学生书-§14-3-二项式定理.docx

§14.3　二项式定理
(对应答案分册第53~54页)

1.二项式定理

二项式定理
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnran-r·br+…+Cnnbn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tr+1=Cnran-rbr,它表示第r+1项
二项式系数
二项展开式中各项的二项式系数为Cn0,Cn1,…,Cnn

　　2.二项式系数的性质

性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Cnm=Cnn-m
增减性
二项式
系数Cnk
当kn+12(n∈N)时,是递减的
最大值
当n为偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值
当n为奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12取得最大值

　　3.常用结论
(1)Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
(2)Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1.
(3)Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n2n-1.
(4)CmrCn0+Cmr-1Cn1+…+Cm0Cnr=Cm+nr.
(5)(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2=C2nn.

　　(1)(a+b)n的二项展开式的三个重要特征
①字母a的指数按降幂排列由n到0.
②字母b的指数按升幂排列由0到n.
③每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
(2)三个易错点
①在二项式定理中,通项公式Tk+1=Cnkan-kbk是展开式的第k+1项,不是第k项.
②二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在Tk+1=Cnkan-kbk中,Cnk是该项的二项式系数,该项的系数还与a,b有关.
③二项式系数的最值与指数n的奇偶性有关.当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(a+b)n的展开式中的第r项是Cnran-r·br.(　　)
(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)二项式x+2x6的展开式的第二项系数是C61.(　　)
(4)通项Tr+1=Cnran-rbr中的a和b不能互换.(　　)
【对接教材】
2.在(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是(　　).

A.Cnm B.Cnm+1
C.Cnm-1 D.(-1)m-1Cnm-1
3.化简:C2n1+C2n3+…+C2n2n-1=　　　　. 
【易错自纠】
4.在二项式x2-2xn的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为　　　　. 
5.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=　　　　. 

　求二项展开式中的特定项或系数　【考向变换】
　　考向1　求二项展开式中的特定项或系数
　　(1)(2021年天津卷)在2x3+1x6的展开式中,x6的系数是　　　　. 
(2)(2022·四川射洪考前模拟)x-2x26的展开式的常数项是　　　　.(用数字作答) 
　　点拨　求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路:(1)利用通项公式将Tr+1项写出并化简;(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出r;(3)代回通项得所求.
【追踪训练1】(1)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. 

(2)x2+2x5的展开式中x4的系数为(　　).
A.10 B.20
C.40 D.80
　　考向2　求解形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题的思路
　　(1)(2020年全国Ⅰ卷)x+y2x·(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　).
A.5 B.10
C.15 D.20
(2)(2022·湖北襄阳模拟)1−x6·1+x4的展开式中x的系数是(　　).
A.-4 B.-3
C.3 D.4
　　点拨　求解形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题的思路:(1)若m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2(c+d)n=(a2+2ab+b2)(c+d)n,然后分别求解;(2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5·(1-x)2;(3)分别得到(a+b)m,(c+d)n的通项公式,综合考虑.
【追踪训练2】(1)(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为(　　).
A.12 B.16
C.20 D.24
(2)已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为27,则展开式中含x2的项的系数是　　　 　. 

　二项式系数与各项系数和问题　【典例迁移】
　　(2022·江西九江模拟)若2x-13x2n的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中1x3的系数是(　　).

A.14 B.-14 C.7 D.-7
　　点拨　(1)形如(ax+b)n(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2.
【追踪训练3】(1)(2022·山东高三模拟)在二项式x2-1x11的展开式中,系数最大的项为第　　　　项. 
(2)(2022·浙江宁波模拟)已知(ax+1)·(1-2x)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6的展开式中,若a0=2,则a=　　　　,a5=　　　　. 
　二项式定理的应用　【典例迁移】
　　设a∈Z,且0≤a<13,若512022+a能被13整除,则a=(　　).

A.0 B.1 C.11 D.12
　　点拨　(1)当利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式.应注意:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.(2)求余数问题时,应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0),商式q(x)与余式的关系及余式的取值范围.　
【追踪训练4】(2022·山西应县月考)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是　　　　. 

　求二项式系数最大的项的问题
　　求解二项式系数或展开式系数的最值,第一步,要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个.第二步,求二项式系数的最大值,则依据(a+b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解.若是求展开式系数的最大值,则根据通项求解.
(2022·江苏常州月考)已知3x-2xn(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3.
(1)求n的值;
(2)求二项展开式中各二项式系数和以及各项系数和;
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.

　　求展开式系数的最大值
思路一:由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看作关于n的数列,通过判断数列增减性的方法从而判断系数的增减性,并根据系数的增减性求出系数的最值.
思路二:由于展开式系数是离散型变量,因此在系数均为正值的前提下,求最大值只需解不等式组ak≥ak-1,ak≥ak+1即可求得答案.

　　【突破训练】(2022·四川月考)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*,n≥6),其中a0,a1,a2,…,an∈R.
(1)当n=6时,求(1+2x)6的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项;
(2)若n为偶数,求a2+a4+a6+…+an的值.

链接《精练案》分册P97