立体几何专题有答案.doc

立体几何答案
翰林学校 宗克志
26.【2012高考辽宁理18】(本小题满分12分)
如图，直三棱柱，，
点M，N分别为和的中点。
(Ⅰ)证明：∥平面;
(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。
【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题.
【解析】（1）连结，由已知
三棱柱为直三棱柱，
所以为中点.又因为为中点
所以，又平面
平面，因此 ……6分
（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示
设则，
于是，
所以，设是平面的法向量，
由得，可取
设是平面的法向量，
由得，可取
因为为直二面角，所以，解得……12分
【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。
27.【2012高考湖北理19】（本小题满分12分）
如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．
（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在
棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

D

A
B
C
A
C
D
B
图2
图1
M
E
.
·

第19题图
【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如图2），，，且，
所以平面．又，所以．于是

，
当且仅当，即时，等号成立，
故当，即时, 三棱锥的体积最大．
解法2：
同解法1，得．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时, 三棱锥的体积最大．
（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．
由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
于是可得，，，，，，
且．
设，则. 因为等价于，即
，故，.
所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
设平面的一个法向量为，由 及，
得 可取．
设与平面所成角的大小为，则由，，可得
，即．
C
A
D
B
图a
E
M
x
y
z
图b
C
A
D
B
E
F
M
N
图c
B
D
P
C
F
N
E
B
G
M
N
E
H
图d
第19题解答图
N

故与平面所成角的大小为

解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
如图b，取的中点，连结，，，则∥.
由（Ⅰ）知平面，所以平面.
如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，
所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，
所以. 因为平面，又面，所以.
又，所以面. 又面，所以.
因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.
即当（即是的靠近点的一个四等分点），．
连接，，由计算得，
所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取的中点，连接，，
则平面．在平面中，过点作于，
则平面．故是与平面所成的角．
在△中，易得，所以△是正三角形，
故，即与平面所成角的大小为
31.【2012高考福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长

【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.
解答：
（Ⅰ）长方体中，
得：面
面
（Ⅱ）取的中点为，中点为，连接
在中，面
此时
（Ⅲ）设，连接，过点作于点，连接
面，
得：是二面角的平面角
在中，
在矩形中，

得：
32.【2012高考北京理16】（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

【答案】解：（1），
平面，
又平面，

又，
平面。
（2）如图建系，则，，，
∴,
设平面法向量为
则 ∴ ∴
∴
又∵
∴
∴，
∴与平面所成角的大小。
（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则，
设平面法向量为，
则 ∴
∴。
假设平面与平面垂直，
则，∴，，，
∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。
33.【2012高考浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
【答案】(Ⅰ)如图连接BD．
∵MN分别为PB，PD的中点，
∴在PBD中，MN∥BD．
又MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)如图建系：
A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，
N(，0，0)，C(，3，0)．
设Q(x，y，z)，则．
∵，∴．
由，得：．
即：．
对于平面AMN：设其法向量为．
∵．
则．
∴．
同理对于平面AMN得其法向量为．
记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，
则．
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．
35.【2012高考江西理19】（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
解：（1）证明：连接AO，在中，作于点E，因为，得,
B
y
O
C
A
E
z
A11
B1
C1
x
因为平面ABC，所以,因为,
得,所以平面,所以,
所以平面,
又,
得
(2)如图所示，分别以所在的直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)
由（1）可知得点E的坐标为，由（1）可知平面的法向量是，设平面的法向量，
由，得，令，得，即
所以
即平面平面与平面BB1C1C夹角的余弦值是。
【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.
37.【2012高考上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，
底面，是的中点，已知，，，求
（1）三角形的面积；
A
B
C
D
P
E
x
y
z
（2）异面直线与所成的角的大小。

[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD. ……3分
因为PD=，CD=2，
所以三角形PCD的面积为. ……6分
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，
，. ……8分
设与的夹角为q，则
，q=.
A
B
C
D
P
E
F
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分
[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
BC与AE所成的角 ……8分
在中，由EF=、AF=、AE=2
知是等腰直角三角形，
所以∠AEF=.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
38.【2012高考全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.
【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。
解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。
（Ⅰ）证明：由得， 所以，，，所以，
。所以,，所以平面；
（Ⅱ） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。
所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为.
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
39.【2012高考山东理18】（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】
（Ⅰ）证明：因为四边形为等腰梯形，，，
所以 ．
又 ，
所以

因此 ，，
又 ，且，平面，
所以 平面．
（Ⅱ）解法一：
由（I）知，所以，又平面，
因此 两两垂直．以为坐标原点，分别以所在的直
线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，
，，，，
因此 ，．
设平面的一个法向量为，
则 ，，
所以 ，取，
则 ．
又平面的法向量可以取为，
所以 ，
所以二面角的余弦值为．
解法二：
取的中点，连结，由于，
所以．
又平面，平面，
所以．
由于，平面，
所以平面，故．
所以为二面角的平面角．
在等腰三角形中，由于，
因此，又，
所以，
故 ,
因此 二面角的余弦值为．
40.【2012高考湖南理18】（本小题满分12分
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
Ｅ是ＣＤ的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且.
由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以

于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.
41.【2012高考天津理17】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

【答案】（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系
则（lby lfx）

（2），设平面的法向量
则 取
是平面的法向量

得：二面角的正弦值为
（3）设；则，
即
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊
的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.

——16——