人教版数学八上第一次月考(三角形与全等三角形).doc

八年级（上）第一次月考数学试卷（三角形全等三角形）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．下面各组中的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．2cm、3cm，5cm B．1cm、6cm、6cm C．2cm、6cm、9cm D．5cm、3cm、10cm
2．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（　　）
A．19cm B．19cm或14cm C．11cm D．10cm
3．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
4．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）
A．180° B．220° C．240° D．300°
6．如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）
A．AB=AC B．DB=DC
C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
7．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　）
A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形
8．如图，点P是AB上任一点，∠ABC=∠ABD,从下列各条件中补充一个条件，
不一定能推出ΔAPC≌ΔAPD.的是( )
A. BC=BD. B. ∠ACB=∠ADB. C.AC=AD. D. ∠CAB=∠DAB

9．已知ΔABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE,AE与BD交于点F,则∠AFD的度数为( )
A.60° B.45° C.75° D. 70°
10．如图ΔABC中，∠B =∠C,BD=CF,BE=CD, ∠EDF=α，则下列结论正确的是（ ）
A.2α+∠A=90° B. .2α+∠A=180° C.α+∠A=90° D.α+∠A=180
11．下列说法：
①全等三角形的形状相同、大小相等 ②全等三角形的对应边相等、对应角相等
③面积相等的两个三角形全等 ④全等三角形的周长相等
其中正确的说法为（ ）
A.①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
10．给出下列命题：
①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．
正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　　　　　去玻璃店．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是　　　　　　．
15．已知△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，△A′B′C′周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，则A′C′=　　　　　　cm．
16、如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠ACB=∠DFE；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
第16题
其中，能使△ABC≌△DEF的条件是 ；（填序号）
17、如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3 =　 　°
18.已知在ΔABC中，∠ABC=45°，AC=4，AD=3，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为______。

三、解答题（共2小题，满分14分）
19．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

20．如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A等于多少度？若∠BOC=a°时，∠A又等于多少度呢？

四、解答题（共四小题，每题10分）
21．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明BD=DC的理由．
∵AD平分∠BAC
∴∠　　　　　　=∠　　　　　　（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD　　　　　　．
∴BD=DC
22．如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．

23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥
CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．

24．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．

五解答题（共二小题,每题12分）
25．如图（1），AB=CDAD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．

26．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？

2014-2015学年湖北省咸宁市嘉鱼实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下面各组中的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．2cm、3cm，5cm B．1cm、6cm、6cm C．2cm、6cm、9cm D．5cm、3cm、10cm
考点： 三角形三边关系．
分析： 判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
解答： 解：A、∵2+3=5，∴以2cm、3cm，5cm长的线段首尾相接不能组成一个三角形；
B、∵1+6＞6，∴以1cm、6cm、6cm长的线段首尾相接能组成一个三角形；
C、∵2+6＜9，∴以2cm、6cm、9cm长的线段首尾相接不能组成一个三角形；
D、∵3+5＜10，∴以3cm、5cm，10cm长的线段首尾相接不能组成一个三角形．
故选B．
点评： 本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．

2．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（　　）
A．19cm B．19cm或14cm C．11cm D．10cm
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：等腰三角形的两腰相等，应讨论当8为腰或3为腰两种情况求解．
解答： 解：当腰长为8cm时，三边长为：8，8，3，能构成三角形，故周长为：8+8+3=19cm．
当腰长为3cm时，三边长为：3，3，8，3+3＜8，不能构成三角形．
故三角形的周长为19cm．
故选：A．
点评： 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两腰相等，以及辆较小边的和大于较大边时才能构成三角形．

3．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）

A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
考点： 三角形的稳定性．
专题： 存在型．
分析： 根据三角形的稳定性进行解答即可．
解答： 解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．

点评： 本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．

4．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）

A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
解答： 解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D．
点评： 本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．

5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）

A．180° B．220° C．240° D．300°
考点： 等边三角形的性质；多边形内角与外角．
专题： 探究型．
分析： 本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解答： 解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
点评： 本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题

6．如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）

A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
考点： 全等三角形的判定．
分析： 先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
解答： 解：A、∵AB=AC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，
此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；
C、∵∠ADB=∠ADC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
D、∵∠B=∠C，
∴，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．
故选：B．
点评： 本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．

7．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　）
A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形
考点： 多边形的对角线．
分析： 根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．
解答： 解：设这个多边形是n边形．
依题意，得n﹣3=10，
∴n=13．
故这个多边形是13边形．
故选：A．
点评： 多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．

8．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
考点： 角平分线的性质．
专题： 应用题．
分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
解答：解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．

点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　③　去玻璃店．

考点： 全等三角形的应用．
分析： 本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
解答： 解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
点评： 这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．

10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是　80°　．

考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 根据角平分线的定义求出∠BAC=2∠BAD，再根据三角形的内角和等于180°列式求解即可．
解答： 解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣40°﹣60°=80°．
故答案为：80°．
点评： 本题主要考查了三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是解题的关键．

11．已知△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，△A′B′C′周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，则A′C′=　2　cm．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 全等三角形的对应边相等，周长也相等，可据此求出A′C′的长，做题时要根据已知找准对应边．
解答： 解：∵△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，
∴A′C′=AC，
在△ABC中，周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=2cm，即A′C′=2cm．
故填2．
点评： 本题考查了全等三角形的性质；要熟练掌握全等三角形的性质，注意求边长时要在同一个三角形中进行．

