椭圆知识点归纳总结和经典例题.doc

椭圆典型例题

例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．
解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．
又，所以，适合．故．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．
当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．
例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．
（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，
故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．
例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．
解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·．①
由椭圆定义知： ②，则得 ．
故 ．

例6 已知椭圆
（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．
由题意知，则上式两端同除以，有，
将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
（2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

例7 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，
即．，解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得 ：．解得．方程为．

．

例8　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得
即所以，．故所求的椭圆方程为．

例9已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

分析：可以利用弦长公式求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．
由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而．

(法2)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．
再根据焦半径，，从而求出．

例10 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．
利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．
解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．
∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得
　　①。
∴．于是，，
即点的坐标为．
∵点在直线上，∴．解得．　②
将式②代入式①得　　③
∵，是椭圆上的两点，∴．解得．
(法2)同解法1得出，∴，
，即点坐标为．
∵，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得．
(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．
∵，在椭圆上，∴，．两式相减得，
即．∴．
又∵直线，∴，∴，即　①。
又点在直线上，∴　　②。由①，②得点的坐标为．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．
(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．
例11已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得
　①
设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴
∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．
方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，．
又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，
即．∴．∴直线方程为．

8 / 8