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1、高等代数教案 高 等 代 数 教 案 秦文钊 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 第二章 §1引言 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习，使学生了解行列式的背景 教 学 要 求 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 教 学 重 点 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则 教 学 难 点 二、三元线性方程组的计算公式 教学 方法与手段 启发式
2、讲练相结合 作业与 思考题 无 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 当时，此方程组有唯一解，即 我们称为二级行列式，用符号表示为 . 于是上
3、述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 时，该方程组有唯一解，即 . 二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 称代数式为三级行列式，用符号表示为： 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 . 当三级行列式 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 . 三、元线性方程组 是否也有类似的结论呢？为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章
4、节名称 §2排列 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习，使学生掌握有关排列的相关知识 教 学 要 求 要求学生掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。 教 学 重 点 有关排列的基本概念、排列的奇偶性。 教 学 难 点 排列逆序数的计算与奇偶性的确定 教学 方法与手段 讲授法 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后
5、 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 一、排列的定义 定义1 由组成的一个有序数组称为一个级排列. 级排列的总数是. 显然也是一个级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列的逆序数记为 例：排列53214的逆序数7 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 应
6、该指出，我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列，一般也称为级排列。对这样一般的级排列，同样可以定义上面这些概念。 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部级排列两两配对，使每两个配成对的级排列在这个对换下互变。 定理1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个. 定理2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的
7、个数与这个排列有相同的奇偶性. 结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §3 n级行列式 授课 时数 教 学 目 的 使学生掌握行列式的定义 教 学 要 求 要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称 教 学 重 点 一般行列式的定义、行与列的地位是对称的 教 学 难 点 行列式的定义 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等
8、教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 一、级行列式的概念 在给出级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有 (1) (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的
9、列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 (3) 其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号. 定义4 级行列式 (4) 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 (5) 的代数和，这里是的一个排
10、列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 (6) 这里表示对所有级排列求和. 定义表明，为了计算级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，级行列式是由项组成的. 例1 计算行列式 . 例2 计算上三角形行列式 .
11、 (7) . (8) 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积. 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以
12、任意写的，一般地，级行列式中的项可以写成 , （11） 其中是两个级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 (12) 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 . (15) 由此即得行列式的下列性质： 性质1 行列互换，行列式不变.即 . (16) 性质1表明，在行列式中行与
13、列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §4 n级行列式的性质 授课 时数 教 学 目 的 通过本节学习，使学生能熟练掌握行列式性质的应用 教 学 要 求 要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用 教 学 重 点 行列式的性质及其应用 教 学 难 点 行列式性质的应用 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代
14、数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中个元素(譬如)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之，级行列式的项可以分成组，第一组的项都含有，第二组的项都
15、含有等等.再分别把行的元素提出来，就有 (1) 其中代表那些含有的项在提出公因子之后的代数和(至于究竟是哪一些项的和暂且不管，到§6 再来讨论).从以上讨论可以知道，中不再含有第行的元素，也就是全与行列式中第行的元素无关.由此即得. 性质2 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式. 令，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 性质3 . 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于
16、两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 例1 计算级行列式 例2 计算行列式 . 由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算. 例3 一个级行列式，假设它的元素满足 ,
17、 (4) 证明，当为奇数时，此行列式为零. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §5行列式的计算 授课 时数 教 学 目 的 通过本节学习，使学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用 教 学 要 求 通过本节学习，要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用 教 学 重 点 矩阵的初等变换、行列式计算 教 学 难 点 行列式的计算 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题
18、 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 在§3我们看到，一个上三角形行列式 就等于它主对角线上元素的乘积 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的级行列式化为上三角形行列式来计算. 定义5 由个数排成的行(横的) 列(纵的)的表 (1) 称为一个矩阵. 数
19、称为矩阵(1)的元素，称为元素的行指标，称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵. 矩阵也称为级方阵.一个级方阵 定义一个级行列式 称为矩阵的行列式，记作. 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 定义6 所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的倍加到另一行，这里是中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵经过初等行变换变成矩阵时，我们写成
20、 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个级行列式可看成是由一个级方阵决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵.由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算 不难算出，用
21、这个方法计算一个级的数字行列式只需要做次乘法和除法.特别当比较大的时候，这个方法的优越性就 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 1）以中一个非零的数乘矩阵的某一列； 2）把矩阵的某一列的倍加到另一列，这里是中任意一个数； 3) 互换矩阵中两列的位置. 为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变
22、换与初等列变换统称为初等变换. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §6行列式按一行(列)展开 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习,可以以使行列式的计算更简化 教 学 要 求 要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式 教 学 重 点 行列式按一行展开的性质、展开性质的应用 教 学 难 点 展开性质的应用 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：
23、《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 在§4看到，对于级行列式，有 . (1) 现在来研究这些,究竟是什么. 三级行列式可以通过二级行列式表示： . (2) 定义7 在行列式 中划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级行列式 (3) 称为元素的余子式，记作 下面证明 . (4) 为此先证明级行列式与级行列式的下面这个关系，
24、 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 . (5) 其次,在(1)中令即可得证 定义8 上面所谈到的称为元素的代数余子式. 这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如说，第行的元素，也就是 于是 右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理3 设 表示元素的代数余子式，则下列公式成立： 二、课时教学内容