12．长为3，5，7，10的木条，选其中的三根拼成三角形，有　2　 种选法．

考点： 三角形三边关系．
分析： 首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解答： 解：其中的任意三条组合有3，5，7；3，5，10；5，7，10；3，7，10四种情况．
根据三角形的三边关系，可知只有3，5，7；5，7，10能组成三角形，故有2种不同的选法．
故答案为：2．
点评： 此题考查了三角形的三边关系．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

13．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是　5　．

考点： 角平分线的性质．
分析： 要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．
解答： 解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离=CD=2，
∴△ABD的面积是5×2÷2=5．
故答案为：5．

点评： 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．

14．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2为　20　度．

考点： 平行线的性质．
分析： 过点B作BD∥l，然后根据平行公理可得BD∥l∥m，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，然后求出∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠4，即可得解．
解答： 解：如图，过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠3=∠1=25°，
∵△ABC是有一个角是45°的直角三角板，
∴∠4=45°﹣∠3=45°﹣25°=20°，
∴∠2=∠4=20°．
故答案为：20．

点评： 本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

15．如图所示，则α=　114　°．

考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形外角性质求出∠1，再根据三角形外角性质求出即可．
解答： 解：
∵∠1=58°+24°=82°，
∴α=∠1+32°=82°+32°=114°，
故答案为：114
点评： 本题考查了三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

16．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=　120　度．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据等边三角形的性质及全等三角形的判定SAS判定△DAC≌△BAE，得出对应角相等，再根据角与角之间的关系得出
∠BOC=120°．
解答： 解：∵△ABD，△ACE都是正三角形
∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，
∴∠DAC=∠EAB
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
∴∠BOC=∠CDB+∠DBE
=∠CDB+∠DBA+∠ABE
=∠ADC+∠CDB+∠DBA
=120°．
故填120．
点评： 此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法等，做题要灵活运用．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
解答： 证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．

18．如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A等于多少度？若∠BOC=a°时，∠A又等于多少度呢？

考点： 三角形内角和定理．
分析： 根据三角形内角和定理易得∠OBC+∠OCB=48°，利用角平分线定义可得∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=96°，进而利用三角形内角和定理可得∠A度数．同理可得∠BOC=a°时∠A的度数．
解答： 解：∵∠BOC=132°，
∴∠OBC+∠OCB=48°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=96°，
∴∠A=180°﹣96°=84°．
同理，∵∠BOC=a°，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣α°．
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2（180﹣α）°=360°﹣2α°，
∴∠A=180°﹣360°+2α°=2α°﹣180°．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

19．（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

考点： 三角形内角和定理．
分析： （1）在△AFQ中可得∠A+∠F=180°﹣∠AQF=180°﹣∠OQP，同理可得∠B+∠C=180°﹣∠OPQ，∠E+∠D=180°﹣∠POQ，三个式子相加可得出结果；
（2）在△APQ中可得∠A+∠B=180°﹣∠OPQ，同理可得∠C+∠D=180°﹣∠POQ，∠E+∠F=180°﹣∠OQP，三个式子相加可得出结果．
解答： 解：
（1）在△AFQ中可得∠A+∠F=180°﹣∠AQF=180°﹣∠OQP①，
同理可得∠B+∠C=180°﹣∠OPQ②，
∠E+∠D=180°﹣∠POQ③，
①+②+③可得：∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠D=180°﹣∠OQP+180°﹣∠OPQ+180°﹣∠POQ=540°﹣（∠OQP+∠OPQ+∠POQ）=540°﹣180°=360°；
（2）在△APQ中可得∠A+∠B=180°﹣∠OPQ①，
同理可得∠C+∠D=180°﹣∠POQ②，∠E+∠F=180°﹣∠OQP③，
①+②+③可得：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°﹣∠OPQ+180°﹣∠POQ+180°﹣∠OQP=540°﹣（∠OQP+∠OPQ+∠POQ）=540°﹣180°=360°．
点评： 本题主要考查三角形内角和定理，在图形中充分利用三角形的三个内角和为180°是解题的关键．

20．如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析： 欲证BE∥CF，需先证得∠EBC=∠FCD或∠E=∠CFD，那么关键是证△BED≌△CFD；这两个三角形中，已知的条件有：BD=DC，DE=DF，而对顶角∠BDE=∠CDF，根据SAS即可证得这两个三角形全等，由此可得出所证的结论．
解答： 证明：∵AD是BC上的中线，
∴BD=DC．
又∵DF=DE（已知），
∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
∴△BED≌△CFD（SAS）．
∴∠E=∠CFD（全等三角形的对应角相等）．
∴CF∥BE（内错角相等，两直线平行）．
点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据全等三角形的判定定理AAS推知：△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到：AD=CE=5cm，CD=BE．则根据图中相关线段的和差关系得到BE=AD﹣DE．
解答： （1）证明：如图，∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD=CE=5cm，CD=BE．
如图，∵CD=CE﹣DE，
∴BE=AD﹣DE=5﹣3=2（cm），即BE的长度是2cm．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

22．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．

考点： 等腰直角三角形；全等三角形的性质；全等三角形的判定．
分析： （1）要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．
（2）延长AD，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．
解答： 证明：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．

（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．

点评： 利用等腰三角形的性质，可以证得线段和角相等，为证明全等和相似奠定基础，从而进行进一步的证明．

23．如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．

考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： （1）证明三角形ACD和CAB全等．根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD∥BC，也就得出∠1=∠2了．
（2）（3）和（1）的证法完全一样．
解答： 解：∠1与∠2相等．
证明：在△ADC与△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA．（SSS）
∴∠DAC=∠BCA．
∴DA∥BC．
∴∠1=∠2．
②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠2．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．

24．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？

考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
解答： 证明：（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．

点评： 此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．