东北农业大学(2014版)离散数学网上作业题及答案.doc

东北农业大学网络教育学院
离散数学复习题
复习题一
一、证明
1、对任意两个集合，证明
答：证明：
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
答：符号化为：
证明：(1) P
(2) T(1)I
(3) T(1)I
(4) P
(5) T(2)(4)I
(6) P
(7) T(3)(6)I
(8) T(5)(7)I

二 、计算
1、(1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
(2)画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图
(3)画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图
答：三种图如下：

2、设，求公式：
的真值。
答：
3、 一棵树有个结点度数为2 ，个结点度数为3，… ，个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。
答：设它有个度数为1的结点，则：
1*＋2*＋3*＋… ＋k*=2*（+++…+-1）
得：=＋2*＋… ＋(k-2)*+2

4、设集合上的关系 ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。
答：

三、设上的整除关系，
是否为上的偏序关系？若是，
则：1、画出的哈斯图；
答：是上的偏序关系。
的哈斯图：

2、 求。
答：。
四、用推导法求公式的主析取范式和主合取范式。
答：

五、设实数集上的关系，
证明：是上的等价关系。
答：证明：
因此是自反的

因此是对称的

因此是传递的。综上：是上的等价关系。
六、设分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数为，证明的同构映射。
答：证明：

因此。
，所以的同构映射。
七、设是实数集合，，在上定义二元运算为：，试证明是一个群。是否阿贝尔群？
答：证明：
因此，运算是封闭的

综上：是一个群。

不是阿贝尔群。
复习题二
一、设 上的整除关系

完成下列各小题。
1、 证明是上的偏序关系。
答：证明 。

综上，是上的偏序关系。

2、 画出偏序集的哈斯图。
答：偏序集的哈斯图如右图所示。

3、 在上定义两个二元运算和：对任意，，。请填空（在横线上填是或不是）：
①代数系统 是 格。 ②代数系统 是 有界格。
③代数系统 是 有补格。 ④代数系统 不是 分配格。
二、求布尔函数的析取范式和合取范式
设是布尔代数上的一个布尔表达式。试写出的析取范式和合取范式（用推导法或列函数表的方法均可）。
答：方法1 推导法
析取范式为：

合取范式为：

方法2 列函数表法
布尔表达式对应的函数表为：

<0,0,0>
<0,0,1>
<0,1,0>
<0,1,1>
<1,0,0>
<1,0,1>
<1,1,0>
<1,1,1>
0
1
0
1
0
1
1
1

析取范式为：
合取范式为：

三、画出满足下列要求的图
①有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。
②有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。
③没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。
④既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。

四、证明在完全二叉树中，边的总数等于2(n-1)，这里n是叶子数。
答：证明 设分枝点数为i。因为在完全m叉树中，有(m-1)i=n-1，所以，当m=2时有i=n-1。又因为在完全二叉树中，每个分枝点射出两条边，所以边的总数是2i，即边的总数是2(n-1)。
五、计算
求带权2、3、5、7、11、13的最优二叉树。
答：解 2 3 5 7 11 13 所求最优二叉树为
5 5 7 11 13
10 7 11 13
17 11 13
17 24
41

六、证明
在一个连通平面图中，若它有n个结点，m条边，且每个面由k条边围成。
试证

答：在一个连通平面图中，若它有n个结点，m条边，且每个面由k条边围成。
试证

证明 设此平面图有r个面。
又
，从而有。将其代入欧拉公式
得 整理得

七、证明
设是有限字母表，给定代数系统，其中是串的连接运算。对于任一串，建立到的映射，证明是到的一个满同态，且当时，是同构映射。
答：证明 对于中任意两字符串和，因为，所以

，对于任一正整数，取，则，所以，，是到的一个满同态。
当时，设，，，是双射，因此，是一个同构映射。

八、应用
给定有限状态机，它的状态图如附图所示。
1、 求状态的011010的后继以及可接受状态序列。
答：因为
所以状态的011010的后继状态是，可接受状态序列是。
2、 求对于激励010110的响应。
答：对于激励010110的响应是。
3、 构造一台与相似的转换赋值机，画出的状态图。
答：与相似的转换赋值机，其中：
的状态图为：

