三明一中2011届高三数学上学期期中考试试题-理-新人教A版.doc

三明一中2010～2011上学期学段考试高三(理)科数学
（总分150分，时间：120分钟）
（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卷”上）
一、选择题(本题10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入
答题卷中。)
1．设z＝1＋i (i是虚数单位)，则 ＋ z 2 ＝ (　　)
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

2．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a ＋b等于 (　　) A．7 B．－1 C．1 D．－7

3．设为定义在上的奇函数，当时， (为常数)，则（ ） (A) 3 (B) 1 (C)-3 (D)

4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝，
＝，＝，则下列向量中与相等的向量是 (　　)
A．－＋＋　　　 　B. ＋＋
C. －＋ D．－－＋

5．已知为等差数列，，。以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是 （ ） （A）21 （B）20 （C）19 （D）18

6．已知直线平行，则k的值是 （ ）
（A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2

7．设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为 （ ） （A） (B) (C) (D) 4

8. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，
其中正确的是 (　　)
A①②　　 　B.③④ C.②③ D.①③

9. 已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 （ ） （A）+=1 （B）+=1
（C）+=1 （D）+=1
10．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．； B．； C．；D．

二、填空题(本题5小题，每小题4分,共20分)
11．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间 中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为　　　　.

12．已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2－n＋1，则数列{an}的通项为　 　　　.

13. 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4 ，则l的方程为 。

14. 已知向量，夹角为，＝3，＝2，若（3+5）（m－），则m的值是 。

15. 已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
③若m⊥α， n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

上面的命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

三、解答题（共6题，80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.(本题满分13分)
在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设＝(cos，sin )，＝(cos，－sin )，
，的夹角为. (1)求C的大小；(2)已知c＝，三角形的面积S ＝ ，求a ＋b的值．
17.（本题满分13分)
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．

18.(本题满分13分)
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

19.(本题满分13分)
如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝.
(1)求证：PA⊥B1D1；
(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值．

20.(本题满分14分)
已知函数其中
（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；
（2） 当时，求函数的单调区间与极值。

21.(本题满分14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn ，点(n， )在直线y ＝ x ＋上．数列{bn}满足
bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．

草 稿 纸

三明一中2010～2011上学期学段考试卷
高三（理）科数学·答题卷

考位号 总分

一、选择题(共 10 小题，50 分，请将答案填入下表中。)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11. , 12. ，
13. ， 14. ，
15. 。
三、解答题（共6题，80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本题满分13分）

17.（本题满分13分）

18.（本题满分13分）

19.（本题满分13分）

20.（本题满分14分）

21.（本题满分14分）

三明一中2010～2011上学期学段考高三(理)科数学试卷答案
一、选择题(本题10小题，每小题5分，共50分。)
5．[解析]：由++=105得即由得即，∴，，由得，选B
x
2

2
-2
O

y

6．解：k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0显然平行；k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行；k≠3，k≠4时，要使l1∥l2，应有 ⇒k＝5.综上所述k＝3或5.

7．【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线（）,过直线与直线的交点时,目标函数（）取得最大12,即,即,而,故选A.答案:A

8. 解析：将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，
而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN
是异面直线，MN与CD也是异面直线故①③正确，
②④错误. 答案：D

9. 【解析】设圆的圆心为，则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。
10．[解析] A；若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是
二、填空题(本题5小题，每小题4分,共20分)
11．解析：答案：1∶8
12．解析：当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]
＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2.又∵当n＝1时　2n－2＝0≠1∴an＝
13. 答案：所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
14. 答案：
15. 解析：①由m∥α，则m与α内的直线无公共点，∴m与α内的直线平行或异面．故①不正确．
②α∥β，则α内的直线与β内的直线与无共点，∴m与n平行或异面，故②不正确．
③④正确．答案：③④
三、解答题（共6题，80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.(本题满分13分)
解：(1) ·＝cos2－sin2＝cosC，又·＝||||cos＝，故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝.(2)S＝absinC＝absin＝ab，又已知S＝，故ab＝，∴ab＝6.∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，∴＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab.∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝，∴a＋b＝.
17.（本题满分13分)
解：(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x＋y－a＝0，由 ，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即为所求.
18.(本题满分13分)
解析: (1)当时,
当时,
∴
(2)当时,,此时,当时,取得最大值(万元);
当时,
此时,当时,即时,取得最大值1000万元.
所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
19.(本题满分13分)
解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为
z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，
D(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，P(1,1,4)．
(1)证明：∵＝(－1,1,2)，＝(2,2,0)，
∴·＝－2＋2＋0＝0，∴PA⊥B1D1.
(2)平面BDD1B1的法向量为＝(－2,2,0)．
＝(2,0,0)，＝(1,1,2)．设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，
n⊥.∴　∴取n＝(0，－2,1)，
设所求锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝.
20.(本题满分14分)
（I）解：

（II） w.w
＞， ＜.
当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

www. .com

21.(本题满分14分)
解：(1)由已知得＝n＋，∴Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5.由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列，由{bn}的前9项和为153，可得＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，
∴{bn}的公差d＝＝3，b3＝b1＋2d，∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.
(2)cn＝＝(－)，∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)．∵n增大，Tn增大，∴{Tn}是递增数列．∴Tn≥T1＝.
Tn＞对一切n∈N*都成立，只要T1＝＞，
∴k＜19，则kmax＝18.