高中数学选修1-1人教A教案导学案：2.3.2抛物线的简单几何性质.doc

2. 3.2抛物线的简单几何性质
（一）学习目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .
（二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）学习难点：抛物线几何性质的运用
（四）学习过程：
一、复习引入：（回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做 . 定点F叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 .
图形

方程

焦点

准线

2．抛物线的标准方程：
相同点：
不同点：
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
2．对称性
3．顶点
4．离心率
对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表）
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率

注意的几何意义：
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
（思考用不同方法求解）
变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：
四、达标练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.
参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到轴距离的最小值为.
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于　 .
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y 4． 5．米
七、板书设计（略）
2.3.2抛物线的简单几何性质
（一）教学目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .
（二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）教学难点：抛物线几何性质的运用
（四）教学过程：
一、复习引入：（学生回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
图形

方程

焦点

准线

2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即.
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为. （2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率

轴

轴

轴

轴

注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以 ，即

因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.
由题可知，直线AB的方程为y=x—1
代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分别代入直线方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1
∴|AB|=|x1—x2|

解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，
|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。
变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
解：，，。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。
四、达标练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.
参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到轴距离的最小值为.
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于　 .
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y 4． 5．米
七、板书设计（略）