九、证明
考察一个8，4）码C，它的校验位a5，a6，a7，a8满足下列方程
a5=a1+ a2+ a4
a6=a1+ a3+ a4
a7=a1+ a2+ a3
a8=a2+ a3+ a4
其中a1，a2，a3，a4为信息位。
求出这个码的一致校验矩阵。证明。
答：证明 一致校验矩阵为：

矩阵中无零列向量，且任意两个、三个列向量之和不等于零向量。而第一、二、六、八列向量之和为零向量，所以，

复习题三
一、设集合

完成下列各小题。
1求的幂集。
答：
2证明是偏序集。
答：

综上，是偏序集。

3画出偏序集的哈斯图。
答：偏序集的哈斯图如图1。

4在上定义两个二元运算和：对任意，，。请填空（在横线上填是或不是并回答为什么）：
①代数系统 是 格，因为 中任意两个元素都有最小上界和最大下界。 。
②代数系统 是 有界格，因为 有全上界，为；有全下界，为。 。
③代数系统 是 有补格，因为 是有界格且中每一元素都有补元素。 。
④代数系统 是 分配格，因为 对于任意，有

成立。
⑤代数系统 是 布尔代数，因为 是有补分配格，即是布尔格，是由布尔格诱导的代数系统。
二、计算
设是布尔代数上的一个布尔表达式。试写出的析取范式和合取范式（用列函数表的方法）。
答：解
布尔表达式对应的函数表为：

<0,0,0>
<0,0,1>
<0,1,0>
<0,1,1>
<1,0,0>
<1,0,1>
<1,1,0>
<1,1,1>
0
1
0
1
0
1
1
1

析取范式为：
合取范式为：

三、回答问题
完全图是否是欧拉图？是否是哈密尔顿图？为什么？
答：解 因为欧拉图和哈密尔顿图分别要求有欧拉回路和哈密尔顿回路，所以要求。
完全图的每个结点的度数为n-1，而当一个图的所有结点度数均为偶数时，该图为欧拉图，所以当n-1为偶数，即n（）为奇数时是欧拉图。
的任意两个结点的度数和为，当时，有，此时是哈密尔顿图。

四、画图
对于下图，利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。

答：最小生成树为

五、计算
一棵树有两个结点度数为2 ，1个结点度数为3，3个结点度数为4 ，其余结点度数为1。问该树有几个度数为1的结点。
答：解 该树有n个度数为1的结点。则有

解之，得n=9
答：该树有9个度数为1的结点。

六、证明
是无向简单图，其中，证明：。
证明 因为是简单图，所以图中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故。
答：证明 因为是简单图，所以图中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故

七、证明
已知

求证
答：证明 （用生成式（1））
（用生成式（2））
（用生成式（3））
（用生成式（4））
（用生成式（5））
（用生成式（6））
（用生成式（7））

八、设计
设计一台有限状态机，它的输出是已经输入符号数的模3数（即设计模3计数器）。
答：解
其中

状态图为：

九、计算
给定码C={00000,10001,01100,10101}，求码C中任两个码字的海明距和。
答：
解 H(00000,10001)=2,H(00000,01100)=2,H(00000,10101)=3,
H(10001,01100)=4,H(10001,10101)=1,H(01100,10101)=3

复习题四
一、填空
1、设A和B为有限集，|A|=m，|B|=n，则有 个从A到B的关系，有 个从A到B的函数，其中当m£n时有 个入射，当m=n时，有 个双射。
2、集合 是 （是/不是）可数的。

二、计算
1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：
答：

2设上二元关系，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。
答：自反闭包
对称闭包
传递闭包
三、证明
1、设是三个集合，证明：
答：
2证明等价式：
答：

