信号与系统教案第4章.pptx

第四章 连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 一、一、傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 二、二、傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 一、周期矩形脉冲的频谱一、周期矩形脉冲的频谱 二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱 三、周期信号的功率三、周期信号的功率4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 一、信号的傅里叶变换一、信号的傅里叶变换 二、常见信号、奇异信号的傅立叶变换二、常见信号、奇异信号的傅立叶变换第四章 连续系统的频域分析4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅立叶变换一、正弦、余弦信号的傅立叶变换二、周期信号的傅立叶变换二、周期信号的傅立叶变换三、傅立叶系数与傅立叶变换之间的关系三、傅立叶系数与傅立叶变换之间的关系4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析一、频率响应一、频率响应二、无失真传输与理想低通滤波器二、无失真传输与理想低通滤波器4.8 4.8 取样定理取样定理第四章 连续系统的频域分析本章系统分析的独立变量是本章系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。思路：思路：时域：时域：信号分解信号分解基本信号基本信号冲激响应冲激响应 yf(t)=h(t)*f(t)频域：频域：以以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意输入信号可为基本信号，任意输入信号可分解为一系列分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。的正弦信号或虚指数信号之和。第四章 连续系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集4.1 信号分解为正交函数如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。例如三维空间的矢量例如三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量，可以用一个三维正交矢量集集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，在信号空间找空间，在信号空间找到若干个到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。意信号均可表示成它们的线性组合。4.1 信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.定义：定义：定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这构成一个函数集，当这些函数在区间些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。4.1 信号分解为正交函数3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在之外，不存在函数函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和和虚指数函虚指数函数集数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。(i=1，2，n)4.1 信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设设n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间在区间(t1，t2)构构成一个正交函数集。任一函数成一个正交函数集。任一函数f(t)(t1，t2)用这用这n个正交函数的线个正交函数的线性组合来近似，表示为性组合来近似，表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 如何选择系数如何选择系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？内为最小？通常选误差的方均值通常选误差的方均值(均方误差均方误差)，使之最小。，使之最小。4.1 信号分解为正交函数为使上式最小，求导数为使上式最小，求导数展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为0，即即 所以系数所以系数4.1 信号分解为正交函数最小均方误差（推导过程见教材）最小均方误差（推导过程见教材）当用正交函数去逼近当用正交函数去逼近f(t)时，取的项数越多，即时，取的项数越多，即n越大，则均方误越大，则均方误差越小。当差越小。当n（为完备正交函数集）时，均方误差为零。有（为完备正交函数集）时，均方误差为零。有 称为称为(Parseval)泊塞瓦尔公式泊塞瓦尔公式。表明：在区间。表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和4.2 傅里叶级数4.2 傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当满足，当满足狄里狄里赫利赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数条件时，它可分解为如下三角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数。系数系数an,bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,为（为（0，T)上完备正交函数集。上完备正交函数集。称为基波角频率，称为基波角频率，4.2 傅里叶级数从表达式可见，从表达式可见，an 是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数。的奇函数。积分区间可取积分区间可取(0,T)或或(t0,t0+T)。因此，只要求出系数。因此，只要求出系数an,bn,即可得到即可得到f(t)的三角级数展开式。的三角级数展开式。4.2 傅里叶级数将上式同频率项合并，可得到将上式同频率项合并，可得到上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中，A0/2为为直流分量直流分量；A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号，它的角频率与原周期信号相同；相同；A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+n)称为称为n次谐波次谐波。4.2 傅里叶级数系数的相互关系为系数的相互关系为A0=a0又又An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos nbn=Ansin nAnn：关系称为单边振幅谱；反映了各次谐波振幅随频率变化：关系称为单边振幅谱；反映了各次谐波振幅随频率变化的规律。的规律。nn：单边相位谱单边相位谱，反映了各次谐波相位随频率变化的规律。反映了各次谐波相位随频率变化的规律。4.2 傅里叶级数例例1 求周期信号的三角形傅立叶级数。求周期信号的三角形傅立叶级数。例例2 已知周期信号已知周期信号 求它的傅里叶求它的傅里叶振幅谱和相位谱。振幅谱和相位谱。解：先求解：先求f(t)的最小公共周期。因为的最小公共周期。因为 T1/T2=2，比值为有理，比值为有理数。所以数。所以f(t)的最小公共周期为的最小公共周期为 T=2T2=T1=则基波角频率则基波角频率4.2 傅里叶级数三角形傅里叶级数的单边频谱图如图和所示。三角形傅里叶级数的单边频谱图如图和所示。(a)(b)对于周期信号，首先要求出其公共周期，确定有对于周期信号，首先要求出其公共周期，确定有多少次谐波分量，再正确画出振幅和相位频谱图。多少次谐波分量，再正确画出振幅和相位频谱图。4.2 傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数，展开为余弦级数,即展开式中只有余弦项，即展开式中只有余弦项，而没有正弦项。而没有正弦项。m为整数为整数.4.2 傅里叶级数2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数，展开式中只有正弦项，而，展开为正弦级数，展开式中只有正弦项，而没有余弦项。