高中数学选修44单元教学设计.doc

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
直角坐标系
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
过程
与
方法
1、能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
2、体会坐标系的作用
情感态度与价值观
发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新授课意识。

重
难
点

重点：体会直角坐标系的作用
难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定

三、讲解新授课课：
1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？

例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东60的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?

*变式训练
1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程

2．在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程

例3 已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P是点Q 关于点M（m,n）的对称点
（2）P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q不在直线1上）

*变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。

思考
通过平面变换可以把曲线变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？

四、巩固与练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何建立直角坐标系；
2．建标法的基本步骤；
3．什么时候需要建标。
五、课后作业：课本P14页 1，23，4

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
极坐标系的的概念
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

理解极坐标的概念
过程
与
方法
能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新授课意识

重
难
点

重点：理解极坐标的意义
难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确
定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新授课课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 r 表示线段OM的长度，用 q 表示从OX到OM 的角度，r 叫做点M的极径， q叫做点M的极角，有序数对（r，q）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知r≥0;当极角q的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角
当r＜0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （r，q）也可以表示为
4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
① 平面上一点的极坐标是否唯一？

② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。

变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，
点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中，
（1） 已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
（2） 已知M的极坐标为（r，q）且q=，r，说明满足上述条件的点M 的位置。

变式训练
1、若的的三个顶点为
2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点
例3 已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P是点Q关于极点O的对称点；
（2） P是点Q关于直线的对称点；
（3） P是点Q关于极轴的对称点。

变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )

2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何建立极坐标系。
2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位
3．极坐标中的点与坐标的对应关系。
五、课后作业：教材P14-15页5，8，9，10，11

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
极坐标与直角坐标的互化
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能
掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

过程
与
方法
会实现极坐标和直角坐标之间的互化

情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新授课意识。

重
难
点

重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
难点：互化关系式的掌握

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解

二、讲解新授课课：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.

三．举例应用：
例1．（1）把点M 的极坐标化成直角坐标
（2）把点P的直角坐标化成极坐标
变式训练
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例2.若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
(1) 已知A的极坐标求它的直角坐标,
(2) 已知点B和点C的直角坐标为
求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)

变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)

例3.在极坐标系中,已知两点.
求A,B中点的极坐标.

变式训练
在极坐标系中,已知三点.
判断三点是否在一条直线上.

四、巩固与练习：课后练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；
2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
五、课后作业：教材P15页12，13

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
曲线的极坐标方程的意义
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能
掌握极坐标方程的意义
过程
与
方法
能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新授课意识。

重
难
点

重点：直线和圆的极坐标方程的求法——互化
难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置
极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程
极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤

二、讲解新授课课：
1、引例：以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程来表示
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
4、求曲线的极坐标方程：
例1．求经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程。

变式训练：已知点的极坐标为，那么过点且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例2．求圆心在且过极点的圆的极坐标方程。

变式训练：求圆心在且过极点的圆的极坐标方程。

例3．（1）化在直角坐标方程为极坐标方程，
（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。

三、巩固与练习
直角方程与极坐标方程互化
（1） （2）

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何利用互化公式，求直线和圆的极坐标方程
2．怎样理解直线和圆的位置关系——化成直角坐标系。

五、课后作业：教材 1，2

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
常用曲线的极坐标方程
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

巩固求曲线方程的方法和步骤

过程
与
方法
能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

情感态度与价值观
发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

重
难
点

重点：求直线与圆的极坐标方程
难点：寻找关于ρ，θ的等式

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
问题情境
情境1： , , , 分别表示什么曲线？
情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？
二、讲解新授课课：
1、若直线经过且极轴到此直线的角为，求直线的极坐标方程。

变式训练：直线经过且该直线到极轴所成角为，求此直线的极坐标方程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。

2、若圆心的坐标为，圆的半径为，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

3、例题讲解
在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。

变式训练
在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，
（1）求圆的极坐标方程。
（2）若点在圆上运动，在的延长线上，且，求动点的轨迹方程。

小结：圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系
②设点
③列出等式
④用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取为极点，垂直于定直线的方向为极轴的正方向。
⑵表示离心率，表示焦点到准线距离。

2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。

变式训练
已知抛物线的焦点为。
（1）以为极点，轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
2）过取作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线的倾斜角。

例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。
变式训练
设P、Q是双曲线上的两点，若。
求证：为定值；

三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
五、课后作业：课本 6，7，8

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
球坐标系与柱坐标系

课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
过程
与
方法
了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新授课意识。

重
难
点

重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
难点：利用它们进行简单的数学应用

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新授课课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：

2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在

平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

3、数学应用

例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.

变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.

例2.将点M的球坐标化为直角坐标.

变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么?

例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.

变式训练
标满足方程=2的点所构成的图形是什么?

例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.

思考:
在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少?