四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：
已知张三或李四的彩票中奖了；如果张三的彩票中奖了，那么你是知道的；如果李四的彩票中奖了，那么王五的彩票也中奖了；现在你不知道张三的彩票中奖。所以李四和王五的彩票都中奖了。
答：P：张三的彩票中奖了。Q：李四的彩票中奖了。
R：你知道张三的彩票中奖。S：王五的彩票中奖了。

证明：

五、 设复数集合，定义：当且仅当，证明：为等价关系。
答：证明：对于，有
因为，所以，故是自反的。
若，则，所以，故是对称的。
若，则，所以，故是传递的。
综上：为等价关系。

六、证明：若。
答：证明：因为，所以可作双射。
定义，对于
对，
设，
当时，由于是双射，所以，得；当时，由于是双射，所以，得。故是入射。
对，因为均为双射，所以使得，。故是满射。
综上，故是双射。有。

七、设集合，是普通乘法，证明：是一个群。
答：对设
，所以×封闭。
对设
，所以可结合。
，所以为幺元。
，所以。
综上：是群。

八、设实数集合R，+和x是普通加法和乘法，定义映射，，证明的单一同态。
答：因为对于有，所以的同态。
对于有，所以的入射。
故的单一同态。
复习题五
一、填空
1、实数集合R 是 （是/不是）可数的。
2、设A和B为有限集，|A|=m，|B|=n，则有 个从A到B的关系，有 个从A到B的函数，其中当m£n时有 个入射，当m=n时，有 个双射。

二、计算
1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：
答：

2设上二元关系，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。
答：自反闭包
对称闭包
传递闭包
三、证明
1、设是三个集合，证明：
答：
2证明等价式：
答：

四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：
已知今天下雨或刮风；如果今天下雨，那么我在家看书；如果今天刮风，那么我去放风筝；今天我没有在家看书。所以今天刮风并且我去放风筝了。
答：P：今天下雨。Q：今天刮风。
R：我在家看书。S：我去放风筝。

证明：

五、设正整数集合上的二元关系，证明：为等价关系。
答：证明：对于，有，所以，故是自反的。
若，则，得，所以，故是对称的。
若，，则，得，所以，故是传递的。
综上：为等价关系。

六、证明：若。
答：证明：因为，所以可作双射。
定义，对于
对，
设，
当时，由于是双射，所以，得；当时，由于是双射，所以，得。故是入射。
对，因为均为双射，所以使得，。故是满射。
综上，故是双射。有。

七、设集合，是普通乘法，证明：是一个群。
答：对设
，所以×封闭。
对设
，所以可结合。
，所以为幺元。
，所以。
综上：是群。

八、设正实数集合R+和实数集合R，+和x是普通加法和乘法，定义映射，，证明的同构。
答：因为对于有，所以的同态。
对于有，所以的入射。
对于使得，所以的满射。
故的同构。

复习题六
一、 求公式q∧(p∨┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。
答：解：q∧(p∨┐q) Ûq∧(p∨┐q) （合取范式）
Û ((p∧┐p)∨q)∧(p∨┐q)
Û (p∨q)∧(┐p∨q)∧(p∨┐q) （主合取范式）
Ûp∧q （析取范式、主析取范式）

二、用推理规则证明：
前提 ($x)(F(x)∧S(x))→"y)(M(y) →W(y))，($y)(M(y)∧┐W(y))
结论 ("x)(F(x)→┐S(x))
答：证：
(1) ($y)(M(y)∧┐W(y)) P
(2) M(c)∧┐W(c) ES(1)
(3) ┐(M(c)→W(c)) T(2)E
(4) ($y)┐(M(y)→W(y)) EG(3)
(5) ┐("y)(M(y)→W(y)) T(4)E
(6) ($x)(F(x)∧S(x))→("y)(M(y)→W(y)) P
(7) ┐($x)(F(x)∧S(x)) T(5)(6)I
(8) ("x)┐(F(x)∧S(x)) T(7)I
(9) ┐(F(u)∧S(u)) US(8)
(10) ┐F(u)∨┐S(u) T(9)E
(11) F(u)→┐S(u) T(10)E
(12) ("x)(F(x))→┐S(x)) UG(11)

