杭州市萧山区2017年命题比赛试卷高中数学试卷.doc

试卷命题双向细目表
题序
考查内容
分值
难易程度
1
集合的关系与集合的运算
4
容易题
2
考查复数的几何意义
4
容易题
3
函数及充要条件的判断
4
容易题
4
线性规划
4
中档题
5
点线面位置关系
4
中档题
6
三视图，能画出直观图，求几何体的体积
4
中档题
7
双曲线定义和离心率
4
中档题
8
函数的单调性和对称性问题
4
中等偏难题
9
函数与方程、函数的零点
4
较难题
10
几何中翻折问题
4
较难题
11
解三角形
6
容易题
12
等比数列的通项与求和
6
容易题
13
基本不等式的应用
6
中档题
14
期望，概率
6
中档题
15
圆几何性质
4
中档题
16
平面向量的基本定理问题
4
较难题
17
空间位置和轨迹
4
较难题
18
三角函数的性质
14
容易题
19
空间中线线、线面垂直的判断及用向量、几何法求线面角
14
中档题
20
圆锥曲线的方程与函数的最值
14
中等偏难题
21
用导数解决函数的单调性及导数的应用
15
较难题
22
数列与不等式证明，放缩法
15
较难题
说明：题型及考点分布按照《2017考试说明》参考样卷。

说明：题型及考点分布按照《2017考试说明》参考样卷。

2017年高考模拟试卷 数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共40分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
其中表示球的半径 棱台的体积公式
棱锥的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 表示棱台的高

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1、(原创) 已知集合，，若，则的值为 ( )
. . . 或 . 或
（命题意图：考查集合的关系与集合的运算，属容易题）
2、(原创) 复数对应的点落在
A．第一象限 （B）第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（命题意图：考查复数的几何意义，属容易题）
3、(原创) 是不等式成立的一个充分不必要条件,则实数的范围是( )

（命题意图：考查函数及充要条件的判断，属容易题）
4、(原创) 已知实数，满足，若的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（命题意图：考查线性规划，属中档题）
5、（原创）已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是
A．若，则必有 B．若，则必有
C．若，则必有 D．若，则必有
（命题意图：考查点线面位置关系，属中档题）
6、（改编 根据2106学军第四次月考）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ）
A.外接球的半径为 B.体积为
C.表面积为 D.外接球的表面积为
(命题意图：考查三视图，能画出直观图，求几何体的体积，属中档题）

7、 （引用2015福建市第二高级中学模拟）已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（ ）
（第7题）
(A)． (B)．2 (C)． (D)．

（命题意图：考查双曲线定义和离心率，属中档题）

8、（改编2016广东名校联合体模拟考） 已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点（1,0）对称，若对任意的，，等式恒成立，则的取值范围是 （ ）
. .
. .
（命题意图：考查函数的单调性和对称性问题，属中等偏难题）
9、（引用四川省石室中学一模试卷）已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）
（1）；（2）；
（3）；（4）。
A．3 B．2 C．1 D．0
（命题意图：考查函数与方程、函数的零点及不等式，属较难题）
10.过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 （ ）
A.2 B.2(3－) C. 4(2－) D. 4(3－2)
命题意图：考查几何中翻折问题，属较难题）

非选择题部分（共110分）
二、 填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分.
11、(原创) 在中，角分别对应边，为的面积.已知，，，则 ， .
（命题意图：考查三角函数化简求值，属容易题）
12、(原创) 已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列。则数列的通项公式为 ；则的表达式为______________。
（命题意图：考查等比数列的通项与求和，属容易题）
13、(原创) 已知，为正实数，且。则的最小值为 ； 则的最大值为 。
（命题意图：考查基本不等式的应用，属中档题）
14、(原创)袋中有5个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望是_____ __； （2）当时的概率是__ _____。
（命题意图：考查期望，概率，属中档题）
15、（引用黄冈中学模拟试卷）已知直线l的方程是，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是________ ．
（命题意图：考查圆几何性质，属中档题）

16、（引用杭州二中模拟）在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 .
（命题意图：考查平面向量的基本定理问题，属较难题）

