知识总结北师大版八年级下第一章一元一次不等式和一元一次不等式组.doc

北师大版八年级(下) 第一章：一元一次不等式和一元一次不等式组
一. 不等式的定义：
一般地，用符号“”(或“”)、“”(或“”)、“”连接的式子叫做不等式。
例如：、、都是不等式。

二. 不等式的基本性质：
不等式有如下三个基本性质：
不等式基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
用字母表示：如果，那么、。
如果，那么、。

不等式基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
用字母表示：如果，并且，那么、。
如果，并且，那么、。

不等式基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
用字母表示：如果，并且，那么、。
如果，并且，那么、。

三. 不等式的解、不等式的解集、一元一次不等式组的解集、解不等式：
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
例如：0是不等式的一个解，1、2、3、4、也是不等式的解。

2、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如：是不等式的解集；不等式的解集是所有非零实数。

3、一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。[口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间(大大小小无解)]

4、求不等式解集的过程叫做解不等式。
解不等式的实质是把不等式化成“(或)”或“(或)”的形式。
解不等式的主要依据是不等式的基本性质。
运用不等式的基本性质进行解题时，应特别注意：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边不能都乘以0.

四. 一元一次不等式、一元一次不等式组的定义：
1、左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
例如：下列式子中，是一元一次不等式的是____。
①、，②、，③、，④、
2、一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
例如：下列各式中，是一元一次不等式组的是____。
①、，②、③、，④、

五. 一元一次不等式、一元一次不等式组的解法：
1、一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，都是经过变形，把左边变成，右边变成已知数。通常有以下五个步骤：
①、去分母，②、去括号，③、移项，④、合并同类项，⑤、系数化为1。
例如：解不等式。

2、解一元一次不等式组的步骤：
①、分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②、取各个不等式的解集的公共部分。
例如：解不等式组

六. 一元一次不等式、一元一次不等式组的应用：
列不等式(不等式组)解应用题的一般步骤是：
①、审：分析题中已知什么、未知什么、求什么，明确各量之间的关系。
②、找：找出能够表示应用题全部含义的不等关系，这一步要抓住题中的关键性语句。
③、设：设未知数，一般求什么就设什么，有时可间接设未知数，设的时候一般要带单位。
④、列：列不等式，把不等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来。
⑤、解：解所列出的不等式，求出未知数的范围。
⑥、答：检验所求的解是否符合题意，是否符合实际，写出答案。

例1：某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择
哪种购买方案？
思路分析：
（1）设购买甲种机器台（），则购买乙种机器（）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数购买乙种机器的钱数34万元．就可以得到关于的不等式，就可以求出的范围。
（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数乙种机器生产的零件数380件。根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案。

例2： “六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物。如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套。问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？

七. 一元一次不等式与一次函数的关系、用图像法解不等式：
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为或(，是常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的值大于(或小于)0时，求出相应的自变量的取值范围，当时，表示直线在轴上方的部分，当时，表示直线在轴下方的部分，当时，表示直线与轴的交点。

用图像法解(或)型不等式的步骤是：
①、将一元一次不等式转化成标准形式，即或；
②、在平面直角坐标系中画出一次函数的图像，确定图像与轴的交点；
③、图像在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是一元一次不等式的解集；图像在轴下方的部分所对应的自变量的取值范围是一元一次不等式的解集。

北师大版八年级(下) 第一章测试卷(A卷)
第一部分（选择题，共50分）
一、选择题（本题共有10小题，每小题5分，共50分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的。）
1、下面的式子中不等式的个数是 ( )
(1)、；(2)、；(3)、；(4)、；(5)、.
A．2 B．3 C．4 D．5
2、下列各式中，属于一元一次不等式的是 ( )
A． B． C． D．
3、下列各式中，是一元一次不等式组的是 ( )
A． B． C． D．
4、下面列出的不等式中，正确的是 ( )
A．不是负数，表示成 B．不大于3，表示成
C．与4的差是负数，表示成 D．与2的和是非负数，表示成
5、已知，下列四个不等式中不正确的是 ( )
A． B． C． D．
6、右图是表示某个不等式的解集，则这个不等式是 ( )
A． B．
C． D．
7、不等式组的解集是 ( )
A． B． C． D．无解
8、函数的图象如右图所示，则当时，的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
9、不等式组的最小整数解是 ( )
A． B．0 C．2 D．3
10、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