没有余弦项。m为整数为整数.4.2 傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0 实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，都可分解为奇函数和偶函数两部分，即即 f(t)=fod(t)+fev(t)由于由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以所以 4.2 傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用利用 cosx=(ejx+ejx)/2 4.2 傅里叶级数上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，因为代换，因为A n=An，n=n则上式写为则上式写为 令令A0=A0ej 0，0=0 所以所以令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。4.2 傅里叶级数 n=0,1,2，表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。F0=A0/2为直流分量。为直流分量。指数型傅立叶级数为指数型傅立叶级数为复傅立叶系数为复傅立叶系数为4.2 傅里叶级数的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分量，但只是将量，但只是将n次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之和。次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之和。指数型傅立叶级数也可以写为指数型傅立叶级数也可以写为由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不同，由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不同，实际上性质相同，都表示将一周期信号分解为直流分量和各实际上性质相同，都表示将一周期信号分解为直流分量和各次谐波分量的和。把次谐波分量的和。把 4.2 傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval恒等式恒等式表明：信号的平均功率等于直流和表明：信号的平均功率等于直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消电阻上消耗的平均功率之和。上式分别从时域和频域计算之。耗的平均功率之和。上式分别从时域和频域计算之。n0时，时，|Fn|=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为将将f(t)的傅立叶级数展开式代入的傅立叶级数展开式代入4.3 周期信号的频谱4.3 周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化的关系，随信号频率变化的关系，称为称为信号的频谱信号的频谱，相应图形称为信号的，相应图形称为信号的频谱图频谱图。周期信号的频谱周期信号的频谱：指周期信号中各次谐波幅值、相位随：指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。频率的变化关系。An和和 n的关系的关系 4.3 周期信号的频谱 单边谱：单边谱：将将An和和 n，n0以以为横轴的平面上得到的两为横轴的平面上得到的两个图，分别称为个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱图相位频谱图。双边谱：双边谱：|Fn|和和 n的关系。若的关系。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn。例：例：周期信号周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画出它的单，画出它的单边频谱图，并求边频谱图，并求f(t)的平均功率。的平均功率。4.3 周期信号的频谱解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周期的周期T1=8的周期的周期T2=6所以所以f(t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，功率为根据帕斯瓦尔等式，功率为 P=4.3 周期信号的频谱是是f(t)的的/4/12=3次谐波分量；次谐波分量；是是f(t)的的/3/12=4次谐波分量；次谐波分量；f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图4.3 周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期的周期矩形脉冲，其周期为矩形脉冲，其周期为T，观测频谱，观测频谱特点特点令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）取样函数）4.3 周期信号的频谱,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。为实数，可直接画成一个频谱图。设设T=4画图。画图。零点为零点为所以所以，m为整数。为整数。4.3 周期信号的频谱特点特点：(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基性。谱线位置是基 频频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。提取了反映信号全貌的三个基本特征提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、各谐波的即基波频率、各谐波的幅度和相位幅度和相位频谱图频谱图频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻值大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻4.3 周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，一定，变小，此时变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多增多(b)一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周期信号的就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。周期、脉宽引起频谱的变化周期、脉宽引起频谱的变化4.3 周期信号的频谱4.3 周期信号的频谱特点特点:1 基本特点基本特点离散性和谐波性离散性和谐波性2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量时域中的跳变会产生丰富的高频分量4 频谱包络线频谱包络线5“主瓣主瓣”宽度宽度,“旁瓣旁瓣”宽度宽度;6 6 谱线条数谱线条数 7 脉宽一定脉宽一定,周期增大周期增大,零点不变零点不变,谱线变密谱线变密8 周期一定周期一定,脉宽减小脉宽减小,谱线疏密不变谱线疏密不变,零点外扩零点外扩4.4 傅里叶变换4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。4.4 傅里叶变换考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而同时，同时，于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数4.4 傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:在引入广义函数之后，许多不满足绝对可积条件的函数也存在在引入广义函数之后，许多不满足绝对可积条件的函数也存在傅里叶变换。傅里叶变换。(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分4.4 傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数 f(t)=e t(t)，02.双边指数函数双边指数函数 f(t)=et ,0 4.4 傅里叶变换3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4.冲激函数冲激函数(t)、(t)4.4 傅里叶变换5.