微积分下学期末试卷及复习资料.doc

微积分下期末试题（一）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、 已知,则.
2、 已知, 则.

3、函数在 点取得极值.
4、已知,则1.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是
.
二、选择题(每小题3分,共15分
6 知与均收敛,则常数的取值范围是(　 　C　 ).
(A) (B) (C) (D)
7 数在原点间断,
是因为该函数(　 B　 ).
(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在
(C) 在原点有二重极限,但无定义 D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

8、若,,,则下列关系式成立的是(　 　 A).
(A) (B) (C)
(D)
9、方程具有特解(　　D ).
(A) (B)
(C) (D)
10、设收敛，则(　　D ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
解：的函数为。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式 (3分)
(6分)
13、由确定，求.　
解：设，则
， ，
， (3分)
(6分)

14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.　
解：
令,得,,为极小值点. (3分)
故在下的极小值点为,极小值为 (6分)

15、计算.
解： (6分)
16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.
解：＝＝ (6分)
17、解微分方程.
解：令,,方程化为,于是

(3分)
(6分)
18、判别级数的敛散性.
解： (3分)
因为
19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
解：由于,已知 ,, (3分)
那么 ,. (6分
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
，
求最优广告策略 解：公司利润为
令即
得驻点,而 (3分)
,,,

所以最优广告策略为：
电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元). (6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设，证明：.
证：
22、若与都收敛,则收敛.
证：由于, (3分)
并由题设知与都收敛,则收敛,
从而收敛。 (6分)

微积分下期末试题（二）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则 。
答案（）
2、计算广义积分= 。答案（）
3、设，则 。答案（）
4、微分方程具有 形式的特解. 答案（）
5、设，则。答案（1）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、的值为 （ A ）
A.3 B.0 C.2 D.不存在
2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面和及柱面所围的体积是 （D　）。
　　A. ； B. ；
　　C、； D.
4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，则其通解为 （C ）。
A.； B.；
C.； D.
5、无穷级数(为任意实数) （D）
A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：。
解： …（3分）
…（6分）
2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。
解： …（4分）
…（6分）
3、求由所确定的隐函数的偏导数。
解：方程两边对求导得:
,有 …（3分）
方程两边对求导得:
,有 …（6分）
4、求函数的极值。
解：，则
，，
，，
求驻点，解方程组得和. …（2分）
对有，，，
于是，所以是函数的极大值点，且 …（4分）
对有，，，
于是， 不是函数的极值点。
6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；
解：. …（4分）
…（6分）
7、已知连续函数满足，且，求。
解：关系式两端关于求导得：
即 …（2分）
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：

= …（5分）
又，即，故，所以 …（6分）
8、求解微分方程=0 。
解：令，则，于是原方程可化为： …（3分）
即，其通解为 …（5分）
即
故原方程通解为： …（6分）
9、求级数的收敛区间。
解：令,幂级数变形为 …（3分）
当时,级数为收敛；
当时,级数为发散.
故的收敛区间是, …（5分）
那么的收敛区间为. …（6分）
10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

解：因为 …（2分）
由比值判别法知收敛()， …（4分）
从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. …6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。
证：， …（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为, …（2分）
…（4分）
所以. …（5分）

微积分下期末试题（三）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则 。
答案（）
2、计算广义积分= 。答案（）
3、设，则 。答案（）
4、微分方程具有 形式的特解.（）
5、级数的和为 。答案（）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、的值为 （ B ）
A、0 B、3 C、2 D、不存在
2、和在存在且连续是函数在点可微的 （ B ）
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面和及柱面所围的体积是 （ B　）
　　A. ； B. ；
　　C、； D.
4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，，则其通解为 （D）
A、； B、；
C、 ； D、
5、无穷级数(为任意实数) （A）
A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：。
解： …（3分）
…（6分）
2、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。
解： …（4分）
…（6分）
3、求由所确定的隐函数的偏导数。
解：（一）令
则 ， ，
利用公式，得
…（3分）
…（6分）
（二）在方程两边同时对x求导，得

解出
， …（3分）
同理解出 …（6分）
4、求函数的极值。
解：，则
，，
，，
求驻点，解方程组得和. …（2分）
对有，，，
于是，所以点不是函数的极值点. …（4分）
对有，，，
于是，且，所以函数在点取得极小值, …（6分）
…（5分）
6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；
解： …（4分）
…（6分）

7、已知连续函数满足，求。
解：关系式两端关于求导得：
即 …（2分）
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：

…（5分）
又，即，故，所以 …（6分）
8、求微分方程的通解。
解 这是一个不明显含有未知函数的方程
作变换 令 ，则，于是原方程降阶为
 …（3分）
， 分离变量，积分得 
即 ，从而 …（5分）
再积分一次得原方程的通解
y＝ …（6分）
9、求级数的收敛区间。
解：令,幂级数变形为,. …（3分）
当时,级数为收敛；
当时,级数为发散.
故的收敛区间是, …（5分）
那么的收敛区间为. …（6分）
10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：
解：因为 …（2分）
由比值判别法知收敛()， …（4分）
从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设级数收敛，证明也收敛。
证：由于， …（3分）
而,都收敛，故收敛，由比较原则知 收敛.。…（5分）
2、设,证明:。
证明： 因为
, …（2分）
, , …（4分）
所以 …（5分）

微积分下期末试题及答案（四）
一、选择题(每题2分)
1、设定义域为（1,2），则的定义域为（
A、（02） B、（0，2 C、（10,100） D、（1,2）
2、1是函数=的（）
A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点
3、试求等于（）
A、 B、0 C、1 D、
4、若，求等于（）
A、 B、 C、 D、
5、曲线的渐近线条数为（）
A、0 B、1 C、2 D、3
6、下列函数中，那个不是映射（）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（每题2分）
1、
2、、
3、
4、
5、
三、判断题（每题2分）
1、 ( )
2、 ( )
3、 ( )
4、 ( )
5、 ( )
四、计算题（每题6分）
1、

2、

3、

4、

5、

6、

五、应用题
1、设某企业在生产一种商品件时的总收益为，总成本函数为，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）

2、描绘函数的图形（12分）

六、证明题（每题6分）
1、用极限的定义证明：设
2、证明方程

试题（四）答案
一、 选择题
1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B
二、填空题
1、 2、 3、18 4、3 5、
三、判断题
1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、×
四、计算题
1、

2、

3、
解：

4、解：

5、
解：

6、解：

五、应用题
1、解：设每件商品征收的货物税为，利润为

2、
解：

0

0

0

↘
拐点
↘
无定义
↘
极值点
↗

渐进线：

图象
六、证明题
1、证明：

2、
证明：