17、(原创) 球O为边长为2的正方体的内切球，P为球O的球面上动点，M为中点，DP⊥BM，则点P的轨迹长度为
（命题意图：考查空间位置和轨迹，属较难题）

三、 解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18、(改编 2016年天津高考）（本题满分14分）已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性和最值.
（命题意图：考查三角函数的性质与解三角形，属容易题）

19 (改编2015年杭高模拟题)（本题满分14分）如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为.
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

（命题意图：考查空间中线线、线面垂直的判断及用向量、几何法求线面角，属中档题）
20、(改编广东省东湾中学2016届高三下学期开学调研考试)（本题满分14分）已知，是平面上的两个定点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于，两点，为坐标原点，设为的中点，求长度的取值范围.
（命题意图：考查圆锥曲线的方程与函数的最值，属中等偏难题）

21、(引用绍兴一模)（本小题满分15分）已知函数f (x)=lnx，g(x)=ex．
（1）若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；
（2）设直线l为函数 y＝f (x) 的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．注：e为自然对数的底数．
（命题意图：考查用导数解决函数的单调性及导数的应用 ，偏难题）

22．(引用2016学年第二学期浙江省名校协作体)（本小题满分15分）已知函数，
（Ⅰ）求方程的实数解；
（Ⅱ）如果数列满足，（），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．

2017年高考模拟试卷 数学卷答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）

11 _________ ___________ ____________ 12 _____________ _______________

13 ________________ ____________________ 14 _____________ _______________

15 __________________ 16 ______________________ 17 ______________________

三、解答题（共74分）

18. （14分）

19. （14分）

20. （14分）

21 （15分）

22 （15分）

2017年高考模拟试卷 数学卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
A
B
B
D
C
7
C

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）
11. ① .6 ②
12. ① ② 13. ① ②
14. ① ② 15.
16. 17.
三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分
7分
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减. …14分
19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证：取中点，连结.
易知：，，，
所以平面.
又因为平面，所以. ……6分

（Ⅱ）解：由三棱台结构特征可知，直线的延长线交于一点，记为，
易知，为等边三角形.
连结.
由（Ⅰ）可知为二面角的平面角，即.
因为，为中点，
所以平面，平面平面.
过点作于点，连结.
由平面平面，可知平面，
所以直线与平面所成角为.
易知，在中求得，
所以. …… 14分

20．（本题满分15分）
解：（1）由题意知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， ……2分
且，，，
∴动点的轨迹方程为 ……5分
（2）若直线斜率不存在，则直线方程为，

此时， ……6分
若直线斜率存在，设直线方程为，，
联立，得：
∴ ……8分
∴∴…9分
∵直线与圆相切，∴，即……11分
∴
当时，
当时，， ……14分
当且仅当时，等号成立 ∴ ………15分
21．本小题满15分）
解：（1）
(2分)

的单调递增区间为(0,1)和(1,+) (4分)
（2）∵ ，∴，
∴ 切线的方程为,
即, 　　① （6分）
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴． （8分）
∴直线也为，
即， ② （9分）
由①②得 ，
∴． （11分）
下证：在区间（1，+）上存在且唯一.
由（1）可知，在区间上递增．
又，， (13分)
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．
故结论成立． （15分）

22.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）存在使得．
证法1：因为，当时，单调递减，所以．因为，所以由得且．下面用数学归纳法证明．
因为，所以当时结论成立．
假设当时结论成立，即．由于为上的减函数，所以，从而，
因此，
即．
综上所述，对一切，都成立，
即存在使得． ……10分
证法2：，且
是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
易知，所以当为奇数时，；当为偶数时，
即存在，使得.

（Ⅲ）证明：由（2），我们有，从而.
设，则由得.
由于，
因此n=1，2，3时，成立，左边不等式均成立．
当n>3时，有，
因此．
从而．即． ……15分
解法2: 由（Ⅱ）可知，所以
，所以
所以
所以当为偶数时，；所以当为奇数时，
即.(其他解法酌情给分)

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