极坐标与参数方程专题复习.docx

坐标系与参数方程
一、考试大纲解析：
1.坐标系
（1）理解坐标系的作用；
（2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；
（3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；
（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；

2.参数方程
（1）了解参数方程和参数方程的意义；
（2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程；
（3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；

二、题型分布：
极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。

三、知识点回顾
坐标系
1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.

4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6．直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
对应图形如下：

7．圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
对应图形如下：

参数方程
1．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．常见曲线的参数方程如下：
（1）过定点（x0，y0），倾角为α的直线：
　　（t为参数）
其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

（2）中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
　　（为参数）

（3）中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：
　　　　（为参数）　　（或　）
（4）顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
　　（t为参数，p＞0）

四、直击考点：
考点一：坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化
极坐标与直角坐标的互化：

参数方程与标准方程的互化：

标准方程化为参数方程：熟记常见曲线的参数方程即可。

参数方程转化为标准方程：牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。（）

例题：
1把方程化为以参数的参数方程是（ ）．
A． B． C． D．
解答：D
，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制．

2.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）．
A． B． C． D．
解答：D

3.参数方程的普通方程为．
解答： ．
4.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数2）为参数，为常数．
解：（1）当时，，即；
当时，，
而，
即；
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，
即，得，
即．
实践练习：
1.直线(t为参数)的倾斜角是
A．
B．
C．
D．
2.方程（t为非零常数，为参数）表示的曲线是 ( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
3.把弹道曲线的参数方程
化成普通方程．

考点二：最值为题
通过题意得到参数方程，一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值

例题
1．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．

解析：C
椭圆为，设，

2．已知中，(为变数)，
求面积的最大值．
解：设点的坐标为，则，
即为以为圆心，以为半径的圆．
∵，
∴，
且的方程为，
即，
则圆心到直线的距离为．
∴点到直线的最大距离为，
∴的最大值是．

实践练习：
1．在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大．

2．在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）．

3．A为椭上任意一点，B为圆上任意一点，求的最大值和
最小值。

考点三：其他综合问题
例题：
1．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么．
解析：
显然线段垂直于抛物线的对称轴，即轴，．

2．直线被圆截得的弦长为（ ）．
A． B． C． D．
解析：B ，把直线代入
得，
，弦长为．
3．已知直线过定点与圆：相交于、两点．
求：（1）若，求直线的方程；
（2）若点为弦的中点，求弦的方程．
解：（1）由圆的参数方程，
设直线的参数方程为①，
将参数方程①代入圆的方程
得，
∴△，
所以方程有两相异实数根、，
∴，
化简有，
解之或，
从而求出直线的方程为或．
（2）若为的中点，所以，
由（1）知，得，
故所求弦的方程为．
实践练习：
1．已知直线；l：与双曲线（2）22=1相交于A、B两点，P点坐标 P(-1，2)。求：
（1）的值； （2）弦长; 弦中点M与点P的距离。

2．坐标系及参数方程已知l经过点P(1,1)，倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积。

3．、已知A（2,0）,点在圆x22=4上移动，且有 求重心G的轨迹方程。

总结