三、计算题
1.证明逻辑等价式A→(A→B)ÛA→B成立。
答：.证：
证法1：
A
B
A→B
A→(A→B)
(A→(A→B)) « (A→B)
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
证法2：A→(A→B) Û┐A∨(┐A∨B)
Û (┐A∨┐A)∨B
Û┐A∨B
ÛA→B
证法3：先证A→(A→B) Þ A→B (a)
设a为任一指派，使a( A→B)=0，那么a(A)=1，a(B)=0，从而a( A→(A→B))=0。(a)得证；
再证A→BÞ A→(A→B) (b)
设a为任一指派，使a(A→(A→B))=0，那么a(A)=1，a(A→B)=0。(b)得证。

2. 对任意集合A，B，C，证明：（A - B）Å B = A È B
答：证：(A–B) Å B = (A Ç~B) Å B
= (A Ç~B – B) È (B – A Ç~ B)
= (A Ç ~B) È B
= (A È B) Ç (~B È B)
= A È B

3.设二元关系R={<{a},b>,, }求：
(1) dom R
(2) ran R
(3) RοR
答：解：
（1）dom R={{a},a,b}
（2）ran R={b,c}
（3）RοR={<{a},c>,}

4.求集合A={|p,q都是整数}的势。
答：解：
令f:A→B，使得f()=p/q，f为双射，所以A~B，
因为B={p/q},K[B]=0，故A的势为0。

5. 在20名青年中有10名是公司职员，12名是学生，其中5名既是职员又是学生，问有几名既不是职员，又不是学生。
答：
解：设职员和学生的集合分别是A和B。
由已知条件|A|=10，|B|=12，|A∩B|=5，
有|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=10+12-5=17，
则|~(A∪B)|=|E|-|A∪B|=20-17=3。
有3名青年既不是职员又不是学生。

四、假设给定了正整数的序偶集合A，在A上定义二元关系R如下：<,>ÎR,当且仅当xv=yu，证明R为等价关系。
答：证：设A上定义的二元关系R为：
<,>ÎRÛ=
(1)对任意的ÎA，因为=，所以<,>ÎR。即R是自反的。
(2)设任意的ÎA，ÎA，若
<,>ÎRÞ=Þ=Þ<,>ÎR。即R是对称的。
(3)设任意的ÎA，ÎA，ÎA,若
<>ÎR∧<,>ÎRÞ(=)∧(=)
Þ=Þ<,>ÎR。
即R是传递的。
因此R为A上的等价关系。

五、给出偏序集上偏序关系R的关系图（如下图所示）。

（1）求偏序集的哈斯图。
（2）指出A的最大、最小元（如果有的话），极大、极小元。
答：解：（1）偏序集的哈斯图为：

（2）A的最大元素为a，A的最小元素不存在；极大元为a，极小元为d，e。

六、设为群。若在G上定义二元运算о,使得对任何元素x，yÎG，有
xоy = y*x。
证明也是群
答：证：
（1）由于为群，故xоy=y*xÎG。因此，о运算在G 中封闭。又对任意 x,y,zÎG ，由于*运算可结合，从而(xоy)оz=(y*x)оz=z*(y*x)=(z*y)*x=xо(z*y)=xо(yоz)
即о运算可结合。因此为一半群。
（2）为群, G对*运算有幺元e 。从而对任意xÎG，x*e=e*x=x，进而
xоe=e*x=x ，eоx=x*e=x即e也为G对о运算的幺元。
（3）对任意xÎG，由于为群，x关于*运算有逆元x-1，于是x* x-1= x-1 *x=e，从而xоx-1 = x-1 *x=e x-1оx=x* x-1 =e 。即x关于о运算也有逆元x-1。
综上（1），（2），（3），为群。

