学生书-§10-1-空间几何体的直观图、三视图及其应用.docx

§10.1　空间几何体的直观图、三视图及其应用
(对应答案分册第31页)

1.简单多面体的结构特征

名称
特征
棱柱
侧棱都互相平行,上、下底面是全等的多边形
棱锥
底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形
棱台
由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形

　　2.旋转体的结构特征

名称
特征
圆柱
由矩形绕一边所在直线旋转一周得到
圆锥
由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到
圆台
由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底边中心所在直线旋转半周得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到
球
由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到

　　3.简单几何体的三视图
简单几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图.　
4.简单几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤如下:

画几何
体的
底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴、y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°或135°,已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中平行于x'轴、y'轴.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半
画几何
体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z'轴,也垂直于x'O'y'平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z'轴且长度不变

　　1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:
S直观图=24S原图形,S原图形=22S直观图.
2.记住旋转体的一些常见结论
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正(主)视图和侧(左)视图均为全等的等腰三角形.

　　(3)水平放置的圆台的正(主)视图和侧左)视图均为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正(主)视图和侧(左)视图均为全等的矩形.
3.正方体的截面情况:三角形,四边形(有菱形、矩形、梯形等),五边形,六边形.

　　(1)三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正(主)视图和侧(左)视图一样高,正(主)视图和俯视图一样长,侧(左)视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.
(2)台体可以看成是由锥体截得的,但一定要强调截面与底面平行.
(3)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.
(4)几何体的展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系.

【概念辨析】
1.关于空间几何体的结构特征,判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)棱柱的侧棱长都相等.(　　)
(2)棱锥的侧棱长都相等.(　　)
(3)三棱台的上、下底面是相似三角形.(　　)
(4)有的棱台的侧棱长都相等.(　　)

【对接教材】
2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(　　).

A.①② B.①③ C.①④ D.②④
3.下列说法中正确的是(　　).
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图不是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
【易错自纠】
4.如图①所示,将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成三棱锥C-ABD,其正(主)视图与俯视图如图②所示,则其侧(左)视图的面积为(　　).

A.14 B.24 C.12 D.22
5.(2021年全国乙卷)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为　　　　.(写出符合要求的一组答案即可) 

　空间几何体的结构特征　【题组过关】
1.给出下列四个命题:
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.
其中所有假命题的序号是(　　).

A.②③④ B.①②③
C.①②④ D.①②③④
2.给出下列结论:①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;⑤用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是球.
其中正确结论的序号是　　　　. 

3.如图所示的是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为(　　).

A.梯形
B.平行四边形
C.可能是梯形也可能是平行四边形
D.不确定
　　点拨　解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是假的,只要举出一个反例即可.
　空间几何体的三视图　【考向变换】
　　考向1　由几何体的直观图识别三视图

(2021年全国甲卷)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(　　).

　　点拨　由几何体的直观图求三视图,注意正(主)视图、侧(左)视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线,不能看到的部分用虚线表示.
【追踪训练1】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为　　　　. 
　　考向2　已知三视图,判断几何体
某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(　　).

A.1 B.2 C.3 D.4
　　点拨　由几何体的三视图还原几何体的形状,要熟悉柱、锥、台、球体的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为直观图.其步骤如下:
(1)定底面:根据俯视图确定;
(2)定棱及侧面:根据正(主)视图、侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面特征,调整实线、虚线对应棱的位置;
(3)定形状:确定几何体的形状.
【追踪训练2】(2022·云南昆明一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某个零件的三视图,则这个零件的体积等于(　　).

A.6π B.8π C.12π D.14π

　　考向3　已知几何体的某些视图,判断其他视图

(2022·贵州适应性考试)如图所示的是某几何体的正(主)视图和侧(左)视图,则该几何体的俯视图不可能是(　　).

　　点拨　由几何体的部分视图画出剩余的视图,先根据已知的一部分视图,还原、推测其直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分视图是否符合.
【追踪训练3】(2022·江西赣州模拟)在一个几何体的三视图中,正(主)视图和俯视图如图所示,则相应的侧(左)视图可以为(　　).

　空间几何体的直观图　【典例迁移】
　　已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　).

A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2

　　【变式设问】本例改为“已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形”,则原△ABC的面积为　　　　. 
　　点拨　(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是S直观图=24S原图形.
(2)在原图形中与x轴或y轴平行的线段,在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.
　　【追踪训练4】

(2022·浙江嘉兴模拟)如图所示,一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是△OAB,其中OB=AB=4,则该直观图所表示的平面图形的面积为(　　).
A.162　　B.82　　C.16　　D.8

　几何体表面上点到点的最短距离
　　求几何体表面上点到点的最短距离,先将空间图形问题转化为平面图形问题,再求平面图形上两点之间的最短距离,通过把立体图形转化为平面图形,利用轴对称、平移或旋转几何图形的变换,运用“两点之间线段最短”来解决.

一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点C1的位置则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正(主)视图的是(　　).

A.①② B.①③ C.③④ D.②④

　　求几何体表面上点到点的最短距离的步骤如下:
(1)将几何体剪开后展开,画出其侧面展开图;
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题;
(3)结合已知条件求结果.

　　【突破训练】已知某几何体的三视图如图所示,点A,B在正(主)视图中的位置如图所示(A,B分别为正(主)视图中等腰梯形的两个顶点),则在此几何体的侧面上,从A到B的最短距离为(　　).

A.332 B.33
C.372 D.37
链接《精练案》分册P61