25、 第 页 教 学 内 容 小结 (6) (7) 用连加号简写为 在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个级行列式的计算换成个()级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的. 例1 计算行列式 例2 行列式 (8) 称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的，级范德蒙德
26、行列式等于这个数的所有可能的差的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写为. 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 . 由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是这个数中至少有两个相等. 例3 证明 . 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §7 Cramer法则 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习，使学生会运用Gramer法则求线性方程组的解 教 学 要 求 通过本节的学习，要求学生会运用Gramer法则求线
27、性方程组的解 教 学 重 点 Gramer法则的应用 教 学 难 点 Gramer法则的应用 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形. 定理4
28、如果线性方程组 (1) 的系数矩阵 (2) 的行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 , (3) 其中是把矩阵中第列换成常数项所成的矩阵的行列式，即 (4) 定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1. 把代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法
29、则. 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 例1 解方程组 应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理5 如果齐次线性方程组
30、 (10) 的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有. 例2 求在什么条件下，方程组 有非零解. 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个个未知量个方程的线性方程组就要计算个级行列式，这个计算量是很大的. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §8 Laplace定理·行列式的乘法规则 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习，
31、使学生了解Laplace定理·行列式的乘法规则 教 学 要 求 通过本节的学习，要求学生了解Laplace定理·行列式的乘法规则 教 学 重 点 Laplace定理 教 学 难 点 Laplace定理 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学
32、 内 容 小结 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个级行列式中任意选定行列()，位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式.在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式. 从定义立刻看出，也是的余子式.所以和可以称为的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式： , 的余子式为 . 例2 在五级行列式 中 和 是一对互余的子式. 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 定义10
33、 设的级子式在中所在的行、列指标分别是，则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式. 因为与位于行列式中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式中任意取定了()个行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式. 例3 利用拉普拉斯定理计算行列式 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 定理7 两个级行列式 和 二、课时教学内容
34、 第 页 教 学 内 容 小结 的乘积等于一个级行列式 , 其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和： . 这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 第三章 线性方程组 §1消元法 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习，使学生掌握方程组的有解判别 教 学 要 求 通过本节的学习，要求学生掌握方程组的有解判别 教 学 重 点 方程组的初等变换、方程组的有解判别 教 学
35、 难 点 方程组的有解判别 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 (1) 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，
36、称为线性方程组的系数，称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方
37、程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性. 下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实
38、际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查的系数.如果的系数全为零，那么方程组(1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组(1)可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等 二、课时
39、教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 变换3，可以设.利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组(1)就变成 (3) 其中 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 (4) 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
40、 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 (5) 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 其中.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程，而.这时不管取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解. 当是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1
41、这时阶梯形方程组为 (6) 其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例1 解线性方程组 2）.这时阶梯形方程组为 其中.把它改写成 (7) 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而称为一组自由未知量. 例2 解线性方程组 从这个例子看
42、出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解. 定理1 在齐次线性方程组 中，如果，那么它必有非零解. 矩阵 (10)
43、 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解. 例3 解线性方程组 解：（略） 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §2 n维向量空间 授课 时数 教 学 目 的
44、 通过本节的学习，使学生理解n维向量概念、熟练掌握n维向量的运算。 教 学 要 求 通过本节的学习，要求学生理解n维向量概念、熟练掌握n维向量的运算。 教 学 重 点 n维向量概念、n维向量的运算 教 学 难 点 n维向量的运算 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 后 记 二、课时教学内容
45、 第 页 教 学 内 容 小结 定义2 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组 (1) 称为向量(1)的分量. 用小写希腊字母来代表向量. 定义3 如果维向量 的对应分量都相等，即 . 就称这两个向量是相等的，记作. 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义4 向量 称为向量 的和，记为 由定义立即推出： 交换律： . (2) 结合律： .
46、3) 定义5 分量全为零的向量 称为零向量，记为0;向量称为向量的负向量，记为. 显然对于所有的，都有 . (4) 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 . (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律. 定义6 定义7 设为数域中的数，向量
47、 称为向量与数的数量乘积，记为 由定义立即推出： , (6) , (7) , (8) . (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由
48、定义不难推出： , (10) , (11) . (12) 如果，那么 . (13) 定义8 以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域上的维向量空间. 在时
49、3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域上全体维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域上维向量空间. 向量通常是写成一行： . 二、课时教学内容 第 页 教 学 内 容 小结 有时也可以写成一列： . 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同. 一、章（节、目）授课计划 第 页 授课章节名称 §3线性相关性 授课 时数 教 学 目 的 通过本节的学习，使学生能熟练掌握线性相关性的判定、
50、极大线性无关组及向量组的秩。 教 学 要 求 通过本节的学习，要求学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 教 学 重 点 线性组合、向量组等价、线性相关(无关)等一些基本概念、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 教 学 难 点 求极大线性无关组及向量组的秩、论证向量组的等价。 教学 方法与手段 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社
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