2025年第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题.doc

第五届曰本算术奥林匹克竞赛初赛试題

　　一、雨哗哗地不停地下著。如在雨地裏放一种如图1那样的長方体的容器，雨水将它注满要用1小時。
　　有下列A—E不一样的容器（图2），雨水注满這些容器各需多長時间？

　　二、将一正方形的紙對折2次後，還是正方形（見图1）。用同样的措施，可把某形状的紙對折3次後，成為图2那样的三角形。已知可把4种形状的紙對折3次後，折成那样的三角形，請画出這4种形状。

　　三、有6個1克重的球，1個2克重的球，1個3克重的球，共有8個球。把這8個球從①到⑧编上号，放到天平上称，就成為图中所示状态。
　　問：（1）2克重的球是几号球？
　　（2）3克重的球是几号球？

　　四、有193個人坐成一横排。
　　首先，正中间的一种人站起来，然後，按下述措施大家都或坐或站。
　　①邻座的人站起来，1秒钟後，自已也站起来。
　　②站起1秒钟後坐下。
　　③假如左右邻座的人同步是站著的话，虽然過了1秒钟，自已仍然坐著。
　　問：（1）最初的那個人站起8秒钟後，有几种人站著？
　　（2）96秒钟後，有几种人站著？
　　五、有一种如图那样的方块网格，每1個小方块裏有1個人，在這些人中间，有人戴著帽子，有人没戴。每一种人都只能看見自已前方，後方和斜方的人的頭，如图1所示，A方块裏的人能看見8個人的頭，B方块裏的人能看見5個人的頭，C方块裏的人能看見3個人的頭，自已看不見自已的頭。在图2的方格中，写著不一样方块裏的人能看見的帽子的数量，那么，請在图2中找出有戴帽子的人的方块，并把它涂成黑色。

　　六、某俱乐部有11個组员，他們的名字分别是A～K。這些人分為两派，一派人總說实话，另一派人總說谎话。某曰，老師問：“11個人裏面，總說谎话的有几种人？”那天，J和K休息，余下的9個人這样回答：
　　A說：“有10個人。”
　　B說：“有7個人。”
　　C說：“有11個人。”
　　D說：“有3個人。”
　　E說：“有6個人。”
　　F說：“有10個人。”
　　G說：“有5個人。”
　　H說：“有6個人。”
　　I說：“有4個人。”
　　那么，這個俱乐部的11個组员中，總說谎话的有几种人？
　　七、有50张卡片，每一张都分别写著從1到50的数字（見图）。卡片的两面一面是紅色，一面是藍色，两面都写著相似的数字。有一种班恰好有50名學生，老師把這50张卡片都将藍色朝上地摆在桌上，對同學們說：“請你們按學号的次序逐一到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自已學号的倍数，你就把它們都翻過来，藍的就翻成紅的，紅的就翻成藍的。”
　　那么，到最终，學号是50的學生按老師的规定翻完後来，紅色朝上的卡片有多少张？
　　八 、如图所示，把边長為6cm的等边三角形剪成4部分，從三角形顶點往下1cm处，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一种小的等边三角形。
　　問：所有斜线部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍？

　　九、有同样大小的立方体27個，把它們竖3個，横3個，高3個，紧密地没有缝隙地搭成一种大的立方体（見九題图）。
　　假如用1根很直的细铁丝扎進這個大立方体，最多可以穿透几种小立方体？

附：第五届曰本算术奥林匹克竞赛初赛试題解析
　　一、解題中“雨哗哗地不停地下著”這一条件，也可以理解為雨均匀地下。（這与平常生活中的降雨略有不一样，生活中降雨也許會時大時小，并不均匀。）雨水從敞口部分垂直落入到容器内，我們就可以把“敞開面”（即图中所示的阴影面）叫做“接雨面”。图中所示的長方体容器，“接雨面”与底面大小相似，雨水将它下满需要1小時，也就是說1小時後该容器内雨水的深度是10cm。假如容器的高度不止10cm，而是無限的，那么2小時後容器内雨水的深度将會是2cm，後来每過1小時雨水的深度就會增長10cm；假如在長方体容器中垂直放入一种很薄的挡板（其厚度忽视不计），将大容器提成两個小容器（如图所示）。小容器的“接雨面”变小了，但每個小容器的“接雨面”与底面大小仍然相似。那么1小 時後，每個小容器内雨水的深度還是10cm。（由于忽视了挡板的厚度，它不占本来長方体容器的容积。）通過上述分析与假设，我們可得出如下結论：只要容器的“接雨面”与底面大小相似，1小時後容器内雨水的深度就是10cm。

　　根据結论，观测图2所示的五种容器。其中A、B、E三种容器的“接雨面”与底面大小相似。
　　A容器高10cm，雨水下满该容器需要1小時；
　　B容器高30cm，雨水下满该容器需要3小時；E容器高20cm，雨水下满该容器需要2小時。
　　剩余C、D两种容器，它們的“接雨面”与底面大小不一样，可先将其转化為“接雨面”与底面大小相似的容器（如图所示）。此時，C容器的高变為30cm，雨水下满需3小時；D容器的高变為15cm，雨水下满需1.5小時。