常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t)，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的的傅里叶变换所形成的序列序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j)为为这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。4.4 傅里叶变换构造构造 f(t)=e-t ，0 所以所以又又因此，因此，1212()另一种求法另一种求法：(t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将-t-t，tt 再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得6.符号函数符号函数4.4 傅里叶变换7.阶跃函数阶跃函数 (t)4.4 傅里叶变换归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|(t)1 12()4.5 傅里叶变换的性质4.5 傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)如果如果 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)则则证明证明:F a f1(t)+b f2(t)=a F1(j)+b F2(j)a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)4.5 傅里叶变换的性质例例 F(j)=?f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()-4.5 傅里叶变换的性质二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f(t)F(j)thenwhere“t0”is real constant.Proof:F f(t t0)4.5 傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=+4.5 傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:（1）in(1)t，t then（2）in(2)-then F(j t)2f()endF(jt)2f()4.5 傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:if =1,*ifF(j)=?4.5 傅里叶变换的性质四、频移性质四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)thenProof:where“0”is real constant.F e j0t f(t)=F j(-0)endFor example 1f(t)=ej3t F(j)=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)4.5 傅里叶变换的性质For example 2f(t)=cos0t F(j)=?Ans:F(j)=(+0)+(-0)For example 3Given that f(t)F(j)The modulated signal f(t)cos0t?f(t)=sin0t F(j)=?4.5 傅里叶变换的性质五、尺度变换性质五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then where“a”is a nonzero real constant.Proof:F f(a t)=For a 0 ,F f(a t)for a 0 ,F f(a t)That is ,f(a t)Also,letting a=-1,f(-t)F(-j)4.5 傅里叶变换的性质For example 1Given that f(t)F(j),find f(at b)?Ans:f(t b)e-jb F(j)f(at b)orf(at)f(at b)=4.5 傅里叶变换的性质For example 2f(t)=F(j)=?Ans:Using symmetry,using scaling property with a=-1,so thatf(t)=F(j)=4.5 傅里叶变换的性质六、卷积性质六、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)4.5 傅里叶变换的性质Proof:F f1(t)*f2(t)=Using timeshiftingSo that,F f1(t)*f2(t)=F1(j)F2(j)4.5 傅里叶变换的性质For exampleAns:Using symmetry,4.5 傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分七、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f(t)F(j)then Proof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)*f(t)4.5 傅里叶变换的性质f(t)=1/t2?For example 1Ans:4.5 傅里叶变换的性质For Example2求如下信号的傅里叶变换求如下信号的傅里叶变换 应用时域微分特性和时域卷积特性应用时域微分特性和时域卷积特性 利用时移特性和频移特性利用时移特性和频移特性4.5 傅里叶变换的性质For example 3Determine f(t)F(j)Ans:f”(t)=(t+2)2 (t)+(t 2)F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2 F(j)=Notice:d(t)/dt=(t)1(t)1/(j)4.5 傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分八、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f(t)F(j)then (jt)n f(t)F(n)(j)whereFor example 1Determine f(t)=t(t)F(j)=?Ans:4.5 傅里叶变换的性质Notice:t(t)=(t)*(t)Its wrong.Because ()()and(1/j)()is not defined.For example 2DetermineAns:九、帕斯瓦尔关系九、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)Proof|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).单位频率上的频谱单位频率上的频谱 (能量密度谱能量密度谱）Js4.5 傅里叶变换的性质For exampleDetermine the energy of Ans:4.5 傅里叶变换的性质4.5 傅里叶变换的性质十、奇偶性十、奇偶性(Parity)If f(t)is real,then=R()+jX()So that(1)R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()(2)If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R()If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX()4.5 傅里叶变换的性质性质名称时域频域线性时移频移调制尺度变换对称性时域卷积4.5 傅里叶变换的性质时域相乘时域微分时域积分频域微分频域积分帕塞瓦尔恒等式4.6 周期信号的傅里叶变换4.6 周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0)e j 0 t 2(+0)cos(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)(0)+(+0)sin(0t)=(e j 0 t-e j 0 t)/(2j)j(+0)(0)4.6 周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)=解解：(1)4.6 周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作一时也可看作一时限非周期信号限非周期信号f0(t)的周期拓展。的周期拓展。即即f(t)=T(t)*f0(t)F(j)=()F0(j)F(j)=本题本题 f0(t)=g2(t)(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。