广东）函数的最小正周期是 ．
(4)（04年北京卷.理9）函数的最小正周期是 .
6.(09年广东文)函数是 ( )
A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
7.（浙江卷2）函数的最小正周期是 .
8．函数的周期与函数的周期相等，则等于（ ）
(A)2 (B)1 (C) ( D)

四、对称性
1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，图象关于直线对称的是 （ ）
A B C D
3．（07福建）函数的图象 （　　）
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
五、图像

1．（07宁夏、海南卷）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
函数在区间的简图是 （　　）

2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω= （ ）
A. 1 B. 2
C. 1/2 D. 1/3

4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.若，则的取值范围是： ( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）

六、综合
1. （04年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为
2．(04年广东)函数f(x)是 （ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C． 周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数
3．（ 09四川）已知函数，下面结论错误的是 ( )
A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数
C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数
4．(07安徽卷) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是
①图象C关于直线对称; ②图象C关于点对称
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
5.（08广东卷）已知函数，则是 （ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是C
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
7．若α是第三象限角，且cos<0，则是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．已知函数对任意都有，则等于 （ ）
A、2或0 B、或2 C、0 D、或0

总结：1、重点注意三角函数和向量的结合
2、重点把握三角函数的图像和性质，注意数形结合。
3、解三角形实质是对正余弦定理的考查，将几何问题转化为代数问题，最后解方程。化式子时候注意化异为同。
（二） 解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理
和余弦定理等求解。
三基定理：（正。余 。面积）
A、 正弦定理：其中是三角形外接圆半径.

B、余弦定理：

由此可得：.（做题出现余弦，角换边）
C、三角形面积公式：（1）（此为常用公式）
（2）
其中，，为内切圆半径，为外接圆半径.
D、在三角形中大边对大角，反之亦然.（用来判定三角形是否成立，去根）
1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
2）大边对大角，即 a>b ∠A>∠B

E、射影定理（了解）：
F、有关三角形内角的几个常用公式
（当常用A+B+C=PAI）
G、解三角形常见的四种类型
应用余弦定理：1、已知两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理，
求出角。
2、已知三边，由余弦定理可求出。
应用正弦定理： 3、已知两角与一边：由及正弦定理，
可求出，再求。
4、已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的
对角，由，求出，再由求出，而通过
求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

90°
90°
90°

一解
一解
一解

无解
无解
一解

两解
无解
无解

一解

无解

H、对于三角形的分类或三角形形状判断，主要从边或角两方面入手。
1、大题第一问，求边，或者边之间的关系，求角或者角或之间的关系。利用正余弦定理，正弦定理和余弦定理是相通的，用正弦定理可解的题，用余弦定理也可解，主要是看怎样解题更简单.如果求边，首先余弦定理。如果求关于角，首选正弦定理。
2、第二问求函数的最值，单调区间，或者三角形的面积等问题。
1.注意利用第一步得到的结合。
2、求最值注意定义域。

例题
1.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB +cot C的值.
2.已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

3.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小：
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
4.（08全国二17）在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．

课外延伸:波利亚解题法
乔治·波利亚(George Polya,1887—1985)是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。
怎样解题表的主要内容是：
第一步：你必须弄清问题。
1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？ 2.画张图，将已知标上。 3.引入适当的符号。 4.把条件的各个部分分开。
第二步：找出已知与未知的联系。
1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？ 2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？ 3.回到定义去。 4.你能否解决问题的一部分？ 5.你是否利用了所有的条件？
第三步：写出你的想法。
1.勇敢地写出你的方法。 2.你能否说出你所写的每一步的理由？
第四步：回顾。
1.你能否一眼就看出结论？ 2.你能否用别的方法导出这个结论？ 3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？

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