相交线和平行线典型例题及拔高训练(附复习资料).doc

4.2　相交线和平行线　典型例题及强化训练
课标要求
①了解对顶角，知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质
⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
典型例题
1.判定与性质
例1 判断题：
1)不相交的两条直线叫做平行线。　　　　　　　　　　　(　　　)
2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。　　　　　　(　　　)
3)两直线平行，同旁内角相等。　　　　　　　　　　　　(　　　)
4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。　　　　　　(　　　)
答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。
(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。
例2 已知：如图，∥，求证：∠∠∠。
分析：可以考虑把∠变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线∥，则有∠∠1，再设法证明∠∠2，需证
∥，这可通过已知∥和∥得到。
证明：过点E作∥，则∠∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵∥（已知），
又∵∥（已作），
∴∥（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠∠1+∠2，
∴∠∠∠D（等量代换）。
变式1已知：如图6，∥，求证：∠360°-（∠∠D）。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠都是指小于平角的角，如果把∠看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E作∥，则∠∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∥（已知），
又∵∥（已作），
∴∥（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠∠1+∠∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠∠1+∠2，
∴∠∠∠360°（等量代换）。
∴∠360°-（∠∠D）（等式的性质）。
变式2已知：如图7，∥，求证：∠∠∠B。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E作∥，则∠∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵∥（已知），
又∵∥（已作），
∴∥（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵∠∠∠，
∴∠∠∠B（等量代换）。
变式3已知：如图8，∥，求证：∠∠∠D。
分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明：过点E作∥，则∠1+∠180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∥（已知），
又∵∥（已作），
∴∥（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠∠180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠1+∠2+∠180°。
∴∠1+∠2+∠（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。
∴∠2=∠∠D（等式的性质）。
即∠∠∠D。
例3 已知：如图9，∥，∠∠。求证：∠∠。
证法一：过F点作∥ ，则∠∠1（两直线平行，内错角相等）。
过E点作∥ ，则∠∠4（两直线平行，内错角相等）。
∵∥（已作），∥（已知），
∴∥（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又∵∥ （已知），
∴∥（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠∠。
证法二：如图10，延长、相交于G点。
∵∥（已知），
∴∠1=∠（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠∠（已知），
∴∠1=∠（等量代换）。
∴∥（同位角相等，两直线平行）。
∴∠∠（两直线平行，内错角相等）。
如果延长、相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。
证法三：（如图12）连结。
∵∥已知），
∴∠∠（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠∠（已知），
∴∠∠ =∠∠（等式的性质）。
即∠∠。
∴∥（内错角相等，两直线平行）。
∴∠∠（两直线平行，内错角相等）。

强化训练
一.填空
1.完成下列推理过程
①∵∠3= ∠4（已知），
∥（ ）
②∵∠5= ∠（已知），
∴∥（ ）
③∵∠ + =180°（ 已知 ），
∴∥（ ）
2. 如图,已知∥是∠的平分线，∠＝109°，
　∠＝50°则∠A 度，∠＝ 度。
3. 如图，∥分别平分∠，∠,
则∠＋∠ 。
4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则 。
5、已知：如图，直线和相交于O，平分∠，
且∠68°，则∠
二.选择题
1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
A 南偏西50度方向； B南偏西40度方向 ；
C 北偏东50度方向 ； D北偏东40度方向
2.如图∥∥，∥, 则图中与∠1相等的角共有( )个
A 6个 B .5个 C .4个 D.2个
3、同一平面内的四条直线若满足a⊥⊥⊥d,则下列式子成立的是（ ）
A、 a∥d B 、b⊥d C、a⊥d D、b∥c
4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )
A. 50° B. 60° C.70° D.80°
5.已知：∥，且∠20°，∠30°,
则∠的度数是 ( )　
A. 160° B.150° C.70° D.50°
6（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（ ）
（A）∠1＝∠3 （B）∠2＝∠3
（C）∠4＝∠5 （D）∠2＋∠4＝180°
7.（ 北京市海淀区2003年）. 如图，直线c与直线a、b相交，且，则下列结论：(1)；(2)；(3)中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（　　）
A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相等；
C、两直线平行，内错角相等；　　　 D、两直线平行，同旁内角相等。
9.（2003年安徽省）如图，∥，⊥，图中与∠互余的角有……（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

C
A
B
E
D

10.( 日照市2004年)如图，已知直线∥，当点E直线与之间时，有∠＝∠＋∠成立；而当点E在直线与之外时，下列关系式成立的是 （　　）
A　∠＝∠＋∠或∠＝∠－∠;
B　∠＝∠－∠
C　∠＝∠－∠或∠＝∠－∠;
D　∠＝∠－∠

三.解下列各题：
1.如图，已知⊥，⊥，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。
2、已知∥，∠ ∠C，求证：∥。
第3题
第1题
第2题

3.如图∥,求∠＋∠＋∠＋∠的度数.
4.已知,如图⊥⊥⊥, ∠与∠互补, 求证：⊥.
3
2
1
F
D
E
A
B
C
G
第4题
第5题
第6题

5.如图，已知∥，∠135°,∠80°，求∠的度数。
6.已知：如图，⊥于D，⊥于G， .求证：平分∠。
四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。

相交线与平行线
2. 1略；121°，84°；3. 90°；410；5。56°
二.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
A
D
B
D
C
B
C
三.1.解：∵⊥，⊥
∴∠1+∠2 =90°，∠3+∠2 =90°
∴∠1=∠3=26°
∴∠2=64°
2证明：∵∥，
∴∠∠180°
∵∠ ∠C，
∴∠∠180°
∴∥.
2. 解：连结.
∵∥
∴∠∠180°
∵∠∠∠∠F =360°
∴∠∠180°
∴∠＋∠＋∠＋∠540°
4. 证明：∵⊥，⊥
∴∥，
∴∠∠180°
∵∠与∠互补,
∴∠ = ∠，
∴∥
∴∠∠
∵∠90°
∴∠90°
∴⊥.
5.解：延长交 于F.
由∠135°易得∠45°,
又∠80°，得∠35°
6. 证明：∵⊥于D，⊥于G
∴∥，
∴∠2=∠3, ∠1=∠E,
∵
∴∠E = ∠3，
∴∠1 = ∠2，
∴平分∠。
四.略