三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．球坐标系的作用与规则；
2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
曲线的参数方程

课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

弄清理解曲线参数方程的概念.
过程
与
方法
能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感态度与价值观
初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。

重
难
点

重点：曲线参数方程的概念。
难点：曲线参数方程的探求。

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决
（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。）
（二）曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，所在直线为轴，如图，以为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？（其中与为常数，为变数）
结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
为参数 ①
（2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移，那么方程组①可以改写为何种形式？
结合匀速圆周运动的物理意义可得： 为参数 ②
（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为的圆方程？为什么？
由上述推导过程可知：对于⊙上的每一个点都存在变数（或）的值，使，（或，）都成立。
对于变数（或）的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆上；
（1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数（或）建立起来的方程是圆的方程；）
（4）若要表示一个完整的圆，则与的最小的取值范围是什么呢？
，
（5）圆的参数方程及参数的定义
我们把方程①（或②）叫做⊙的参数方程，变数（或）叫做参数。
（6）圆的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程与是否表示同一曲线？为什么？
（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为的圆的部分圆弧的参数方程：
①在轴左侧的半圆（不包括轴上的点）；
②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）
（7）曲线的参数方程的定义
（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数 ③，并且对于的每一个允许值，由方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数叫做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程的形式；
（横、纵坐标、都是变量的函数，给出一个能唯一的求出对应的、 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系
（ⅱ）参数的取值范围；
（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。）
（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；
（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量与之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）
（ⅳ）参数的作用；
（参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。）
（ⅴ）参数的意义。
（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）
（三）巩固曲线的参数方程的概念
例题1：
（1）质点开始位于坐标平面内的点处，沿某一方向作匀速直线运
动。水平分速度厘米/秒，铅锤分速度厘米/秒，
（ⅰ）求此质点的坐标与时刻（秒）的关系；
（ⅱ）问5秒时质点所处的位置。
（2）写出经过定点，且倾斜角为的直线的参数方程。
问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？
（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。）
例题2：已知点在圆：上运动，求的最大值。
（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。）
（四）课堂小结
1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）
（五）作业
课本P26，习题2.1，第1、2题。
（六）思考
（1）若圆的一般方程为，你能写出它的一个参数方程吗？
（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为，则经过时间该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
圆的参数方程

课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

弄清曲线参数方程的概念

过程
与
方法
能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

重
难
点

重点：掌握圆的参数方程的推导方法和结论
难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、先学自研：
一、复习圆的标准方程：学生回答

二、圆的参数方程的推导：（标准式和一般式叫普通方程）
1.圆心在原点的圆的参数方程
圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为
(为参数)
θ 有意义：旋转角0到2π（x轴到连心线）
2.圆心不在原点的圆的参数方程
问：怎样得到圆心在,半径为r的圆的参数方程呢?
可将圆心在原点、半径为r的圆按向量平行移动后得到,所以圆心在半径为r的圆的参数方程为
(θ 为参数)
3.一般曲线参数方程的定义（书P23）
参数方程、参数及其意义、普通方程
参数方程化为普通方程

三、例题：书例2（参数方程的应用）
四、练习：1―3（投影）
补充例.已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
上的一点,求
的最大值和最小值以及对应P点的坐标.
解:☉的参数方程为(为参数),
=
=
其中,.

当时, 有最大值100.
∵,

∴P点的坐标为().
当,有最小值20.
∵,,

,
∴P点的坐标为().
凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.
课堂练习
1.已知P（x,y）圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。
（1）求 的最小值与最大值
（2）求x－y的最大值与最小值
2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是　　　　　；

2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；

3. 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：
　为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；

4．若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 　　　　　　；

二、参数法求轨迹
　　1)一动点在圆x2＋y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程
2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.
三、小结：本节学习内容要求掌握
1．用圆的参数方程求最值；
2．用参数法求轨迹方程，消参。
四、作业：

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
圆锥曲线的参数方程

课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

过程
与
方法

能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

重
难
点

重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、先学自研：
一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
二、讲解新课：
1.椭圆的推导：椭圆参数方程 （为参数）
2.双曲线的参数方程：双曲线参数方程 （为参数）
3.抛物线的参数方程：抛物线参数方程 （t为参数）
1、 关于参数几点说明：
（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
（3） 在实际问题中要确定参数的取值范围
2、 参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
3、 参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
4、 关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间做参数
与旋转的有关问题选取角做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
二、 典型例题：
例1．设炮弹发射角为，发射速度为，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2若，，当炮弹发出2秒时，
① 求炮弹高度
② 求出炮弹的射程

例2．求椭圆的参数方程（见教材P.40）
椭圆参数方程 （为参数）

变式训练1. 已知椭圆 (为参数)
求 （1）时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角

变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率的取值范围。

例3．把圆化为参数方程
（1） 用圆上任一点过原点的弦和轴正半轴夹角为参数
（2） 用圆中过原点的弦长为参数

三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．选择适当的参数表示曲线的方程的方法;
2．体会参数的意义
五、课后作业：教材P34习题2.2

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
直线的参数方程
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能

了解直线参数方程的条件及参数的意义

过程
与
方法
能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

重
难
点

重点：曲线参数方程的定义及方法
难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、先学自研：
一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆参数方程.
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?
二、讲解新课：
1、 教师引导学生推导直线的参数方程：
过定点倾斜角为的直线的参数方程
（为参数）
2、 辨析直线的参数方程：
T的几何意义是指它表示点P0P的长,带符号
三、直线的参数方程应用：
例1、（1）方程 表示的曲线
A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程表示同一曲线的点
A、 B、
C、 D、
例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
（1） （t是参数）（2） （是参数）
（3） （t是参数）

变式训练2。P是双曲线 （t是参数）上任一点，，是该焦点：
求△F1F2的重心G的轨迹的普通方程。
例3、已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。

五、课后作业：见教材53页 2.3.4.5

教
学
反
思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称
圆的渐开线与摆线
课型
新授课

三

维

目

标
知识
与
技能
了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.

过程
与
方法
学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤

情感态度与价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

重
难
点

重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法

单元
课时
计划

教 学 过 程 设 计
批 注
一、复习引入：
1 复习：圆的参数方程
二、讲解新课：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（为参数）
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程

变式训练1 当，时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程

变式训练3
求摆线 与直线的交点的直角坐标

例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。

三、巩固与练习
见教材P.57/12-14
五、课后作业：见教材P.57/