2023年不等式选讲知识点.doc

不等式选讲
[知识点复习]
一、不等式的基本性质
①（对称性） ②（传递性）
③（可加性）
（同向可加性） （异向可减性）
④（可积性）
⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性）
⑥（平方法则） ⑦（开方法则）
⑧（倒数法则）
二、几个重要不等式
①,（当且仅当时取号）. 变形公式：
②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
（当且仅当时取到等号）.
④（当且仅当时取到等号）.
⑤（当且仅当时取到等号）.
⑥（当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号）
⑦ 其中
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
⑨绝对值三角不等式
三、几个著名不等式
①平均不等式：,（当且仅当时取号）.
（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）.

变形公式：

②幂平均不等式：
③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式：
当且仅当时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式

⑦向量形式的柯西不等式：
设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设为两组实数.是的任一排列，则
（反序和乱序和顺序和）
当且仅当或时，反序和等于顺序和.
四．绝对值三角不等式
定理1：假如a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。
注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|≤||+||，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。
定理2：假如a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。
五．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式
a＞0
a=0
a＜0
|x|＜a
{x|-a＜x＜a}

|x|＞a
{x|x＞a 或x＜-a }
{x|x∈R且x≠0}
R
注：|x|以及|x-a±|x-b|表达的几何意义（|x|表达数轴上的点x到原点的距离；| x-a |±|x-b|）表达数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）
（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法
方法一：运用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法二：运用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，运用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
六、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
1．比较法
（1）作差比较法
①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0.
②证明环节：作差→变形→判断符号→得出结论。
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。
（2）作商比较法
①理论依据：

②证明环节：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。
2．综合法
（1）定义：从已知条件出发，运用定义、公理、定理、性质等，通过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。
（2）思绪：综合法的思考路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出规定证明的不等式。
3．分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充足条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。
（2）思绪：分析法的思考路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充足条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简朴、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思绪，用综合法叙述、表达整个证明过程。
4．放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达成证明的目的，这种证明方法称为放缩法。
（2）思绪：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小），如

等.
习题：
1.不等式的解集为
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D） 【答案】D
2.已知集合，则集合=________.
3.不等式的解集是______.
4．若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
解答题:
1．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
2.设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)假如不等式的解集为，求的值。

3.解不等式：

4．设不等式的解集为M．
（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

2023年试题：
一、填空题：
1．不等式的解集为 .
二、解答题：
1．已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

2．设a、b是非负实数，求证：。

4．已知均为正数，证明：，并拟定为什么值时，等号成立。

2023年试题：
1.解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

2.设函数。
（1） 若解不等式；（2）假如,,求 的取值范围。

3．如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表达C与原点的距离，y 表达C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表达成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应当在什么范围内取值？