2023年人教版初中数学复习反比例函数知识点.doc

人教版九年级——反比例函数
学生:
课题
反 比 例 函 数
日期
2023 年 11 月 6 日
课型
1对1
指导老师

时间
点 分至 点 分

一．【知识要点】
知识点1反比例函数的定义 重点;理解
一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,此外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.

y是x的反比例函数(k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为k.
注意： (1)在反比例函数(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如,等都是反比例函数,但就不是关于x的反比例函数.
(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.
(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.

知识点2用待定系数法拟定反比例函数的表达式 难点:运用
由于反比例函数中只有一个待定系数,因此只要有一对相应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而拟定反比例函数的表达式.
其一般环节:
(1) 设反比例函数关系式(k≠0).
(2) 把已知条件(自变量和函数的相应值)代入关系式,得出关于k的方程.
(3) 解方程,求出待定系数k的值.
(4) 将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.

知识点3反比例函数图象的画法 难点;运用
反比例函数图象的画法是描点法,其环节如下:
(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.
(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.
(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.
说明:在图象上注明函数的关系式.
拓展 (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.
(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.
(3)反比例函数(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.
(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是由于x≠0，y≠0.
知识点4反比例函数(k≠0)的性质 难点；灵活应用
(1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
(2)由反比例函数的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大.
(3)由于x≠0，所以图象与y轴不也许有交点，国此，不管x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不也许有交点.

拓展 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号.
(2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大.
【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.
函数
正比例函数
反比例函数
关系式
y=kx(k≠0)
(k≠0)
图象
过原点的直线
与坐标轴没有交点的双曲线
自变量的取值范围
全体实数
x≠0的全体实数
图象位置
当k＞0时，图象通过第一、三象限
当k＜0时，图象通过第二、四象限
当k＞0时，图象在第一、三象限
当k＜0时，图象在第二、四象限
性质
当k＞0时，y随x的增大而增大
当k＜0时，y随x的增大而减小
当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大

知识点5 反比例函数表达式中k的几何意义 拓展；理解
如图17-3所示，过双曲线上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.
由于，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.
即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.
已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数
二． 【基本习题】
1、若变量y与x成正比例变量x与z成反比例，则 ( )
A.y与z成反比例函数关系 B.y与z成正比例函数关系
C.y与z2成正比例函数关系 D.y与z2成反比例函数关系
2、已知反比例函数的图象通过点(-2，4)，则它的表达式是 .
3、已知正比例函数y=kx和反比例函数的图象都过点A(m，1).求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标.

4、一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10时，ρ=1.43.
(1)求ρ与V的函数关系式
(2)求当V=2时，氧气的密度ρ.

5、一定质量的二氧化碳，当它的体积V=10m3时，它的密度ρ=3.96kg/m3.
（1）求ρ与V的函数关系式；
（2）求当V=5m3时二氧化碳的密度ρ.

6、消费者对于取消市场上使用杆秤的呼声越来越高，因素在于一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换小秤砣，使秤砣较轻，从而欺骗顾客.
（1）如图17-25所示，对于同一个物体，哪个用的是标准秤砣，哪个用的是较轻的秤砣？

（2） 写出在称同一物体时，所称得的物体质量y（公斤）与所用秤砣质量x（公斤）之间满足的关系；

（3）当秤砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
7、小伟欲用撬棍手书撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿0.5米.
（1）动力F和动力臂l有如何的函数关系式？当动力臂为0.5米时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过（1）中力的一半，则动力臂至少要加长多少？

三． 【中考原创模拟】
1、点P（1，3）在反比例函数(k≠0)的图象上，则k的值是（ ）
A. B.3 C. D.-3
2、已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数（k为常数）的图象有一个交点，交点的横坐标是2.
（1）求两个函数图象的交点坐标；

（2） 若点A（x1，y1）, B（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且x1＜y1，试比较y1，y2的大小.

3、水产公司有一种海产品共2104公斤，为寻求合适销售价格，进行了8天试销，试销情况如下表：

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价x/（元/公斤）
400

250
240
200
150
125
120
销售量y/公斤
30
40
48

60
80
96
100
观测表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的天天销售量y公斤）与销售价格x（元/公斤）之间的关系.现假定在这批海产品的销售中，天天的销售量y（公斤）与销售价格x（元/公斤）之间都江堰市满足这一关系.
（1）写出这个反比例函数的解析式，并实例表格；

（2） 在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/公斤，并且天天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以所有售出？

（3） 在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内所有售出，此时需要重新拟定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新拟定的价格最高不超过每公斤多少元才干完毕销售任务？

四． 【湖南中考真题】
一、单选题（共5小题）
1．函数与函数（）在同一坐标系中的图像也许是（   ）
A．
B．
C．
D．
2．已知反比例函数的图象通过点（2,3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（   ）
A．（－6,1）
B．（1,6）
C．（2，－3）
D．（3，－2）
3．正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点位于（   ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第一、三象限
4．如右图，A、B两点在双曲线上，分别通过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（   ）

A．3
B．4
C．5
D．6

5．如右图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法对的的是（   ）
A． 点A和点B关于原点对称   
B． B．当x＜1时，y1＞y2
C．S△AOC=S△BOD 
D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大

二、填空题（共3小题）
6.如图，为反比例函数的图象上的一点，垂直轴，垂足为，的面积为2，则的值为_________[

7.若点和点都在反比例函数的图象上，则____________（填“”、“”或“”号）[
8. 下列关于反比例函数的三个结论：①它的图象通过点（7，3）；②它的图象在每一个象限内，随的增大而减小；③它的图象在二、四象限内.其中对的的是________________.

五．【学生学习情况】
学习态度
学习习惯
作业质量
进步情况
积极自觉

准备充足

规范整洁

学习态度

家长规定

认真听讲

基本合格

学习习惯

家长逼迫

作业认真

潦草杂乱

作业质量

【学习建议及课后作业】

学生署名:
【家长意见建议】

家长署名: