高一上学期期末知识点总结.doc

高一数学主要知识点清单
必修一第一章《集合》
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N+)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集．
2．集合间的基本关系
(1)子集、真子集及其性质
子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则(或)．
真子集：若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，
性质：φ⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有个．
(2)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A=B.
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
补集：UA＝{x|x∈U且x∉A}．U为全集，CUA表示A相对于全集U的补集．
(2)集合的运算性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔；
②A∩A＝A，A∩Φ＝Φ；
③A∪A＝A，A∪Φ＝A；
④A∩CUA＝Φ，A∪CUA＝U，CU(CUA)＝A.（3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴
4．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对与集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．
5．函数的三种表示方法
(1)表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．
(2)关于函数的解析式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，
一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

.(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，
如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；
当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

(4)两个特殊的函数形式
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
注意： 如：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
复合函数 ：如果函数y=f(u) (u∈M),u=g(x) (x∈A),则函数y=f[g(x)]=F(x)（定义域为 ） 称为f、g的复合函数

（5）复合函数的单调性
   两个函数复合而成的复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。
注意：
函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.

6．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．
7．函数的单调性
(1)单调函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．
(2)单调区间的概念
如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫f(x)的单调区间．
8．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
9．偶函数、奇函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝—f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称．
10．判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
(1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶)性的必要非充分条件．
(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：
若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f (－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；
若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．
11．周期性
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

必修一第二章 基本初等函数回顾、总结、升华
1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)．
③n＝.④当n为奇数时，＝；⑤负数没有偶次方根．
当n为偶数时，＝ |a|＝.
2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂 负分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝②(ar)s＝③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r、s∈Q)
3．指数函数的图象与性质
指数函数
a＞1
0＜a＜1
图象

定义域
R
值域
.
性质
过定点(0,1).
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1.
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
4．对数的概念
(1)对数的定义如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a＞0且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e

5．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质①；②logaaN＝ N (a＞0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
①换底公式：(a，c均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
(3)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝；②loga＝；
③logaMn＝；④logamMn＝.

6．对数函数的图象与性质

a＞1
0＜a＜1
图象

性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0).
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1，y＜0
当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
7．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称．
8．幂函数的定义：一般地，形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
9．幂函数的图象：在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，，y＝，的图象分别如右图． 幂函数的九种图象

10．幂函数的性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R

{x|x∈R且x≠0}
值　域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减
x∈(－∞，0)，减
定点
(1,1)

第三章 函数的应用回顾、总结、升华
函数图象的作法
1．描点法作图 描点步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质：即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．函数图象的变换法
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向 上 (＋)或向下(－)平移单位而得到．
(2)对称变换
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
（3）周期变换
如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足
①f(x+T)＝f(x)，则函数周期为T；②，其中a是常数，则函数周期为；
(4)翻折变换
①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到y＝|f(x)|的图象；
②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．
(5)伸缩变换
①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的.
3．函数的零点
(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝ 0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
5．二分法求方程的近似解
(1)二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则
重复②③④.
6．三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质　　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
爆炸性增长
缓慢增长
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐表现为与_y轴_平行
随x增大逐渐表现为与_x轴__平行
随n值变化而不同

7．三种增长型函数之间增长速度的比较
在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有logax指数函数模型f(x)＝a·bx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(5)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(6) 幂函数模型f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．

必修四第一章《三角函数》

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
如：第一象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．
5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
6、弧度制与角度制的换算公式：，，．
7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
Pv
x
y
A
O
M
T
8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：，，．
11.同角三角函数间的关系（结合方程思想）
⑴ （ 切化弦，通常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以 ）
sin2+ cos2=1 （平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件！！）
（ 知一求二，在实际的计算中往往构造简单的直角三角形来计算，注意符号看象限）
（2）平方关系结合变形有：

（即和、差、积知一求二）
12、函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
，．，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心

对称轴
对称中心
无对称轴
14、将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；
15、函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．
②研究函数的性质方法：把当成整体借助正余弦函数，或运用五点法16.＞0，A＞0）的图象：
五点法作图：

0

0
1
0
－1
0

k
A＋k
k
－A+k
k

快速作图如：

17.解三角方程

18.解三角不等式

19.＞0，A＞0）的性质：
①性质：
单调性：令≤≤，得到增区间；
令≤≤，得到减区间。
对称性：令＝，得对称轴方程；
令＝，（）为对称中心。
②图像变换：
第一种方案：函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
第二种方案：函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
例如：得的图像。
20、正余型函数的奇偶性：
(1)是奇函数；(2)是偶函数；
(3)是奇函数；(4)是偶函数；
(5)是奇函数
21.常见三角不等式：
（1）若，则.
(2) 若，则. (3) .

必修四第二章《平面向量》
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：①交换律：；

②结合律：；③．
⑸坐标运算：设，，则．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
4、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
6、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
7、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是当时，点的坐标是．（当
8、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．
②当与同向时，；当与反向时，；
或．
③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，若．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
9、设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
⑴为的外心.
⑵为的重心.
⑶为的垂心.
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
10、“按向量平移”的几个结论
⑴点按向量a=平移后得到点.
⑵函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.

11、对于平面上任意一点，存在，使，则三点共线
12、在中，(1)是菱形；
(2)是矩形；
(3)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
13、夹角为锐角
14、夹角为钝角

数学重要的思想方法：
1．数形结合的思想

2.函数与方程的思想：函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题；

3.分类讨论的思想 在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论．
①涉及的数学概念是分类定义的；
②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
④由运算的限制条件引起的分类．
⑤由实际问题的实际意义引起的分类．
⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．
⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．
⑧由图形的不确定性引起分类

4．转化与化归的思想
在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力．