-3

1
0
A．

-3

1
0
B．

-3

1
0
C．
-3

1
0
D．

第二部分（非选择题，共50分）
二、填空题（每小题4分，共20分）.。
11、不等式的负整数解是_________________。
12、不等式的解集是_________________。
13、将不等式化成或的形式是_________________。
14、若，则(1) ___；(2) ___；(3)___。
15、点在第四象限，则的取值范围是____________。
三、解答题（共30分）
16、（本题8分）分别解不等式和，再根据它们的解集写出与的大小关系。

17、（本题12分）解下列不等式组：
(1)、 (2)、

(3)、 (4)、

18、（本题10分）一个矩形，两边长分别是cm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100，求的取值范围。

北师大版八年级(下) 第一章测试卷(B卷)
第一部分（选择题，共30分）
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的。）
1、如果，下列不等式中错误的是 ( )
A． B． C． D．
2、用 、、表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么、、这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为 ( )
a
c
c
a
b
c
a
c
b
b

A． B．
C． D．
3、若方程组的解满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
4、若不等式组有解，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
5、已知中，为正数，则的取值范围是 ( )
A、<2 B、<3 C、<4 D、<5
6、使代数式的值不小于代数式的值，则应为 ( )
A、>17 B、≥17 C、<17 D、≥27
7、如果不等式组的解集是，则n的取值范围是 ( )
A、 B、 C、 D、
8、下列不等式一定成立的是 ( )
A.5a＞4a B.x+2＜x+3 C.－a＞－2a D.
9、已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，设M=,N=,H=，则下列各式正确的是 ( )
A、M＞N＞H B、H＞M＞N
C、H＞N＞M D、M＞H＞N

10、观察右图，可以得出不等式组的解集是 ( )
A． B. C． D．
第二部分（非选择题，共70分）
二、填空题（每小题5分，共25分）.。
11、若且，则_____。
12、若分式，，，则的值为_________________。
13、将一种浓度为15%的溶液30kg，配制成浓度不低于20%的同种溶液，则至少需要浓度为35%的该种溶液_________________kg。
14、已知关于的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是___________。
15、的与12的差不小于6，用不等式表示为____________。
三、解答题（共45分）
16、（本题6分）关于，的方程组的解满足，均小于2。
（1）求的取值范围
（2）化简

17、（本题6分）解下列不等式组：
(1)、 (2)、

(3)、 (4)、

18、（本题7分）一个矩形，两边长分别是cm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100，求的取值范围。

18、（本题7分）我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A类是固定用户：先缴50元基础费，然后每通话1分钟再付话费0.4元；B类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟会话费0.6元（这里均指市内通话）。若果一个月内通话时间为分钟，分别设A类和B类两种通讯方式的费用为，
(1)、写出、与之间的函数关系式。
(2)、一个月内通话多少分钟，用户选择A类合算？B类呢？
(3)、若某人预计使用话费150元，他应选择哪种方式合算？

18、（本题7分）某批发商欲将一批海产品由A地运往B地.汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务.已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时.两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具
运输费单价
(元/吨·千米)
冷藏费单价
(元/吨·小时)
过路费(元)
装卸及管理费(元)
汽车
2
5
200
0
火
1.8
5
0
1600
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.
(1)设该批发商待运的海产品有x(吨)，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元)，试求y1和y2与x的函数关系式；
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？

北师大版八年级(下) 第二章：分解因式
八. 分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
注意：①、分解因式是恒等变形，分解因式的对象是多项式。
②、分解因式的结果要以积的形式表示，每个因式必修是整式。
③、分解因式是有范围的，现阶段只要求在有理数范围内进行。
④、分解因式必须分解到每个因式都不能再分解为止。

例如：下列从左到右的变形中是是因式分解的是____。
①、，②、，③、，④、，⑤、

九. 分解因式和整式乘法的关系：
如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的分解因式就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的分解因式看作一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的分解因式的逆过程。因此，多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程。
不等式基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

十. 分解因式的方法：
1、提公因式法：
【公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
①、确定公因式的方法：一看系数，二看字母，三看指数；
②、公因式可以是数字，可以是字母，也可以是多项式，还可以是多项式幂
的形式；
③、一个多项式的公因式由两部分组成：系数部分和数字部分。】

