2025年初中数学竞赛讲座应用问题的算术解法与代数解法.doc

第拾七讲 应用問題的算术解法与代数解法
從小學到中學，数學課程最明显的变化，就是從算术學习到代数和几何的學习．仅就代数来說，它的基本課題是著眼于运用运算来讨论多种数學問題．從发展的角度看，代数學是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的．首先扩大了数的范围，從正整数、正分数和零发展到有理数、实数；另一方面，在用字母表达数的基础上，应用“运算律”解代数方程和研究代数式．由于在常見的数量关系中，可以說应用問題是最基本的讨论對象，因此，在小學和中學的数學課中，均有解应用問題這一内容．只不過在小學是用“算术解法”，而在中學是用“代数解法”．下面举几种經典实例，来比较一下這两种解法的不一样，從而深入体會代数解法的优越性．
　　例1 某农場计划播种小麦与大豆共138公顷，种小麦的面积是种大豆面积的4倍．试問该农場应种小麦与大豆各多少公顷？
　　算术解法 由本題所給的条件可知，播种總面积等于种大豆面积的(4+1)倍，因此种大豆的公顷数=總播种公顷数÷(4+1)，
　　种小麦的公顷数=總播种公顷数-种大豆的公顷数，即
138÷(4+1)=27.6(公顷)，
138-27.6=110.4(公顷)．
　　即应种大豆27.6公顷，小麦110.4公顷．
　　代数解法 用一种字母x表达规定的一种未知量，例如，设种大豆x公顷；再由題目的条件可知，种小麦4x公顷．因此，只要根据关系式
　　總播种公顷数=种小麦公顷数+种大豆公顷数
　　和已知条件“總公顷数為138”，就可以直截了當地写出如下等式(具有未知数的等式，也叫方程)
4x+x=138．
　　由于x是一种未知数，但它终归是一种数，因此可以對它应用运算律．為此，我們對上式做如下变形
(4+1)x=138，
　　即 5x=138．
　　两边同除以5，得
x=27.6(公顷)．
　　從而 4x=4×27.6=110.4(公顷)．
　　即种大豆27.6公顷，种小麦110.4公顷．
　　比较分析 本題的算术解法中，规定對題意進行思索，先求得处理問題的公式，然後再逐渐地對公式中的计算找出解释的理由，從而作出解答．而代数解法，只规定用字母x表达待求的未知量，再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系，然後直截了當地列出一种等式，再应用运算律(或等式的基本性质)，求出這個未知数x应取的数值，使問題得到处理．
　　例2 鸡兔同笼．共有56個頭，160只脚，试問鸡、兔各多少只？
　　算术解法 這是一种古老而有趣的数學問題，由于思索措施不一样，可有不一样的解法，如下是较為简朴的解法．由于已知鸡、兔共160只脚，假如我們假定每只兔抬起2只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是160只的二分之一，即80只脚．這80只脚中鸡的脚数与頭数相等．因此，
　　兔数為：　　　80-56=24(只)；
　　鸡数為：　　　5624=32(只)．
　　代数解法 设兔為x只，则鸡為(56-x)只，兔的脚数為4x，鸡的脚数為2(56-x)，又由已知条件，鸡兔一共有160只脚，可列出方程
4x+2(56-x)=160．
　　去括号
4x+112-2x＝160，
　　合并同类项
4x-2x＝160-112，
　　即　　　 2x=48，
　　因此 　　 x=24(只)…兔数．
　　從而 　　56-24=32(只)…鸡数．
　　比较分析 本題算术解法中，根据題设特點，运用了一种特殊技巧，即鸡、免各抬起二分之一脚，然後根据其他脚数中，鸡的脚数与頭数一一對应关系，得到解答．這种解法虽然有效，但不具有一般性，這也是算术解法的一种弱點，即一种問題一种解法，缺乏一般的通用性．而代数解法则不一样，在本題中，只须用一种字母x代表兔(或鸡)的数量，然後便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程．下一步解方程求未知数x的值，只是進行变形和运算，不需要什么特殊技巧．因此，代数解法具有一般性，這也是它优于算术解法之所在．
　　在前面的两例中，虽然比较分析了应用問題的算术解法和代数解法的特點，但對两者的联络未作深入的探讨，下面通過例3，初步讨论一下這個問題．
　　例3 设有5元和10元的人民币共12张，合计85元，問其中5元、10元的人民币各几张？
　　算术解法 假如所有是5元的人民币，则合计
5×1260(元)，
　　与總和相差
85-60=25(元)．
　　目前让我們逐次用一张10元的票子去换一张5元的票子，使得總张数保持不变，每换一次，總值将增長
10-5=5(元)．
　　那么换几次才能补足總差额25元呢？這只要做一次除法就行了，即25÷5=5．因此答案是