二、解（見下图）

三、解 由图1可知：
　　①＋②＋③＜④＋⑤＋⑥＋⑦（一式）
　　由图2可知：
　　②＋⑥＋⑧＞①＋③＋④＋⑤（二式）
　　由图3可知：
　　①＋③＋⑧＜②＋④＋⑤（三式）
　　观测三式可得出如下結论：①、③、⑧中不也許有克重的球，②、④、⑤中必有重量超過1克的球。
　　观测二式可得結论：④、⑤两球重量均為1克，（由于假如其中有重2克的，则②、⑥、⑧重量之和最多与①、③、④、⑤重量之和相等，图2将不成立，与已知矛盾。）
　　观测一式可得結论：①、②、③中没有重3克的球。（否则图1所示状态将不成立）
　　综合上述3条結论可知：②号球重2克，①、③、⑧、④、⑤的重量均為1克。
　　再次观测二式可知：⑥号球重3克。
四、解（找规律）（用△表达站，○表达坐）

　　上表第1個方框内的2表达第1秒後有2人站著；第2個方框内有两個数，上面2表达第2秒後有2人站著，下面的4表达第3秒後有4人站著。三角内的两個数為所求，即：第8秒後有2人站著，第96秒後有4人站著。
五、解 答案如下图所示。

分析 ①站在第一行第五列的人能看見1顶帽子，阐明他周围的3人有2人没戴帽子。
　　②站在第二行第四列的人能看見7顶帽子，阐明他周围的8人中只有1人没戴帽子，综合結论①可知他本人没有戴帽子。
　　③站在第二行第五列的人能看到4顶帽子，且他周围的5人中已經有1人没戴帽子，阐明其他4人均戴帽子，根据結论①可知他本人没戴帽子。
　　④运用上下對称原理可以分析出：站在第四行、第五行後三列的6個人中，只有第四行第四列、第五列两人没戴帽子，其他人均戴帽子。
　　⑤站在第四行第二列的人能看到7顶帽子，阐明他周围的8人中只有1人没戴帽子。
　　⑥站在第三行第1列的人能看見1顶帽子，阐明他周围的5人中只有1人戴帽子。综合結论⑤可知：這1人不也許是第二行第一二列的人，也不也許是第四行第二列的人。因此只能是站在第三行第二列的人或第四行第一列的人。
　　⑦站在第五行第一列的人能看到2顶帽子，阐明結论⑥所說戴帽子的人站在第四行第一列。
　　⑧站在第二行第二列的人能看到6顶帽子，阐明站在第一行第一、二列的2人都戴帽子。
　　综合上述分析，可以看到“思索的次序”是解答本題的关键。
六、解由于9個人回答出了7种不一样的人数，并且回答相似的最多是两個人。因此說谎话的不少于7人。若說谎话的有7人，则除B外，其他回答問題的8人均說了谎话，与假设出現矛盾；若說谎话的有8人，则回答問題的9人均說了谎话，出現矛盾；若說谎话的有10人，则只能1人說实话，而A和F都說了实话，出現了矛盾；若說谎话的有11人，则没有說实话的，而C說了实话，出現矛盾；显然說谎话的有9人，回答問題的9人均說谎话，休息的两人說实话。
七、解 每张卡片，所写数字有几种约数就被翻過几次。被翻了奇多次的卡片紅色面朝上，而只有完全平方数才能有奇数個约数，因此本題也就是求写有完全平方数的卡片有几张，因此紅色朝上的卡片共有7张。
八、解 将大三角形提成边長1cm的小等边三角形即可求解。大三角形中包括36個小等边三角形，空白三角形包括3個小等边三角形。因此

九、解 首先從简朴的想起，研究铁丝穿透1個小立方体時，应從哪面穿入，哪面穿出。然後考虑铁丝扎進8個小立方体搭成的较大立方体，最多可以穿透几种小立方体。最终再考虑扎進27個小立方体搭成的大立方体時，最多可以穿透几种小立方体。
　　（1）铁丝穿透1個小立方体可有三种不一样状况。（如图1所示）其中A、B两种是穿過相對两面，A种平行于棱的方向穿過，B种斜著穿過；C种则是穿過相邻两面。再深入分析，若增長7個小立方体，搭成较大立方体時，這個小立方体相對两面中只能有一种面与其他小立方体相邻，也就是說只能考虑铁丝在一种方向上继续穿透其他小立方体。而這個小立方体相邻的两面可以分别与其他小立方体相邻，铁丝可以沿两個方向继续穿透其他小立方体。因此，C种状况是我們解答本題需要深入考虑的。（為了便于分析，将這個小立方体编為①号。）

　　（2）考虑铁丝扎進较大立方体時最多可以穿透几种小立方体。如图2所示，铁丝沿斜上方向可继续穿透②号小立方体，沿斜下方向可继续穿透③号、④号小立方体。因此，共可穿透4個小立方体。

　　（3）考虑铁丝扎進27個小立方体搭成的大立方体時，最多可以穿透几种小立方体。如图3所示，铁丝沿斜上方向可继续穿透⑤号立方体，沿斜下方向可以继续穿透⑥号、⑦号小立方体。因此，最多可以穿透7個小立方体。
[阐明与探讨] 本題意在考察空间观念和画图能力。若直接考虑，难度比较大。因此应采用從简朴处人手，逐渐深入分析的措施来解答。通過上述分析，不难发現這样一条规律（如下表所示）：

　　此前，我們研究過与此題分析措施基本相似的平面图形問題。如：大正方形是由25個同样大小的小正方形拼接而成的。在大正方形上画一条直线，這条直线最多可以穿過几种小正方形？