4.6 周期信号傅里叶变换例例3：求如图周期信号的傅里叶变换。求如图周期信号的傅里叶变换。F(j)=()F0(j)f(t)=T(t)*f0(t)4.6 周期信号傅里叶变换求傅里叶反变换求傅里叶反变换求频谱函数的傅里叶反变换一般有如下几种情况：求频谱函数的傅里叶反变换一般有如下几种情况：1 1、对频谱函数比较规则且频带有限的函数，可以代定义、对频谱函数比较规则且频带有限的函数，可以代定义式求解；式求解；2 2、大多数情况下，要求熟记常用函数的傅里叶变换对，、大多数情况下，要求熟记常用函数的傅里叶变换对，并利用傅里叶变换的性质求出原函数；并利用傅里叶变换的性质求出原函数；3 3、采用部分分式展开法、采用部分分式展开法,将展开为若干简单分式代数和的将展开为若干简单分式代数和的形式，然后求出原函数形式，然后求出原函数 。解：（解：（1）4.6 周期信号傅里叶变换 解：（解：（2）例题表明，大多数傅里叶反变换是利用常见函数的傅里叶变换对及其傅里叶变换性质求出，对类似于（2）这样的频带有限的规则函数，可以通过傅里叶反变换的定义式求解。4.6 周期信号傅里叶变换4.7 LTI系统的频域分析4.7 LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t=总可认总可认为系统的状态为为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。4.7 LTI系统的频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基本信号的基本信号ej t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，记为的傅里叶变换，记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。，常称为系统的频率响应函数。y(t)=H(j )ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej t4.7 LTI系统的频域分析二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j )ej tF(j )ej t d F(j )H(j )ej t d 齐次齐次性性可加可加性性f(t)y(t)=F 1F(j )H(j )Y(j )=F(j )H(j )4.7 LTI系统的频域分析频率响应频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与与激励激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j)之比，即之比，即 H(j)称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；()称为称为相频特性相频特性（或（或相频响应相频响应）。）。H(j)是是 的偶函数，的偶函数，()是是 的奇函数。的奇函数。频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法4.7 LTI系统的频域分析及冲激响应 解部分分式分解写出下列系统的频率响应4.7 LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号周期信号若若则可推导出则可推导出4.7 LTI系统的频域分析例例：某：某LTI系统的系统的 H(j)和和()如图，如图，若若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。，求系统的响应。解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10)Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5 5)+(+5)H(-j5 5)+4(10)H(j1010)+(+10)H(-j1010)H(j)=H(j)ej(ej()=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5)y(t)=F-1Y(j)=2+sin(5t)4.7 LTI系统的频域分析解法二解法二：用三角傅里叶级数：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)=2+4cos(t)+4cos(2t)H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0y(t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t)4.7 LTI系统的频域分析三、频率响应三、频率响应H(j)的求法的求法1.H(j)=F h(t)2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)求求f(t)=e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j)+2Y(j)=F(j)4.7 LTI系统的频域分析f(t)=e-t(t)Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t e-2t )(t)例例2：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型h(t)=e-t(t)4.7 LTI系统的频域分析例如图所示调制系统，例如图所示调制系统，幅频特性和相频特性如图所示。已知4.7 LTI系统的频域分析可见，系统输出为一个调制信号。4.7 LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输信号的传输，一，一类是类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输、无失真传输（1）定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信号是指系统的输出信号与输入信号相比，只有相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不同出现时间的先后不同，而没有波形上，而没有波形上的变化。即的变化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为其频谱关系为 Y(j)=Ke j tdF(j)4.7 LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：的要求是：(a)对对h(t)的要求的要求：h(t)=K(t td)(b)对对H(j)的要求的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-j td即即 H(j)=K ,()=td 上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽的信号是，条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。件即可。(2)无失真传输条件无失真传输条件：4.7 LTI系统的频域分析例例：系统的幅频特性：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真过该系统时，不产生失真的是的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)4.7 LTI系统的频域分析2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的系统称为具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。c称为截止角频率。它称为截止角频率。它将低于将低于 c的信号分量无失真传输的信号分量无失真传输,而阻止而阻止高于高于 c信号通过。从信号通过。从0到到 c的频带称为滤的频带称为滤波器的通带，从波器的通带，从 c到无穷的频带称为滤波到无穷的频带称为滤波器的阻带。理想低通滤波器的频率响应为器的阻带。理想低通滤波器的频率响应为 冲激响应为冲激响应为 h(t)=-1g 2 c()e)e-j-j tdtd=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。可见，它实际上是不可实现的非因果系统。4.7 LTI系统的频域分析(2)阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)*(t)=经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分特点特点：有明