中考数学选择填空压轴题专题复习三角形综合问题.doc

最新中考数学专题复习--三角形综合问题
例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

同类题型1.1 如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

同类题型1.2 如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（　　）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠1为定值时，∠CDE为定值
C．当∠2为定值时，∠CDE为定值 D．当∠3为定值时，∠CDE为定值

同类题型1.3 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．

例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④．其中正确的结论是________．

同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．

同类题型2.2 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．

例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；
③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则mn．其中正确的结论是 （　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　）
A． B． C． D．

同类题型3.2 如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则；②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．

同类题型3.3 如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为 （　　）
A． B． C． D．

例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为________．

同类题型4.1 如图，已知是△ABC的中线，过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，，则＝_________AC．

同类题型4.2 如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是，则的值是___________．

例5． 如图，△ABC的面积为S．点，，，…，是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且，连接，，，…，，连接NB，，，…，，线段与NB相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，…，线段与相交于点，则，，，…，的面积和是 ____________．（用含有S与n的式子表示）

同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是 （　　）
A．15 B．2 C．2.25 D．2.5

同类题型5.2 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于 （　　）
A．2 B． C． D．

同类题型5.3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________．

同类题型5.4 如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）

参考答案
例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；

②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．
选C．

同类题型1.1 如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：∵D是BC中点，N是AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，且AB；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，
∴M是AB的中点，
∴AB，
又∵AB，
∴EM＝DN，
∴结论①正确；

∵DN∥AB，
∴△CDN∽ABC，
∵AB，
∴，
∴S_(四边形ABDN)，
∴结论②正确；

如图1，连接MD、FN，

∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且AC；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴AC，
又∵AC，
∴DM＝FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD＝∠AND，
又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，
∴∠EMD＝∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE＝DF，
∴结论③正确；
如图2，连接MD，EF，NF，

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴M是AB的中点，EM⊥AB，
∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，
∴，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且AC；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，
又∵AC，
∴FA
∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，
∠EAF＝360°－∠EAM－∠FAN－∠BAC
＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD）
＝90°＋∠AMD
∴∠EMD＝∠EAF，
在△EMD和△∠EAF中，

∴△EMD∽△∠EAF，
∴∠MED＝∠AEF，
∵∠MED＋∠AED＝45°，
∴∠AED＋∠AEF＝45°，
即∠DEF＝45°，
又∵DE＝DF，
∴∠DFE＝45°，
∴∠EDF＝180°－45°－45°＝90°，
∴DE⊥DF，
∴结论④正确．
∴正确的结论有4个：①②③④．
选D．

同类题型1.2 如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（　　）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠1为定值时，∠CDE为定值
C．当∠2为定值时，∠CDE为定值
D．当∠3为定值时，∠CDE为定值

解：在△CDE中，由三角形的外角性质得，∠AED＝∠CDE＋∠C，
在△ABD中，由三角形的外角性质得，∠B＋∠1＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠B＋∠1＝∠CDE＋∠C＋∠CDE＝2∠CDE＋∠B，
∴∠1＝2∠CDE，
∴当∠1为定值时，∠CDE为定值．
选B．

同类题型1.3 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．

解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．

∵，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，
∴∠ECG＝60°．
∵CF＝BD＝2CE，
∴CG＝CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG＝CG＝FG，
∴∠CGE＝30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＋∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
设EC＝x，则BD＝CD＝2x，DE＝FE＝6－3x，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，
x，
∴x，
，
∴－3．

例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④．其中正确的结论是________．

解：①∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS）；故①正确；
②同理∠AED＝45°，∠BEC＝90°－∠BCE＝90°－15°＝75°，
∴∠DEC＝60°，
∵△ACD≌△ACE，
∴CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形．故②正确．
③∵△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°
∴EC＝2EH
∵∠ECB＝15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故③错误．
④∵AE＝AD，CE＝CD，
∴点A与C在DE的垂直平分线上，
∴AC是DE的垂直平分线，
即AC⊥DE，