　　10元人民币的张数=(85-60)÷(10-5) ①
=25÷5＝5．
　　5元人民币的张数=12-5=7．
　　代数解法 设10元人民币的张数為x，则5元人民币的张数為(12-x)，其中x是一种待求的未知数，在此它只是10元人民币张数的简写，运用上述未知数符号，根据
　　10元人民币的總元数+5元人民币的總元数=85，则可写出下列方程
　　10x+5(12-x)=85． ②
　　如下的工作便是用“运算律”和“等式的性质”解出方程②的x值，就可得到解答了．
　　用分派律，去掉②中之括号，得
10x+5×12-5x＝85，
　　由互换律、分派律得
(10-5)x+60＝85，
　　由等式性质，两边同減60，得
(10-5)x=85-60，
　　等式两边同除以(10-5)，得
　　x=(85-60)÷(10-5)=5． ③
　　比较分析 在代数解法中，我們先引進一种未知数x，表达問題中待求的量(如10元人民币的张数)，然後把未知数代入問題中，列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量x的值．在本例中，方程②的解就是③式
x=(85-60)÷(10-5)=5．
　　轻易看出，算术解法其实就是上面由代数方程②所得的求值公式③，然後對于公式③中的每一步進行计算：
60=5×12，
85-60=25，
10-5=5，
(85-60)÷(10-5)＝25÷5=5．
　　并對每一步计算找出合适的理由加以解释就是了．
　　同學們也許會問，在算术解法中，怎么會发現求值公式①呢？對這個問題的回答，大体有两种也許：
　　第一种也許是先用代数解法，由②求得公式①，但由于小學還没有學习代数，因此只好耐心地對①式中的每一步计算，結合題意加以解释，使同學們理解算术解法的合理性．
　　第二种也許是對上述实际問題，做了一番归纳的工作，就是：假如12张人民币都是5元的，则12×5=60；假如11张為5元，1张為10元，则11×5+10=65；假如10张為5元，2张為10元，则10×5+2×10=70；以此类推，不难发現當10元人民币的张数由0逐次加1時，總金额由60開始逐次加一种5，而①式就是這個意思．
　　把两种解法加以比较可以看出，算术解法的准备工作，對于給定类型的問題，先做一番试验归纳工作，從而求得处理该类問題的公式，或合理的有次序的计算环节，然後還要逐渐對公式中的计算找出理由加以解释．显然，這样做是缺乏普遍性的．
　　而代数解法的准备工作是引入未知数符号，把問題中的数量关系，尤其是等量关系用代数方程表达出来，然後再运用“运算律”和“等式性质”，求出方程中未知量应有的值，因此代数解法直截了當、简捷明快，具有高度普遍性．
　　一般說来，算术解法的公式和理由，由問題的类型不一样而不一样．但代数解法的基本原理就是有效地运用了“运算律”和“等式性质”，因此這种解法不仅具有普遍性，也具有统一性．
　　例4 有两個图書馆，自建馆以来，每年各進图書5仟册，假如今年甲馆藏書23萬册，乙馆藏書11萬册，此後仍然是每年各進图書5仟册，试問由今年起，什么時候甲馆藏書是乙馆的3倍？
　　下面用代数解法来解本題，以便從中深入体會它的普遍性．
　　解 设由今年起x年後甲馆藏書是乙馆的3倍，则有代数方程
(23+0.5x)=3(11+0.5x)．
　　运用分派律得
23+0.5x=33+1.5x，
　　两边同減0.5x得
23=33+1.5x-0.5x，
　　两边同減33得
23-33=1.5x-0.5x，
　　运用分派律得
23-33=(1.5-0.5)x， -10＝x，
　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x=-10·
　　這就是說從今年起，前甲馆藏書已是乙馆藏書的3倍．
　　由此可見，代数解法，由于用字母表达了数，因此對所求的成果用正、负数的意义加以解释，就得到了這一問題的答案．這也就阐明了代数解法比算术解法更具有普遍性．

练习二拾

　　1．试用代数解法解下列应用題，再思索一下用算术解法怎么解？
　　(1)一种企业把它存货的60％用現金发售，25％用记账发售，15％用支票发售．假如支票发售的钱比记账发售的钱少4000元，那么現金发售的钱是多少？
　　(2)有糖块若干，要分給班上的同學，假如每人4块，则余14块，假如每人5块，则又少15块，试問班上共有多少人？共有多少块糖？
　　2．制造一种零件第一道工序每人每小時可做5件，第二道工序每人每小時可做3件，目前有工人40人，怎样分派劳動力才能使生产配套？
　　3．某生产队春播公顷小麦，每天比估计多播50公顷，因此提前2天完毕，求实际播种天数．
　　4．木梁重90公斤，比木梁長2米的铁梁重160公斤，已知每米木梁比铁梁轻5公斤，求两根梁的長．