七、设为群,a为G中给定元素。定义函数f：G→G，使得对每一xÎG有f(x)=a*x*a-1
证明：f是到的自同构。
答：证明：
f显然为 G®G的一个函数。
对任意x1,x2ÎG ，若f(x1)=fx2) ，则a*x1*a-1=a*x2*a-1，
于是x1=x2 。故f为单射。
对任意yÎG 取x=a-1*y*aÎG，那么
f(x)=f(a-1*y*a)=a*(a-1*y*a)*a-1=y
故f为满射，从而f为双射。
又对任意x1,x2ÎG
f(x1*x2)=a*( x1*x2)* a-1
f(x1)*f(x2)=( a*x1*a-1 )*(a*x2*a-1 )= a*( x1*x2)* a-1
故f(x1*x2)=f(x1)*f(x2)，即f保运算。
因此f为到的自同构映射。

复习题七
一、证明
1、对任意两个集合，证明
答：证明：
2、构造下面命题推理的证明
如果我学习，那么我数学不会不及格；如果我不热衷于玩游戏机，那么我将学习；但我数学不及格，因此我热衷与玩游戏机。
答：符号化为：
证明：(1) P
(2) P
(3) T(1)(2)I
(4) P
(5) T(3)(4)I

二 、计算
1、 画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
答：
2、设，求公式：
的真值。
答：
3一棵树有个结点度数为2 ，个结点度数为3，… ，个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。
答：设它有个度数为1的结点，则：
1*＋2*＋3*＋… ＋k*=2*（+++…+-1）
得：=＋2*＋… ＋(k-2)*+2

4设集合上的关系 ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。
答：

三、设上的整除关系，是否为上的偏序关系？若是，则：
1、画出的哈斯图；2、求的极大值和的极小值。
答：是上的偏序关系。
1、的哈斯图：

2、A的极大值为9，15；极小值为3，5。

四、用推导法求公式的主析取范式和主合取范式。
答：
五、设自然数集上的关系定义为：，
证明：是上的等价关系。
答：证明：
因此是自反的
因此是对称的

因此是传递的。综上：是上的等价关系。

六、设分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数为，证明的同构映射。
答：证明：

因此。
，所以的同构映射。

七、 设是整数集合，＋是普通加法，试证明是一个群。是否循环群？
答：证明：，因此，运算是封闭的
，因此，运算是可结合的
，因此，0是幺元

综上：是一个群。
因为：，因此，1是生成元，是循环群。

复习题八
一、 求公式(┐p∨┐q)→(p«┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。
答：解：(┐p∨┐q)→(p«┐q)Û┐(┐p∨┐q)∨((┐p∨┐q)∧(p∨q))
Û (p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q) （主析取范式）
Ûq∨(p∧┐q) （析取范式）
Ûp∨q （合取范式、主合取范式）

二、用推理规则证明：
前提 ($x)P(x)→("x)((P(x)∨Q(x))→R(x))，($x)P(x)，($x)Q(x)
结论 ($x)($y)(R(x)∧R(y))
答：证明：
(1) ($x)P(x)→("x)((P(x)∨Q(x))→R(x)) P
(2) ($x)P(x) P
(3) ("x)((P(x)∨Q(x))→R(x)) T(1)(2)I
(4) P(c) ES(2)
(5) (P(c)∨Q(c))→R(c) US(3)
(6) P(c)∨Q(c) T(4)I
(7) R(c) T(5)(6)I
(8) ($x)Q(x) P
(9) Q(d) ES(8)
(10) (P(d)∨Q(d))→R(d) US(3)
(11) Q(d)∨P(d) T(9)I
(12) R(d) T(10)(11)I
(13) R(c)∧R(d) T(7)(12)I
(14) ($y)(R(c)∧R(y) ) EG(13)
(15) ($x)($y)(R(x)∧R(y) ) EG(14)

