高等数学求导公式.doc

I.基本函数的导数
01.；
02.；
03.；
04.；
05.；
06.；
07.；
08.；
09.；
10.；
11.；
12.；
13.；
14.；
15.；
16.。

II.和、差、积、商的导数
01.；
02.；
03.；
04.。

III复合函数的导数
若，则

或 。

l 计算极限时常用的等价无穷小

l 两个重要极限:
l 若 ，则
l 罗尔定理：若在上连续，在内可导，且，则存在一，使。
l 拉格朗日中值定理：若在上连续，在内可导，则存在一，使得。
l 柯西中值定理：若、在上连续，在内可导，且则存在一，使得，则。
l 罗必达法则：若（1），（2）及在（或）处存在，且，（3）存在（或），则。
l 泰勒公式：
其中： ,。
l 马克劳林公式：
其中：,。
1.
2.
3.
4.
5.
6.
l 驻点：导数为零的点
拐点：，则称在上是凸的，
，则称在上是凹的，
若曲线在两旁改变凹凸性，则称为曲线的拐点。
l 凹凸性判断（充分条件）：设存在，若时，则曲线是为凸的，若时，则曲线是为凹的。
设曲线方程，具有二阶导数，则函数在的曲率为：（工程中，若时，）。
基本积分公式：

；

* *
* *
* *
* *
*

l 基本积分方法
1换元法：（1）设具有原函数，而可导，则有：；
（2）设在区间上单调可导，且，又设具有原函数，则有：。
2分布积分法：
3.有理函数积分：① ②
4.万能代换（三角函数的有理式的积分）：设，则，
，。
l 。
l 定积分中值定理： 。
l 定理：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数
在上具有导数，并且它的导数是

l 定积分换元公式： ，
。
l

l 定积分的分步积分：

l 弧长计算公式：① ;
② ，;
③，。

向量代数
l 定比分点公式：。
l 数量积： ， 。
。
l 向量积： 。
l 平面
Ø 平面的一般方程：（向量为平面法向量）。
Ø 平面点法式方程：。
Ø 平面的截距式方程：（为平面在三个坐标轴上的截距）。
Ø 两个平面的夹角：两个平面方程为：平面：，
平面：，则两平面的夹角的余弦为：
。
Ø 两平面平行的条件： 。
Ø 两平面垂直的条件： 。
Ø 点到平面的距离：平面：，平面外一点：，则点M到平面的距离：。
l 空间直线
Ø 两个平面的交线：。
Ø 点向式方程：直线上的一点，直线的一个向量，则直线方程为：，参数方程为：
Ø 两直线的夹角：，，则两直线的夹角余弦为：。
两直线平行：，
两直线垂直：，
Ø 两直线共面（平行或相交）：
两直线：，共面的条件：。
Ø 直线与平面的夹角
平面： ，直线：
①若直线与平面相交，夹角：；
②若直线与平面平行：；
③若直线与平面垂直：。

l 多元函数微积分
1.方向导数： （为轴到方向的转角）
2.梯度：
3.二元函数的极值：，，。令，，。①当时具有极值，且当时具有极大值，当具有极小值；②当时没有极值；③当时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。
3.二重积分的计算

4.曲面的面积计算：

平面薄片的重心：
平面薄片的转动惯量：
5.三重积分的计算：

l 曲线积分和曲面积分
1.对弧长的曲线积分：

2.对坐标的曲线积分：

3.对曲面的积分：

4.对坐标的曲面积分：

l 无穷级数
Ø 收敛级数的基本性质：
1.如果级数收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛，且其和为。
2.如果级数、分别收敛于和、，则级数也收敛，且其和为。
3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。
4.如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数仍收敛，且其和不变。
5.（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即。

Ø 常数项级数的审敛法：
定理1.正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。
定理2（比较审敛法）.设和都是正项级数，且。若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散。
推论1.设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数，使当时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立，则级数发散。
推论2. 设为正项级数，如果有，使，则级数收敛；如果，则级数发散。
定理3（比较审敛法的极限形式）. 设和都是正项级数，如果，则级数和级数同时收敛或同时发散。
定理4（比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert）判别法）.若正项级数的后项于前项之比值的极限等于：，则当时级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。
定理5（根值审敛法，柯西判别法）. 设为正项级数，如果它的一般项的次根的极限等于：，则当时级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。
定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数满足条件：（1），（2），则级数收敛，且其和，其余项的绝对值。
定理7.如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。
Ø 幂级数
定理1（阿贝尔（Abel）定理）.如果级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散。
推论：如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数存在，使得：当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当与时，幂级数可能收敛也可能发散。
定理2.如果，其中、是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
性质1. 设幂级数的收敛半径，则其和函数在区间内连续。如果幂级数在（或）也收敛，则和函数在（或）连续。
性质2.设幂级数的收敛半径，则其和函数在区间内是可导的，且有逐项求导公式，其中，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3.设幂级数的收敛半径，则其和函数在区间内是可积的，且有逐项积分公式,其中，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

l 欧拉公式：

l 傅立叶级数

Ø 函数展开成傅里叶级数 （是周期为的周期函数）

其中：
定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设是周期为的周期函数，如果它满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，
则的傅里叶级数收敛，并且：
当是的连续点时，级数收敛于；
当是的间断点时，级数收敛于。
定理. 设是周期为的函数，在一个周期上可积，则
（1）当为奇函数时，它的傅里叶系数为：

（2）当为偶函数时，它的傅里叶系数为：
Ø 周期为的周期函数的傅里叶级数
定理：设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为：
其中系数为：
当为奇函数时，
其中系数为：
当为偶函数时，
其中系数为：

l 微分方程：
Ø 齐次方程：

Ø