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燕尾定理

例题精讲

燕尾定理：

在三角形中，，，相交于同一点，
那么，

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题 证明燕尾定理：

如右图，是上任意一点，请你说明：

【解析】 三角形与三角形同高，分别以、为底，所以有；
三角形与三角形同高，；
三角形与三角形同高，，所以；

综上可得， .

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ．

【解析】 方法一：连接，
根据燕尾定理，，,
设份，则份，份，份，如图所标
所以
方法二：连接，由题目条件可得到，
，所以，
，
而．所以则四边形的面积等于．

【巩固】如图，已知，，三角形的面积是，求阴影部分面积.

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接，因为，，三角形的面积是30，
所以，．
根据燕尾定理，，,
所以，，
所以阴影部分面积是．
(法二)连接，由题目条件可得到，
，所以，
，
而．所以阴影部分的面积为．

【巩固】如图，三角形的面积是， 在上，点在上，且,，与 交于点．则四边形的面积等于 ．

【解析】 连接，
根据燕尾定理，，,
设份，则份,份，份，份，所以

【巩固】如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几？

【解析】 连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的

【巩固】(年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在中，，，与相交于点，若的面积为，则的面积等于 ．

【解析】 方法一：连接．
由于，，所以，．
由蝴蝶定理知，，
所以．
方法二：连接设份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以

【巩固】如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这部分的面积各是多少?

【解析】 连接，设份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以,,,

【巩固】如图，在上，在上，且,，与交于点．四边形的面积等于，则三角形的面积 ．

【解析】 连接,根据燕尾定理，，,
设份，则份，份，份， 份,份,如图所标,所以份,份
所以

【巩固】三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(阴影部分)的面积为多少？

【解析】 连接．
的面积为
根据燕尾定理，；
同理
设面积为1份，则的面积也是1份，所以的面积是份，而的面积就是份，也是4份，这样的面积为份，所以的面积为．

【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【解析】 设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.

【例 2】 如图所示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为____．

【解析】 连接,根据燕尾定理,,设,则其他图形面积，如图所标，所以.

【例 3】 是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，则四边形的面积是_________平方厘米．

【解析】 连接、，设份，根据燕尾定理得份，份，则份，份，所以

【例 4】 如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形 的面积是_____平方厘米．

【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米).

【例 5】 如图所示，在中，，是的中点，那么 ．

【解析】 连接．
由于，，所以，
根据燕尾定理，．

【巩固】在中，， ，求？

【解析】 连接．
因为，根据燕尾定理，，即；
又，所以．则，
所以．

【巩固】在中，， ，求？

【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接．
连接．

因为，根据燕尾定理，，即；
又，所以．则，
所以．

【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，，与相交于，若矩形的面积为，则与的面积之和为 ．

【解析】 (法1)如图，过做的平行线交于，则，
所以，，即，
所以．
且，故，则．
所以两三角形面积之和为．
(法2)如上右图，连接、．
根据燕尾定理，，，
而，
所以，，，，
则，，
所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】 如右图，三角形中，，，求．

【解析】 根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形中，，，求.

【解析】 根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以

【巩固】如图，,,则

【解析】 根据燕尾定理有,,所以

【巩固】如右图，三角形中，，，求.

【解析】 根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为______，三角形的面积为________，三角形的面积为______．

【分析】 连接、、．
由于，所以，故；
根据燕尾定理，，，所以
，则，；
那么；
同样分析可得，则，，所以，同样分析可得，
所以，．

【巩固】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．

【解析】 连接BG，份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI、CH得,,
所以
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的 倍．

【分析】 如图，连接．
根据燕尾定理，，，
所以，，
那么，．
同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．

【巩固】如图在中，,求的值．

【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,
所以
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【巩固】如图在中，,求的值．

【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,
所以

【巩固】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求角形 的面积．

【解析】 连接BG，12份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI、CH得,,
所以
三角形ABC的面积是,所以三角形GHI的面积是

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是，，，则阴影四边形的面积是多少？

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为，和交于，则，再连结．
所以三角形的面积为3.设三角形的面积为，
则，所以，四边形的面积为．
方法二：设，根据燕尾定理,得到，再根据向右下飞的燕子，有，解得四边形的面积为

【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．

【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
，解得.
方法二：回顾下燕尾定理，有，解得.

【例 10】 如图，三角形被分成个三角形，已知其中个三角形的面积，问三角形的面积是多少?

【解析】 设，由题意知根据燕尾定理,得
,所以，
再根据，列方程解得
,所以
所以三角形ABC的面积是

【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．

【解析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．
在中，根据燕尾定理，,,
所以
由于S，所以
在中，根据燕尾定理，
设(份)，则(份)，(份)，(份)，
所以,，因为,F为BC中点,
所以,,
所以(平方厘米)

【例 12】 如右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？

【解析】 连接、．
根据燕尾定理，，，所以；
再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．
根据题意，有，可得(平方厘米)

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，若的面积为1，那么四边形的面积是_________．

【解析】 由于点是边的中点，点、是边的三等分点，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形的面积．
连接、．
根据燕尾定理，，而，所以，那么，即．
那么，．
另解：得出后，可得，
则．

【例 13】 如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?

【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以
同理可得，,,而，所以，．
同理，,所以，,,

【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？

【解析】 连接、、．
根据燕尾定理，，，
所以，那么，．
类似分析可得．
又，，可得．
那么，．
根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．

【例 14】 如右图，面积为的中，，，，求阴影部分面积．

【解析】 设交于，交于，交于．连接，
．
∵，，
∵，，
∴ ∵ ∴，
∵ ∴ ．
同理 ∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵，
∴，
同理 ，∵，∴，
∴．
同理 个小阴影三角形的面积均为．
阴影部分面积．

【例 15】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.

【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求：在中，根据燕尾定理，
设(份)，则(份),(份),(份),
所以，所以,,
所以,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的
⑵求：在中，根据燕尾定理,
所以,同理
在中，根据燕尾定理,
所以
所以
同理另外两个五边形面积是面积的
所以

【例 16】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.

【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在中根据燕尾定理，,

所以,同理,
所以
同理
根据容斥原理，和上题结果

【例 17】 （年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形，，，，，的面积是平方厘米，，，，，，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

【解析】 （方法一）因为空白的面积等于面积的倍，所以关键求的面积，根据燕尾定理可得，但在用燕尾定理时，需要知道的长度比，连接,,过作的平行线，交于，根据沙漏模型得,再根据金字塔模型得,因此,在中，设份，则份,份，所以，
因此（平方厘米）
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成个大小形状相同的梯形，其中阴影有个梯形，所以阴影面积为（平方厘米）

【例 18】 已知四边形，为正方形，，与是两个正方形的边长，求

【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF，
根据燕尾定理：，
所以 ，作OM⊥AE、ON⊥EF，
∵AEEF
∴
∴
∴