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§16.4　 数系的扩充与复数的引入
(对应答案分册第65页)

1.复数的有关概念
(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.
(2)复数的分类:z=a+bi实数(b=0),虚数(b≠0)纯虚数(a=0),非纯虚数(a≠0).
(3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模:
向量OZ的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2.

　　2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;　
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:
①交换律:z1+z2=z2+z1;
②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
　　4.复数加法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.
5.复数减法的几何意义
复数z1-z2是OZ1-OZ2=Z2Z1所对应的复数.

　　有关复数的三个注意点
(1)若一个复数是实数,仅注意虚部为0是不够的,还要考虑它的实部是否有意义.
(2)一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还要求虚部不为0.
(3)两个不全为实数的复数不能比较大小.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).

　　1.(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
3.z· z−=|z|2=|z−|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,z1z2=|z1||z2|,|zn|=|z|n.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在复数范围内,方程x2+x+1=0没有解.(　　)
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.(　　)
(3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　)
(4)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(　　)
【对接教材】
2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为(　　).

A.1 B.2 C.1或2 D.-1
3.复数52-i2的共轭复数是(　　).
A.2-i B.2+i
C.3-4i D.3+4i
【易错自纠】
4.在复平面内,向量AB对应的复数是2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的复数是(　　).
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
5.(2022·黑龙江三模)已知复数z的共轭复数为z−,若zi=2z−+i(i为虚数单位),则复数z的虚部为(　　).
A.-13i B.23i
C.-13 D.23

　复数的概念　【题组过关】
1.(2022·重庆模拟)设z=sin 15°+isin 75°(其中i为虚数单位),则z2的共轭复数是(　　).

A.1232i B.12+32i
C.-32-12i D.-32+12i
2.(2022·江苏联考)设复数z满足(1-i)z=m+i(m∈R),若z为纯虚数,则实数m=(　　).
A.1 B.-1
C.2 D.-2
3.(2022·吉林调研)复数1+i1-i4+2i的实部为(　　).
A.-1 B.0
C.1 D.2
　　点拨　紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准的代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
　复数的几何意义　【典例迁移】
　　(1)(2019年全国Ⅰ卷)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　).

A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
(2)(2022·山东模拟)已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点),点Z在x轴上方且OZ与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z=(　　).
A.1+3i B.2
C.(1,-3) D.1+3i
　　点拨　与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步,进行简单的复数运算,将复数化为标准的代数形式;
第二步,把复数问题转化为复平面内的点之间的关系,依据是复数a+bi与复平面上的点(a,b)一一对应.
【追踪训练1】(1)(2022·广西高三模拟)复数z的虚部为3,模为2,则复数z2的对应点位于复平面内(　　).
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第二或三象限
(2)(2022·湖南模拟)设z为复数,在复平面内z,z−对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列命题中错误的有(　　).
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,OP≠OQ
D.当z为实数时,OP=OQ
　复数的代数运算　【考向变换】
　　考向1　复数的乘法运算
(1)(2020年全国Ⅱ卷)(1-i)4=(　　).　

A.-4 B.4
C.-4i D.4i
(2)(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(z−+i)=(　　).
A.6-2i B.4-2i
C.6+2i D.4+2i
(3)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a等于(　　).
A.-1 B.0
C.1 D.2
　　点拨　复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
【追踪训练2】(1)(1+i)(2-i)=(　　).
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
(2)已知复数z=2+i,则z·z−=(　　).
A.3 B.5 C.3 D.5

　　考向2　复数的除法
(1)(2021年全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　).
A.-1-32i B.-1+32i
C.-32+i D.-32-i
(2)(2021年全国乙卷)设iz=4+3i,则z=(　　).
A.-3-4i B.-3+4i
C.3-4i D.3+4i
　　点拨　复数除法运算的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
【追踪训练3】(1)(2019年全国Ⅰ卷)设z=3-i1+2i,则|z|=(　　).
A.2 B.3 C.2 D.1
(2)(2021重庆诊断)已知i为虚数单位,复数z满足iz=2z+1,则z等于(　　).
A.-25-15i B.25+15i
C.2+i D.2-i
链接《精练案》分册P118