复变函数总复习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,复数的基本概念和运算,1,、复数,z,=,x,+,iy,或,z,=,x,+,yi,注意：,(1)2,个复数不能比较大小,;,(2),当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。,2,2,、,复数的表示,直角坐标：,z,=,x,+,iy,复平面与直角坐标平面上的点一一对应,向量表示,模,幅角,三角表示：,指数表示：,0,x,y,O,x,y,q,P,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,z,=0,时辐角不确定,3,辐角主值公式：,2,3,4,1,x,y,4,3,、复数运算,加法、减法：,乘法,:,除法,:,运算法则,:,z,1,+,z,2,=,z,2,+,z,1,z,1,z,2,=,z,2,z,1,z,1,+(,z,2,+,z,3,)=(,z,1,+,z,2,)+,z,3,z,1,(,z,2,z,3,)=(,z,1,z,2,),z,3,z,1,(,z,2,+,z,3,)=,z,1,z,2,+,z,1,z,3,5,乘积：,z,1,=,r,1,(cos,q,1,+,i,sin,q,1,),z,2,=,r,2,(cos,q,2,+,i,sin,q,2,),z,1,z,2,=,r,1,r,2,cos,(,q,1,+,q,2,)+,i,sin,(,q,1,+,q,2,),于是,:,|,z,1,z,2,|=z,1,|,z,2,|Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2,模相乘；辐角相加。,商：,模相除；辐角相减,幂：,根：,注意根的,多值性！,6,区域,：平面点集,D,称为区域,必须满足下列两个条件：,1,）,D,是一个开集。,2,）,D,是连通的。,不连通,单连通域：,区域,B,中任做一条简单闭曲线，曲线内,部总属于,B,，称,B,为单连通区域。,多连通域：,不满足单连通域条件的区域。,单连通域,多连通域,区域的概念,7,复变函数,w=f,(,z,),z=x+iy,w=u,(,x,y,),+iv,(,x,y,),单值函数：,z,的一个值对应一个,w,值。,多值函数：,z,的一个值对应两个或以上,w,值。,反函数：,z=g(,w,),复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定,8,1,、极限,定理一：,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),A,=,u,0,+,iv,0,z,0,=,x,0,+,iy,0,条,定理二：,9,2,、连续性,复平面内，下列各式连续：,项,10,3,、导数,定义在区域,D,内，,称 可导,11,z,0,点：,区域,D,：,4,、解析,使分母为零的点是它的奇点。,12,重要定理：,函数解析的条件,柯西,-,黎曼,(Cauchy-Riemann),方程,13,高层,中层,低层,14,初 等 函 数,15,多值！性质,:,16,乘幂,17,幂函数,幂函数的解析性,各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,:,各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,:,18,4.,三角函数,19,第三章 复变函数的积分,习题,3-8(1),20,C,C,1,习题,3-7(8),、,3-9(1),21,三、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质,.,估值不等式,22,1,、调和函数的定义,四、,解析函数与调和函数的关系,2,、解析函数和调和函数的关系,定理：,任何在区域,D,内解析的函数,它的实部和虚部都是,D,内的调和函数，即有：,23,3,、共轭调和函数,区域,D,内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数,.,4,、偏积分法和不定积分法求解析函数（,简单了解即可,）,如果已知一个调和函数,u,利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数,v,从而构成一个解析函数,u,+,vi,的方法称为偏积分法,.,24,一、复数项级数的一些基本概念,1,、复数列 收敛的充要条件,:,同时收敛,.,2,、复级数,:,收敛的充要条件,:,同时收敛,.,3,、复级数绝对收敛,:,绝对收敛的充要条件,:,同时绝对收敛,.,第四章 级 数,25,收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定,.,1,、,收敛定理：,(,阿贝尔,Abel,定理,),如果级数,在 收敛,那么对满足 的,z,级数必,绝对收敛,如果在 级数发散,那么对满足 的,z,级数必发散。,二、幂级数：,幂级数的收敛半径的情况有三种,:,(1),对所有的正实数都收敛,.,级数在复平面内处处绝对收敛,:,(2),对所有的正实数除,z,=0,外都发散,.,级数在复平面内除原点外处处发散,:,例如,级数,(3),既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数,.,级数在收敛圆内处处绝对收敛,26,2,、收敛半径求法,:,如果,:,3,、性质,:,和函数 在收敛圆内,:,解析,可逐项求导,可逐项积分,.,习题,4-6,27,4,、幂级数的运算和性质,(1),幂,级数的有理运算,(2),幂级数的代换,(,复合,),运算,如果当,时,又设在,内,解析且满足,那么当,时,说明,:,此代换运算常应用于将函数展开成幂级数,.,习题,4-11,28,答案,:,幂级数,的收敛范围是何区域,?,问题,1,:,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析,.,答案：,问题,2,:,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何,?,有关幂级数的两个关键问题：,29,三、泰勒级数,:,定理,:,在以 为中心的圆域内解析的函数,f(z),，,可以在该圆域内展开成,的幂级数。,泰勒级数展开式求法,:,直接法,间接法,.,30,常见函数的泰勒展开式,31,四、洛朗级数：,洛朗级数展开式求法,:1.,直接法,2.,间接法,在计算闭路积分中的应用：,令,n,=-1,得,或,习题,4-16(2),32,第五章 留数,33,零点与极点：,零点定义：,f(z)=0,的点,习题,5-1(1,、,2,、,4),34,(1),(2),利用留数求积分,(3),求留数的,3,个规则：,习题,5-9(1,、,2),35,习题,5-13(1),36,习题,5-13(3),37,习题,5-13(5),