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中考数学压轴题集训
中考数学压轴题集训 （八个类型 ）
一．面积与动点
1．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．
∴a＝－································· 1分
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋
即y＝－x 2＋x＋．······················· 3分
（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点
∴xD＝－＝1，yD＝－×1 2＋×1＋＝．
∴点D的坐标为(1，)．
如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．
∴∠DAO＝60°······························· 4分
∵OM∥AD
①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．
∴OP＝6
∴t＝6（s）························ 5分
②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．
过点O作OE⊥AD轴于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）
∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s）································ 6分
③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．
∴t＝4（s）
综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
······································ 7分
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
过点P作PF⊥x轴于F，

则PF＝t．······························· 8分
∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ
＝×6×－×(6－2t)×t
＝(t－)2＋··························· 9分
∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．················ 10分
此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．
∴PQ＝＝＝················· 12分
二．几何图形与变换
2．（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，
垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【解析】
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），将A．B点坐标代入得出：，
解得：，
故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y=-x2+x．
（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x轴于点D，
如图1．
在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．
∴OQ=PQ=t．
∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t2（0＜t≤2）；
②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，

作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2．
∴S=S梯形AOPE=（AE+OP）•AD=（t-2+t）×1=t-1（2＜t≤3）；
③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，
重叠部分为五边形AOCFE，如图3．
∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t-3．
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形

∴BE=BF=1-（t-3）=4-t
∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF=（2+3）×1-（4-t）2=-t2+4t-（3＜t＜4）；
（4）存在，t1=1，t2=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时，=-×（t+）2+×（t+），
解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=-t2+t，
解得：t=1．

三．相似
3．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】
（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）
∴y=a（x-4）2+k，=16a+k①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=，k=-
∴二次函数的解析式为：y=（x-4）2-
（2）∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴点P的坐标为（4，）
（3）由（1）知点C（4，），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°
∴QN=3，BN=3，ON=10，
此时点Q（10，），
如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是（4，），
经检验，点（10，）与（-2，）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，）或（-2，）或（4，）．

四.等腰，直角三角形
4．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

解：（1）由题意知，△POC，△PAD均为等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c（a≠0），
则，
∴，
∴过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y=x2-x+3．
（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，则∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，
∴∠OPC=∠ADP．
∴Rt△POC∽Rt△DAP．
∴即
∵y=x（4-x）
=-x2+x
=-（x-2）2+（0＜x＜4）
∴当x=2时，y有最大值．
（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当∠DPQ=90°时，由题意可知∠DPC=90°，且点C在抛物线上，
故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）
②当∠QDP=90°时，过点D作平行于PC的直线DQ，假设直线DQ交抛物线于另-点Q，
∵点P（3，0），C（0，3），
∴直线PC的方程为y=-x+3，将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合，
∴直线DQ的方程为y=-x+5．
由，
得或．
又点D（4，1），∴Q（-1，6），故该抛物线上存在两点Q（0，3），（-1，6）满足条件．

5．（广东省深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

【解析】
（1）设OA的长为x，则OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA•OB
∴22=x（5-x） …（1分）
解得：x1=1，x2=4，

∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4； …（2分）
∴点A、B、C的坐标分别是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得…（3分）
解得：a=，b=，c=2
所以这个二次函数的表达式为：…（4分）
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x-4）…（3分）
将C点的坐标代入得：a=
所以这个二次函数的表达式为：…（4分）
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：，，．
…1+1+（1分）
（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②如图1，连接OP，
S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD …（8分）
==m+n-2
==…（9分）
∴当m=时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S△CDP的最大值是． …（10分）
另【解析】
如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则
S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP …（8分）
==m+n-2
==…（9分）
∴当m=时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S△CDP的最大值是．
（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）

五、特殊四边形。
6．（内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+，（1分）
∵B（，）在抛物线上，
∴把B（，）代入y=ax2+
得a=．（3分）
∴抛物线解析式为y=x2+．（5分）

（2）∵点B（，），A（0，），
∴CB
∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA==2
∴AB==1
∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四边形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=，OC=1，
∴B'点的坐标为（1，）．（9分）
∵当x=1时，代入y=x2+得y=，
∴B'（1，）在抛物线上．（10分）

（3）存在．（11分）
理由是：设BA的解析式为y=kx+b，
∴
∴
∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，
∴设P（m，m+），F（m，m2+）
PF=（m+）-（m2+），AD=-=
如果PF=AD，则有
=（m+）-（m2+）=
解得m1=0（不符合题意舍去），m2=．
∴当m=时，PF=AD，
存在四边形ADFP是平行四边形．（13分）
当m=时，m+=，
∴P点的坐标是（，）．（14分）

六，线段和与差
7．（贵州省铜仁地区）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，边AB在x轴上，且AB＝6，D（0，9），以点C为顶点的抛物线经过A、B两点，直线l过点C，交y轴于点E（0，12）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点C沿直线l向上移动，当抛物线经过D点时，求抛物线的解析式和A、C两点间的抛物线弧扫过的面积；
（3）P是线段BD上的动点，连结CP，B，D两点到直线CP的距离之和是否存在最大值？若存在，请求出其最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（四川省眉山市）如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．

解：（1）∵直线y=x+1与y轴交于点A，
∴A（0，1），
∵y=x2+bx+c过（1，0）和（0，1），
则，
解得．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+1；
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1即E点的坐标（m，m2﹣m+1），
又∵点E在直线y=x+1上，
∴m2﹣m+1=m+1
解得m1=0（舍去），m2=4，
∴E的坐标为（4，3）．
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得=，即 =，
∴a=，
∴P1（，0）．
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，=，即 =，
∴EP2=，
∴DP2==，
∴a=﹣2=，

P2点坐标为（，0）．
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由 =得 =，
解得b1=3，b2=1，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．

七计算与说理。
9．（湖南省株洲市）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．

【解析】
∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1；
过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是x，x2-2x+1），
则QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴，
∴，
∴EC=2（x-1）．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴，
∴，
∴，
∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=[4+2（x-1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8．
故答案为：8．
八平行于垂直
10.(浙江省绍兴市)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（1） 连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．

解：（1），．
（2）当时，过点作，交于，如图1，

则，，
，．
（3）①能与平行．
若，如图2，则，
即，，而，
．
②不能与垂直．
若，延长交于，如图3，
则
．

．
又，，
，
，而，
不存在．

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