∴CE＞CH，
∵CD＝CE，
∴CD＞CH，
∵∠BAC＝45°，
∴AH＝EH，
∵，
∴，故④错误．
答案为：①②．

同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．

解：∵，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而为等边三角形，＝60°，
∴＝30°，则O＝90°．
在中，，
同理得：，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．

同类题型2.2 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．

解：连接PP′，如图，

∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，
∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′＝PC＝6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB＝CA，∠ACB＝60°，
∴∠PCB＝∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB＝P′A＝10，
∵，
∴，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，
∴．

同类题型2.4
例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠A；
②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；
③EF是△ABC的中位线；
④设OD＝m，AE＋AF＝n，则mn．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠ABC，∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠A，
∴∠A；故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴EB＝EO，FO＝FC，
∴EF＝EO＋FO＝BE＋CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故②正确，
根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故③正确，
∴其中正确的结论是①②④

选D．
同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　）
A． B． C． D．

解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．

∵DC∥AB，
∴，
∴DF＝CB＝1，BF＝2＋2＝4，
∵FB是⊙A的直径，
∴∠FDB＝90°，
∴．
选B．

同类题型3.2 如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．

解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝4，，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，

∴AB是OC的垂直平分线，
则；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴AB＝2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，

∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以③不正确；
④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，

则：＝π，
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②．

同类题型3.3 如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）
A． B． C． D．

解：∵点O是△ABC的重心，
∴CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE＝BE＝AE，
∵∠B＝30°，
∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，
∴CE，
∴CE，即AE，
∵BE＝AE，
∴AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEM＝30°，
∴EF，
∴AE，
∴．
选D．

例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为________．

解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．

∵，
∴CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴，
∴CD，
∴CD．
∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK＝∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，
又∵∠DKM＝∠3（对顶角）
∴∠DMK＝∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN＝DG＝2FD．
∵点H为AC中点，AC＝4CM，
∴．
∵MN∥AD，
∴，即，
∴．

同类题型4.1 如图，已知是△ABC的中线，过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，，则＝_________AC．

解：∵∥AC，
∴＝∠BAC，＝∠BCA，
∴∽△BAC，
∴．
∵是△ABC的中线，
∴．
∵∥AC，
∴，，
∴，
∴．
∵∥AC，
∴，
∴AC．
同理：AC．
∴．

同类题型4.2 如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是，则的值是___________．

解：过点H作HG⊥AC于点G，

∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，
∴AC＝CF＝2，
∵AF，
∴，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴，
∴AH＝1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴，
∵△AMH的面积为：，
∴AH﹒m
∴，
∴，
设△AHC的面积为S，
∴＝3，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理可知：，
∴
∴．

例5． 如图，△ABC的面积为S．点，，，…，是边BC的n等分点（n≥3且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且，连接，，，…，，连接NB，，，…，，线段与NB相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，…，线段与相交于点，则，，，…，的面积和是 ____________．（用含有S与n的式子表示）

解：连接MN，设BN交于，交于，交于．

∵，
∴MN∥BC，
∴，
∵点，，，…，是边BC的n等分点，
∴，
∴四边形B，四边形，四边形都是平行四边形，
易知﹒S，﹒S，﹒S，
∴﹒S，
∴﹒S－（n－1）﹒﹒S－S＝﹒S．

同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5

解：设AM＝x，

连接BM，MB′，
在Rt△ABM中，，
在Rt△MDB′中，，
∵MB＝MB′，
∴，
即，
解得x＝2，
即AM＝2，
故选B．

同类题型5.2 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）
A．2 B． C． D．

解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴＝5，

∵CD＝DB，
∴，
∵﹒AB﹒AC，
∴，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE使得垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵﹒BD﹒AH，
∴，
∴，
在Rt△BCE中，，
选D．

同类题型5.3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________．

解：①如图1，

当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴；
②如图2，当∠MB′C＝90°，

∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM＝B′M，
∴BM，
∵＋1，
∴＋1，
∴BM＝1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为或1．

同类题型5.4 如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）

解：延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝9，
∴直角三角形ABE中，，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G＝∠DEF
∴∠BEG＝∠G
∴
由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴
设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9＋2x＝BC
∵BG＝BC＋CG
∴＝9＋2x＋x
解得－3
∴＋3．

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