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平面点法式方程,而,M,0,M,=,x,x,0,y,y,0,z,z,0,得:,A,(,x,x,0,)+,B,(,y,y,0,)+,C,(,z,z,0,)=0,称方程(1)为平面,点法式方程,.,(1),y,x,z,M,0,M,n,O,对于平面上任一点,M,(,x,y,z,),向量,M,0,M,与,n,垂直.,n,M,0,M=,0,设平面,过定点,M,0,(,x,0,y,0z,0,),且有法向量,n,=,A,B,C,.,1.1.平面方程,3/55,1.1.2 平面普通方程,1.,定理1:,任何,x,y,z,一次方程,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,都表示平面,且此平面一个法向量是:,n,=,A,B,C,注：一次方程:,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,(2),称为平面,普通方程,.,(3)即平面,截距式方程,。,1.1.3 平面截距式方程,(3),4/55,1.1.4 平面方程几个特殊情形,(1),过原点平面方程,因为,O,(0,0,0),满足方程,所以,D,=0.,于是,过原点平面方程为:,A,x,+,By,+,Cz,=0,5/55,(2)平行于坐标轴方程,考虑平行于,x,轴平面,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,它法向量,n,=,A,B,C,与,x,轴上单位向量,i,=1,0,0,垂直,所以,n,i,=,A,1+,B,0+,C,0=,A,=0,于是:,平行于,x,轴平面方程是,By,+,Cz,+,D,=0;,平行于,y,轴平面方程是,A,x,+,Cz,+,D,=0;,平行于,z,轴平面方程是,A,x,+,By,+,D,=0.,尤其:,D,=0,时,平面过坐标轴,.,6/55,(3),平行于坐标面平面方程,平行于,xOy,面,平面方程是,平行于,xOz,面平面方程是,平行于,yOz,面平面方程是,Cz,+,D,=0;,By,+,D,=0;,A,x,+,D,=0.,7/55,一.2 空间直线方程,空间直线可看成两平面交线,(4)称为空间直线普通方程,1.2.1 空间直线普通方程,8/55,1.2.2 直线对称式方程,已知直线,L,过,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),点,方向向量,s,=,m,n,p,所以得百分比式,(5),称为空间直线,对称式方程或点向式方程.,/,9/55,1.2.3 空间直线参数式方程,得:,(6)称为空间直线,参数方程,.,(6),令,直线一组,方向数,10/55,定理,假如两个平面,2,：A,2,x+B,2,y+C,2,z+D,2,=0,1,：A,1,x+B,1,y+C,1,zD,1,=0,交于一条直线L，则以直线L为轴有轴,平面束,方程为,m(A,1,x+B,1,y+C,1,z+D,1,)+n(A,2,x+B,2,y+C,2,z+D,2,)=0,其中m,n是不全为零任意实数。（证略）,一.3 平面束,11/55,解,:所求直线L看以看做,过,L,1,且垂直于,平面,1,与平面,交线.,例1*,求直线,在平面 内投影直线L方程.,则 由例1可得,L,1,L,1,投影直线,L,方程为:,12/55,例2、求与平面,3x+y,-,z+4=0,平行且在,Oz,轴上截距为-2,平面方程。,解,：,设所求平面方程为,3x+y,-,z+,=0,因为平面在,Oz,轴上截距为-2故平面过点(0,0,-2).,由此得,2+,=0,即,=,-,2,故所求平面方程为,3x+y-z-2,=0,13/55,例3,求过直线L,和点,M,0,(1,2,3)平面,方程.,解,设,方程为：,(*),14/55,例4,试证两直线,在同一平面上充要条件是,与,15/55,证,因为经过,任意平面方程为,其中,是不全为零任意实数；,而经过,任意平面为,其中,是不全为零任意实数。,所以两直线在同一平面上,充要条件,是存在,不全为零实数,使(1)与(2)左端仅相差,一个不为零数因子,，即,16/55,化简整理得,所以,17/55,因为,不全为零，,所以得,而,所以两直线共面,充要条件,为,即,18/55,例5,设,三平面方程：,其中,为参数，试求,（1）三平面交于一点充要条件；,（2）三平面经过同一直线充要条件；,（3）三平面无公共点充要条件。,19/55,解,（1）三平面交于一点，就是由三平面方程组成,方程组有惟一解问题，,从代数学中知道，其充要条件,为其系数行列式不为零。,即,（2）三平面经过同一直线，,由(1)知必有,且平面,属于以,交线,为轴平面束，,所以有,20/55,由此得,解得,所以三平面经过同一直线充要条件为,（3）由(1)与(2)知，三平面无公共点充要条件为,21/55,观察柱面形成过程:,定义,4.1.1,平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为,柱面,.,这条定曲线,C,叫柱面,准线,，动直线,L,叫柱面,母线,.,1.4,柱面,母线,准线,22/55,母线,准线,普通,柱面,注意：,柱面准线不唯一。,23/55,设柱面准线为,母线方向数为,X,Y,Z,。假如,M,1,(x,1,y,1,z,1,)为准线,上一点，则过点M,1,母线方程为,24/55,且有,F,1,(x,1,y,1,z,1,)=0,F,2,(x,1,y,1,z,1,)=0 (10),从（9）（10）中消去x,1,y,1,z,1,得,F(x,y,z)=0,这就是以,（7）,为准线，母线方向数为,X，Y，Z,柱面,方程。