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式的依据是乘法分配律，它的实质是单项式乘以多项式时乘法分配律的“逆用”，即。
用提公因式法将多项式分解因式可分为两个步骤：
①、确定多项式的公因式，公因式等于各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。
②、将多项式除以它的公因式，从而得到多项式的另一个因式。

例如：用提公因式法分解因式：
①、___________________.
②、___________________.
2、运用公式法：
(1)、用平方差公式分解因式[]：
根据整式乘法和分解因式的互逆关系，可以得到形如的多项式分解
因式的方法，即，我们把它称为分解因式的平方差公式，
可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。
例如：______________
___________________.

(2)、用完全平方公式分解因式[]：
形如的式子可以运用完全平方公式进行计算。
因为分解因式是整式乘法的逆变形，所以可以得到分解因式的完全平方公式。
可以叙述为：两个数的平方和加上(或减去)他们积的2倍，等于这两个
数和(或差)的平方。
形如或的式子称为完全平方式。
例如：___________________.
___________________.

3、十字相乘法：
又称十字交叉法，根据整式乘法即可得到十字相
乘法：[ 二次项系数为1的情形]。
方法：两个数的乘积等于常数项、和等于一次项的系数[ 二次项系数为1的情形]。
例如： ___________________.

4、分组分解法：
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这
个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
例如： ___________________.
___________________.
十一. 分解因式的步骤：
(1)、有公因式时，应先提公因式。
(2)、没有公因式时，考虑是否符合公式的特征，能否用公式法分解。
(3)、有些题目提完公因式后还能用公式，有些题目用完公式后还能再用公式。
(4)、分解因式要彻底，分解到不能再分解时为止。

北师大版八年级(下) 第二章测试卷(A卷)
第一部分（选择题，共30分）
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的。）
1、下列从左到右的变形中是分解因式的是 ( )
A． B．
C． D．
2、把分解因式，正确的结果是 ( )
A． B． C． D．
3、下列说法中，正确的是 ( )
A．多项式中各项的公因式是 B．多项式没有公因式
C．中各项公因式是 D．多项式的公因式是
4、下列各分解因式，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
5、下列各式，不能用平方差公式分解因式的是 ( )
A． B． C． D．
6、下列各式，不能用完全平方差公式分解因式的是 ( )
A． B． C． D．
7、把多项式分解因式等于 ( )
A． B． C． D．
8、若多项式是完全平方式，则的值是 ( )
A. B. C. D.
9、是下列哪个多项式分解因式的结果 ( )
A． B． C． D．
10、在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题，共70分）
二、填空题（每小题5分，共25分）.。
11、把下列各式的公因式写在横线上：
(1)2)：___________。
12、若，，则=_________________。
13、若，则的值是_________________。
14、若，且，则=_________________。
15、分解因式：=_________________；=_________________。

三、解答题（共45分）
16、（本题36分）用适当的方法将下列各式因式分解：
(1)、 (2)、 (3)、

(4)、 (5)、 (6)、

(7)、 (8)、 (9)、

(10)、 (11)、 (12)、

17、（本题4分）用简便方法计算：
(1)、 (2)、

18、（本题5分）如图，在一块边长为厘米的正方形纸板四角，各剪去一个边长为 厘米的正方形，利用因式分解计算当=13.2，=3.4时，剩余部分(即阴影部分)的面积。

北师大版八年级(下) 第三章：分式
十二 代数式的分类：

十三. 分式的定义：
整式除以整式，可以表示成的形式。如果除式中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分子，可以含有字母，也可以不含字母；称为分式的分母，必须含有字母，并且分母必须不能等于0。
例如：下列有理式中，是分式的是__ __、是整式的是__ __
①、，②、，③、，④、，⑤、，⑥、，⑦、

十四. 分式有意义、无意义、值为零、值为正(或负)数的条件：
1、分式有意义的条件：分母不等于零。
例如：分式有意义的条件是__ __。
2、分式无意义的条件：分母等于零。
例如：分式无意义的条件是__ _
3、分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零。
例如：分式的值等于0，则的值为__ __。
4、分式值为正数的条件：分子、分母符号相同，即分子、分母同正或同负。
5、分式值为正数的条件：分子、分母符号相异，即分子为正，分母为负，或分子
为负，分母为正。