三、计算题
1.证明逻辑等价式A«BÛ (A∧B)∨(┐A∧┐B)成立。
答：证明：
证法1：
A
B
A∧B
┐A
┐B
┐A∧┐B
A«B
A∧B)∨(┐A∧┐B)
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
证法2：A«BÛ (A→B)∧(B→A)
Û (┐A∨B)∧(┐B∨A)
Û (┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)
Û (A∧B)∨(┐A∧┐B)
证法3：先证A«BÞ(A∧B)∨(┐A∧┐B) (a)
设a为任一指派，使a(A«B)=1，那么a(A)= a(B)=1或a(A)= a(B)=0，从而a(A∧B)=1或a(┐A∧┐B)=1，即a((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。(a)得证；
再证(A∧B)∨(┐A∧┐B)ÞA«B (b)
设a为任一指派，使a(A«B)=0，那么a(A)=1，a(B)=0，或者a(A)=0，a(B)=1，从而a(A∧B)=0且a(┐A∧┐B)=0，即a((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。(b)得证。

2.设AÍB，求证A∩CÍB∩C。
答：
证明：
对任一xÎA∩C，则xÎA且xÎC，
因为AÍB则有若xÎA，则xÎB，
所以xÎB且xÎC，故xÎB∩C。
因此A∩CÍB∩C。

3.设集合A={a，b，c，d}，A上的关系R={,,,}，求R的自反闭包、对称闭包。

答：解：
r(R)=R∪Ix ={,,,,,,}
s(R)=R∪Rc ={,,,,,,}

4.求下列集合的基数。
（1）T={x|x是单词“BASEBALL”中的字母}
（2）B={x|x∈R∧x2=9∧2x=8}
（3）C=，A={1,3,7,11}
答：解：
（1）由T={B,A,S,E,L}知|T|=5。
（2）由B=，可知|B|=0。
（3）由|A|=4可知||=24=16。

5. 求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。
答：解：
设A为从1到500的整数中，能被3除尽的数的集合。
B为从1到500的整数中，能被5除尽的数的集合。
则 |A|=[500/3]=166 （[x]表示不超过x的最大整数）
|B|=[500/5]=100
|A∩B|=[500/（3*5）]=33
由包含排斥原理：
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=166+100-33=233
即从1到500的整数中，能被3或5除尽的数有233个。

四、设R，S为A上的两个等价关系，且R Í S。定义A/R上的关系R/S：
<[x],[y]>ÎR/S当且仅当ÎS
证明：R/S为A/R上的等价关系。
答：证明：S为A上的等价关系，那么对任意x有ÎS，
所以<[x],[x] >ÎR/S，R/S是自反的；
若<[x],[y] >ÎR/S，则 >ÎS，由S对称知< y, x >ÎS，
所以<[y],[x] >ÎR/S，R/S是对称的；
若<[x],[y] >ÎR/S，<[y],[z] >ÎR/S，则ÎS，ÎS，由S传递知ÎS，
所以<[x],[z] >ÎR/S，R/S是传递的。
故R/S为A/R上的等价关系。

五、设上的整除关系
，
是否为上的偏序关系？若是，
则：1、画出的哈斯图；
答：解：是上的偏序关系。
1、的哈斯图：

2、 求。
答：。
六、设为一群。证明：
（1）若对任意aÎG有a2 =e，e为幺元，则G为阿贝尔群。
答：对任意x,y ÎG ， 由已知得 x2=e,y2=e 。于是 x-1 =x y-1=y。
从而(x*y)2=e，(x*y) -1=x*y。
又因为，(x*y) -1=y-1*x-1=y*x，故x*y=y*x 。
因此*运算满足交换律。为阿贝尔群得证。
（2）若对任意a，bÎG有(a*b)2 =a2*b2 ，则G为阿贝尔群。
答：对任意a,bÎG ，(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b
又由题设(a*b)2=a2*b2=(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b
从而 a*(b*a)*b=a*(a*b)*b。两边同时左乘a-1，右乘b- 1得：
a*b=b*a
因此，*运算满足交换律，故 为阿贝尔群。

七、设N4 =｛0，1，2, 3｝，f：N4→N4定义如下：