,25/55,例1.4.1,解法一,母线方向数即为轴方向数1，2，2.,问题也就处理了.,因为圆柱面母线平行于其轴，,所以,假如能,求出,圆柱面,准线圆,，,那么再利用前面解法，,因为空间圆,总能够看成是某一,球面,与某一,平面,交线.,已知圆柱面轴为 ，,在此圆柱面上，求这个圆柱面方程.,点,26/55,(0,1,-1),（1,-2,1）,这里圆柱面,准线圆,，,能够看成,是,(0,1,-1)为中心，,以轴上点,点(0,1,-1),到已知点,(1,-2,1),与,过已知点,且垂直于轴,(1,2,1),1，2，2,交线.,距离,为半径,球面,平面,27/55,轴上定点为,而圆柱面上为 ，,所以,所以,到轴距离为,例1.4.1 已知,圆柱面,轴为,点,(1,-2,1)在此,圆柱面上，求这个柱面方程。,解法2,：轴方向向量为,v=,（1,-2,-2),M,0,(0,1,-1),M,1,(1,-2,1),28/55,即准线圆方程为,（11）,再设 为准线圆（11）上任意一点，那么有,且过,母线,为,由上四式消去参数 即得所求圆柱面方程为,29/55,再设,为此,圆柱面上任意点，那么有,即,化简整理得,所求,圆柱面方程为,30/55,柱面举例,抛物柱面,平面,定理1.4.1 在空间直角坐标系中,只含,两个元,(坐标)三元方程所表示曲面是一个,柱面,它母线平行于所缺元(坐标)同名坐标轴.,31/55,1.5,锥面,1.5.1 定义,经过一定点且与定曲线相交一族直线 所产生曲面叫做,锥面,.,这些直线都叫做锥面,母线,.,那个定点叫做锥面,顶点,.,锥面方程是一个三元方程.,定曲线称为锥面,准线,F,(,x,y,z,),=,0,32/55,准线,顶点,锥面是直纹面,x,0,z,y,锥面准线不惟一,，和一切母线都相交每一条曲线都能够作为它准线.,33/55,1.5.2 锥面方程,设锥面准线为,顶点为A(x,0,y,0,z,0,)，假如M,1,(x,1,y,1,z,1,)为准线上任一点，,则锥面过点M,1,母线为：,34/55,设锥面准线为,顶点为A(x,0,y,0,z,0,)，假如M,1,(x,1,y,1,z,1,)为准线上任一点，,则锥面过点M,1,母线为：,且有,F,1,(x,1,y,1,z,1,)=0,F,2,(x,1,y,1,z,1,)=0 （14）,从（13）（14）中消去参数,x,1,y,1,z,1,得三元方程,F(x,y,z)=0,这就是以（12）为准线，以A为顶点锥面方程。,35/55,定理1.5.2,一个关于x,y,z,齐次方程,总表示顶点在坐标,原点,锥面,。,36/55,1.6.1 旋转曲面,定义:以一条平面曲线,C,绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面叫做,旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面,轴,.,曲线C称为放置曲面,母线,.,o,C,纬线,经线,1.6 旋转曲面,37/55,1.6.2 旋转曲面方程,在空间坐标系中设旋转曲面母线为：,旋转轴为直线：,其中P,0,(x,0,y,0,z,0,)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴,L方向数。,设M,1,(x,1,y,1,z,1,)为母线C上任意点，则M,1,纬圆总,能够看成是过M,1,且垂直于旋转轴L平面与以P,0,为中,心，|P,0,M,1,|为半径球面交线。,38/55,所以过M,1,纬圆方程为：,当点M,1,跑遍整个母线C时，就得到全部纬圆，,这些纬圆就生成旋转曲面。,又因为M,1,在母线上，所以又有：,从（3）（4）四个等式中消去参数x,1,y,1,z,1,得到一,个三元方程：,F(x,y,z)=0,这就是以C为母线，L为旋转轴,旋转曲面,方程。,39/55,规律：,当,坐标平面上曲线,C绕此坐标平面一个,坐标旋转时，要求该旋转曲面方程，只要将,曲线C在坐标面里方程保留和旋转轴同名,坐标，而以其它两个坐标平方和平方根来代,替方程中另一坐标。,1.6.3 特殊旋转曲面方程,40/55,例,41/55,在空间直角坐标系下,由方程,所表示曲面叫做,椭球面,或称,椭圆面,通常假定,a,b,c,0.,该方程叫做,椭球面标准方程,.,1.7 椭球面,42/55,43/55,44/55,45/55,46/55,（）,47/55,48/55,非数学类,一(2)（6分）求经过直线,两个相互垂直平面,使其中一个平面过点,解,设经过直线,L,平面方程为,又因其中一个平面过点,所以,即,得,49/55,平面 方程为,即,平面 法向量为,又因两平面相互垂直，,平面 法向量为,故,即,得,平面 方程为,所以，,50/55,数学类,一（15分）设 为椭圆抛物面,求切锥面方程,解法一,于是有,而且这个关于,t,方程只有一个根,从原点作 切锥面，,设 为切锥面上点（非原点)，,存在,唯一,t,使得 落在椭圆抛物面上,所以，判别式,即 为所求切锥面方程,51/55,数学类,一（15分）设 为椭圆抛物面,求切锥面方程,解法二,从原点作 切锥面，,椭圆抛物面与,yoz,面交线为抛物线,所以，切线方程为,设从原点作 切锥面,与,该抛物线切点为,又可知，切线斜率为,切点既在抛物线上，又在直线上，从而,得,52/55,数学类,一（15分）设 为椭圆抛物面,求切锥面方程,解法二,从原点作 切锥面，,所以，切锥面准线方程为,得,设 为准线上任意点，则所求,切锥面直母线方程为,又,在准线上，,从而,53/55,数学类,一（15分）设 为椭圆抛物面,求切锥面方程,解法二,从原点作 切锥面，,设 为准线上任意点，则所求,切锥面直母线方程为,又,在准线上，,从而,联立(1)(2),消参得,为所求切锥面方程,54/55,55/55,