十五. 分数的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
符号表示：，(其中是整式，且)。
十六. 分式的约分与最简分式、分式的通分与最简公分母(最小公分母)：
1、把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的依据是分式的基本性质。约分的关键是正确找出分子与分母的公因式。要注意分式的分子、分母都是乘积的形式时才可以进行约分。
例如：化简分式：①、__ __。
②、__ __。
2、分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
例如：下列分式中，最简分式是__ __。
①、，②、，③、，④、，⑤、
3、取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
例如：化简分式：①、的最简公分母是：__ __。
②、的最简公分母是：__ __。
4、化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是寻找最简公分母，通分后的分式与原来的分式相等，通分一般要伴随着对分母的因式分解。
例如：通分：①、 ②、

十七. 分式的运算(分式的加减乘除)：
1、分式乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母的积作为积的分母。符号表示：。
例如：__ __。
2、分式除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒后再与被除式相乘。
符号表示：。
例如：__ __。
3、分式的加减法
①、同分母分式加减法的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
符号表示：。
例如：__ __。

②、异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
符号表示：。
例如：__ __。
4、分式的混合运算：分式的混合运算包括分式的加、减、乘、除及乘方运算，它的运算顺序和整式的混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，则先算括号里面的。另外，一些分式的混合运算可根据式子的特点，灵活运用交换律、结合律、分配律等，使运算简便。

十八. 分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程和整式方程统称有理方程，两者的区别在于分母中是否含有未知数。
例如：在下列方程中，是分式方程的是__ __。
①、，②、，③、，④、，⑤、
十九. 分式方程的解法：
解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是“一乘，二解，三检验”。
①、在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
②、解这个整式方程；
③、检验，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是方程的增根，必须舍去。
例如：解方程：

二十. 增根：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不合适原分式方程的解(或根)，这种解通常称为增根，增根不是原方程的解，必须舍去。
例如：当为何值时，关于的分式方程会产生增根？
分析：若分式方程有增根，则最简公分母必须等于零，由此我们可以找出所有可能的增根，再利用增根满足整式方程，列出关于的方程，求出的值即可。

二十一. 分式方程的应用
应用分式方程解决实际问题的分析过程，要经历“实际问题—分式方程模型—求解—解析解的合理性”的过程。
一般地，列分式方程解应用题要按下列步骤进行：①、审题；②、设未知数；③、找出相等关系，列分式方程；④、解这个分式方程；⑤、检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；⑥、写出答案。

例1：甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，且甲做90个零件与乙做60个零件所用时间相同，秋甲、乙两人每小时各做多少个零件？
分析：表格分析法(如下表)，可设甲每小时做个零件，由相等关系：甲做90个零件所用时间乙做60个零件所用时间，可得方程

甲
乙
工作总量
90
60
工作速度

工作时间

北师大版八年级(下) 第三章测试卷(A卷)
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的。）
1、下面的式子中，分式的个数是 ( )
(1)、；(2)、；(3)、；(4)、；(5)、；(6)、；(7)、.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、若分式有意义，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
3、若分式的值为0，则的值是 ( )
A．1 B． C．1或 D．2
4、下列分式中，最简分式是 ( )
A． B． C． D．
5、化简：的结果是 ( )
A．2 B． C． D．
6、下列是分式方程的是 ( )
A． B．
C． D．
7、分式方程的解是 ( )
A． B． C． D．
8、分式的最简公分母是 ( )
A． B． C． D．
9、若方程无解，则的值是 ( )
A． B． C．2 D．3
10、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为千米/小时,依题意列方程正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

第二部分（非选择题，共60分）
二、填空题（每小题5分，共25分）。
11、若分式的值为零，则_________________。
12、化简分式：________________；________________；
13、若，，则的值为_________________。
14、已知当时，分式无意义，当时，分式的值为零，则_______
15、当_____时，分式与分式的值相等。
三、解答题（共35分）
16、（本题10分）计算：(1)、 (2)、

17、（本题10分）解分式方程：(1)、 (2)、

18、（本题5分）先化简分式÷－，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．

19、（本题10分）去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务. 问原计划每天修水渠多少米？
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